２．摩擦と束縛運動

(1)

基礎物理学

担当小野正利 [email protected]

第５回（１）

教科書

（１）「基礎物理学」

（２） http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~onomasat/

10 分間テスト Test 3 Test-3

摩擦の法則

＜動摩擦＞

・動摩擦力

F

_f

・垂直抗力

R

，

・動摩擦係数μ

２．摩擦と束縛運動

F

_f

f

R

・動摩擦係数μ_k

mg F

_f ＝μ_k

R

＜静止摩擦＞

・静止摩擦力

F

_f

・垂直抗力

R

，

・静止摩擦係数μ_s

≦μ

R

物体mが滑らないための条件

α

m f・sinα

R

摩擦力

３．斜面上の運動

R f sin    

f (= mg) f・cosα

R f sin   

_s







 cos

sin f

f 

_s



 

  tan

cos sin

 

s

(2)

m

R

α を大きくしていったとき，物体mが滑り始めるときの角度を摩擦角（θ）という。

 

  tan cos

sin 

s



摩擦力

θ

f (= mg)

m

f

・

cosθ f

・sinθ

摩擦力

４． Atwood の機械





 











g g

2 2

2

1 1

1

a a a

m T a m

m T a

m

 















g g

2 2

1 1

2 1

m T a m

a a a

m

₂g

m

₁g

T T

a₁ a₂

＜問題４＞

４．滑らかな滑車にひもをかけて，両側に

m

₁，

m

₂のおもりをつるした装置をアトウッドの機械という。

－ m

₂g

－ m

₁g

T T

2 1

（１）ひもの張力を

T

として，それぞれのおもりの運動方程式を書け。

 











g g

2 2

2

1 1

1

m T a m

m T a

m

 















g g

2 2

1 1

2 1

m T a m

a a a

－ _m

₂_g

－ _m

₁_g

T T

a₁ a₂

（２）上の二つの式から

T

を消去して，

おもりが動く加速度を求めよ。

g

1 2

1

2

m m

m a m



 

 

 









g g

2 2

1 1

m T a m

m T a

m

（３）張力

T

を求めよ。

2

g 2

1

m m

m T m

 

＜問題４＞

５．力が作用していない時の長さ（自然の長さ）

が同じ

l [m]

で，ばね定数

k

₁，

k

₂の二つのばねを並列および直列につなぐことを考える。

それぞれの場合に同じ質量

m [kg] を持つ

物体をつるした。自然の長さからの伸びを求めよ。

m k1

k2

直

m 列

k1

k2

並列

(3)

mg x k 

k1

k2

直列

m k1

k2

並列

mg x k x k₁  ₂  mg

x k₁ ₁

mg x k₂ ₂



 



 







2 1 2

1

1 1

k m k x x

x g

m

2

1 k

k x m

 g

１．運動量

◎ 保存則

p p   p

f

f m

m

v p  m

v

p 

  m

f f

t t   t

m

m p

撃力： ^p

衝突

F

F t

t 



 p p p F   ' 

' p

 t

 p  p '  p  F

 t

力積： F

物体間に働く力（１）

中間に存在する媒質の物理的変化を通して伝達されるとする見方。

近接作用

遠隔作用遠隔作用

空間を隔てて存在する物体間の作用（力）を中間に介在するものを考えず，直接働くとする見方。

物体間に働く力（２）

全ての物理的相互作用は現在の考え方

近接作用に由来する。

(4)

物体２から受ける力

：　物体１が

12 f

f 物体２が

m1

f12

二つの物体が運動しているとき _系

12

21

f

f  

物体１から受ける力

：　物体２が

21 f

内力

p1

p2

m2

f21

受ける力物体２以外の物体から

：　物体１が

1 f

受ける力物体１以外の物体から

：　物体２が

2 f

外力

p1

m1

p2

m2

f1

f2

系

２つの物体に働く内力と外力

m

1

f

12

f

1

系

p

1

p

2

m

2

f

21

f

2

p

1

m

1

 



 











2 21 2

1 12 1

d d d

f p f

t

f

12

f

1

f

2

物体１と物体２の運動方程式

 d f

²¹

f

²

t

p

2

m

2

f

21

 

2 1 2 1 2

1

d d d d d

d p  p  p  p  f  f t

t t

12

21

f

f  

  ₀

d d d d d

d

₁



₂



₁



₂

 t t

t

p p p

p

外力がゼロの場合

p

1

m

1

p

2

m

2

f

12

物体１（）と物体２（）の運動量の和が時間の経過に従って変わらない。

↓

p

2

f

21

m

1

m

₂

f

12

 

2 1

2 2 1 1 2 1

2 2 1 1 2

2 1 1 2 1

d d d

d d

r r

r r v

v p p

m m

m m m t m

m t m

m m



 













p

1

m

1

p

2

m

2



1 2



C

d

d R

m t m 



2 1

2 2 1 1

C

m m



 r  r

R

¹

r r

2

O

R

C

(5)

２．エネルギー保存の法則

f f m

 

仕事

l m g

g m

   f  l

 f l

W cos 

^{スカラー積（内積）}

   

 W

 ^{移動する方向の力} ^{移動した距離}



質量

m

の物体を鉛直上方に

h m

持ち上げるときの仕事（エネルギー）：

W

。

[m]

[N]

[m]

] m/s

[kg ² h m h

mg  g

単位：



^{移動する方向の力}

  ^

^{移動した距離}



 W

h [m]

m

[kg]

^[Nm] ^[J]

[m]

[N]

[m]

] m/s [kg

h m h

m

h m h m

g g









 単位：



^ジュール



　　　 J

１．質量

M [kg]，長さ l [m]

の丸太が地面に横たわっている。

＜問題５＞

l

（１）その一方の端を手で持ち上げるには，どれだけの力が必要か。

外力の総和

F + N

－

Mg = 0

トルクの総和

Mg

・l/2 －

F・l = 0

∴

F = Mg/2 N M /2 N = Mg/2

Mg

重心

F N

回転の中心

（２）一方の端を高さ

h

まで持ち上げるとき，手がする仕事は，丸太の位置エネルギーの増加に等しいことを確かめよ。

手がする仕事＝Fh ＝（Mg/2）×h ＝Mgh/2

丸太の位置エネルギーの増加＝

Mg×（h/2）＝

Mgh/2

重心

Mg N

F

h/2 h