ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導について
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(2) 北海道教育大学紀要（教育科学編）第70巻 第１号 Journal of Hokkaido University of Education（Education）Vol. 70, No.1. 令 和 元 年 ８ 月 August, 2019. ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導について 赤 本 純 基 北海道教育大学附属釧路中学校. On Guidance for Understanding the Relationship between a Histogram and a Box Plot Diagram AKAMOTO Junki Kushiro Junior High School Attached to the Hokkaido University of Education. 要 旨 本稿の目的は，ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る実践を提案することである。中 学校第2学年の「データの分布」の単元の時数配当は，移行内容を鑑みて3時間とした。本時 は，単元「データの分布」（全3時間）の第2時にあたり，本時の目標は，「ヒストグラムと箱 ひげ図の関係について説明することができる」と設定した。本稿で提案する導入問題や個人思 考・集団思考時におけるマグネットをデータとみなしてデータの散らばりの様子を視覚的にわ かりやすくする工夫，確認問題と練習問題によって，生徒のヒストグラムと箱ひげ図の関係の 理解を図ることに効果が認められた。. １．研究の目的. ２．研究の方法. 新学習指導要領全面実施が3年後に迫る中で，. 本研究は，次のような方法で行うこととした。. 釧路算数数学教育研究会では，中学校で新設され. ① ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る. た内容としての「四分位範囲や箱ひげ図」につい. ことについておさえる。. ての学習指導はどうあるべきか，中でもヒストグ. ② 本実践の主張点を明らかにする。. ラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導に不安を. ③ 授業実践を行う。. 抱えている先生方が多いことがわかった。そこで，. ④ 実践の振り返りと課題を考察する。. 本研究ではヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解 を図るためには，どのような指導ができうるのか 提案することを目的とする。. ３．ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を 図ることについて 新学習指導要領解説数学編（以降，解説数学編）. 233.
(3) 赤 本 純 基. には， 「箱ひげ図を比較する際に，ヒストグラム を作成し分布を詳しく比較すること」，「データの 傾向を捉える場合，日常生活では，簡潔さの観点 から箱ひげ図のみを用いて説明することが予想さ れる。しかし，そのことによって分布の形など，. 用 語 第1四分位数 第2四分位数 第3四分 位数 最大値 最小値 箱 ひげ. 失われる情報もあるので，必要に応じてヒストグ ラムなどと合わせて用いることが必要な場面もあ ることに留意する。」と記されている。箱ひげ図. 確認問題 Bさんは10点満点の的当てゲームを10回行 い，成績は次の表のようになった。四分位範 囲を求めてみよう。また，Bの得点の箱ひげ 図をかいてみよう。. からデータの傾向を読み取るためには，ヒストグ ラムと箱ひげ図の関係についての理解を図る指導 が不可欠であると捉えた。筆者は，ヒストグラム と箱ひげ図の関係を理解した生徒の姿を，次の2 点とおさえている。 ① ヒストグラムに対応した箱ひげ図を判断し， その根拠を説明できる姿. 練習問題 次のデータはあるクラスの1班，2班の1 日の読書時間である。1班，2班の四分位範 囲をそれぞれ求めてみよう。また，箱ひげ図 をかいてみよう。. ② ヒストグラムに対応した箱ひげ図から，デー タの散らばりの様子をイメージできる姿 そこで，中学校第2学年の生徒を対象に，ヒス トグラムと箱ひげ図の関係について説明すること ができることを目標に設定し授業実践を行った。 中学校第2学年の「データの分布」の単元の時数 配当は，統計的確率が第1学年に移動し，第2学 年では数学的確率と箱ひげ図を取り扱うことに ２. なったことや高校の数学Ⅰの教科書の内容から鑑 みて，3時間とした。本時は，単元「データの分. 目標：箱ひげ図から情報を読み取り，データ の傾向について説明することができる。 導入問題 ある年の東京における各月の日ごとの平均 気温の平均値を調べたところ，7月と8月の 平均気温の平均値はあまり変わらなかった。 それぞれの月の日ごとの平均気温のデータの 分布は次の箱ひげ図のようになった。どちら が暑い月だったと判断できるだろうか。. 布」 （全3時間）の第2時にあたる。第1時と第 2時は，次の表のような学習をすることとした。 表１ 単元指導計画（全3時間） 時 数. ３. １ 234. 主な学習活動 目標：四分位範囲や箱ひげ図の意味を知り， それらを求めたりかいたりすることがで きる。 導入問題 Aさんは10点満点の的当てゲームを11回行 い，成績は次の表のようになった。このデー タについて次のような図に表した。この図の ア～キにあてはまる用語はどれだろうか。. 本時 . 練習問題 次の図1は，この年の東京における各月ご との平均気温の平均値を折れ線グラフに表し たもので，図2は，各月の日ごとの平均気温 の分布を箱ひげ図で表したものです。図2の 箱ひげ図から他にどんなことが読み取れるだ.
(4) ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導について. に，ヒストグラムと箱ひげ図とデータの関係につ. ろうか。. いて，確かな理解を図るために，マグネットをデー タとみなしてデータの散らばりの様子を視覚的に わかりやすくするように工夫した（図２）。デー タ数を7つとしたのは，四分位数が全てデータの 間とならない最小のデータ数だからである。. ４．本実践の主張点 本時の目標は， 「ヒストグラムと箱ひげ図の関 係について説明することができる」である。本実 践の主張点は3点である。 第1に，導入問題の工夫である。本時の目標達 成に向けて，図１のような導入問題を設定した。. Ｘ～Ｚの箱ひげ図のいずれかは，Ａ，Bのヒス トグラムに対応するものである。 Aのヒストグラムに対応する箱ひげ図はどれだ ろうか。. 図２ マグネットをデータとみなしてデータの散ら ばりの様子を視覚的にわかりやすくする工夫. 第3に，確認問題と練習問題の工夫である。図 ３のような確認問題を設定した。. Ａ～Ｃのヒストグラムについて，対応する箱ひ げ図をＸ～Ｚから選びなさい。また，そのように 判断した理由を説明しなさい。. 図１ 導入問題 図３ 確認問題. この導入問題は，ヒストグラムの山の高い部分 の位置に着目してBはXと判断できるが，Aにつ. この確認問題は，ヒストグラムの山の高さの部. いては，YかZか迷いが生じるようにし，BがX. 分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係を使って，. の山の形だから，AはYだろうと類推が働くよう. 判断し説明させることで，本時の目標達成に迫る. に工夫した問題である。また，ヒストグラムの概. ように工夫した問題である。さらに，図４のよう. 形と箱ひげ図の箱の関係に着目させるために，横. な練習問題を設定した。. 軸と縦軸に数値を入れない問題設定とした。. この練習問題は，ヒストグラムの山の高さの部. 第2に，個人思考・集団思考時における働きか. 分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係だけではな. けの工夫である。生徒がヒストグラムの山の高い. く，ヒストグラムの散らばり具合と箱の長さの関. 部分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係と，ヒス. 係も使って判断し説明させることで，本時の目標. トグラムの散らばり具合と箱ひげ図の箱の長さの. の達成を確実にするように工夫した問題である。. 関係に気付けるように働きかけを工夫した。特. 235.
(5) 赤 本 純 基. Ｓ３：Ｂだと思います。. 次のヒストグラムについて，対応する箱ひげ図 を選びなさい。また，そのように判断した理由を 説明しなさい。. Ｔ５：ＢがＸに対応している理由は何ですか？ヒ ストグラムのどこに着目したのか明確に言え ますか？ T ６：では，ヒストグラムのどこに着目して判断 すればよいのかという点が課題になりそう ですね。少し時間をとりますので，ちょっと. 図４ 練習問題. 考えてみましょう（図５）。. ５．授業の実践 ⑴ 授業の実施時期，対象，指導者 実施時期：平成30年1月19日 実施対象：北 海道教育大学附属釧路中学校. . 第2学年1学級34名. 図５ 問題提示と課題把握後の板書. 授業者：赤本 純基 ⑵ 本時の目標. 問題提示では，「一度に」ではなく「段階的に」. ヒストグラムと箱ひげ図の関係について説明す. ヒストグラム→箱ひげ図の順に提示することで，. ることができる。. 問題への「おや？」という気持ちを引き出し，問. ⑶ 授業の実際. 題の意味を学級全体で共有した上で，個人思考・. ① 問題提示と課題把握. 集団思考に誘うことができた。導入問題の答えを. 図１の導入問題を提示し生徒に予想させる。決. 予想させると，Xを選択する生徒は少なく，Xは. 定問題を提示し予想させることで，生徒に「予想. Bに対応しているはずだという声を取り上げ，そ. したことは，本当に正しいのだろうか？」などの. の根拠を問うことで，課題が焦点化されていった。. 気持ちを生じさせ，問題や課題を解決しようとす. ② 個人思考・集団思考. る必要感につなげていった。. 個人思考では，自分の考えを途中まででもよい. T １：これらはヒストグラムです。AとBのヒス. ので持てるように働きかけていった。集団思考で. トグラムは，次のＸ～Ｚの3つの箱ひげ図の. は，ヒストグラムに対応した箱ひげ図から情報を. どれかに対応しています。Ａに対応している. 読み取り，データの散らばりの様子をイメージで. 箱ひげ図はどれだろうか。. きるようにマグネットをデータとみなしてデータ. ヒストグラムと箱ひげ図を順に1つずつ提示. の散らばりの様子を視覚的にわかりやすくするよ. T ２：どれだと思いますか？予想をノートにかい. うに工夫した。. てみよう。 Ｘ（1人） ，Ｙ（27人），Ｚ（6人）. Ｔ７：困っている人のためにヒントをもらえます か？. T ３：なぜ，Xだと思ったのですか？. Ｓ４：グラフの偏りをみるといいと思います。. Ｓ１：なんとなくです。全然自信はありません。. Ｔ８：手が動かない人は，このヒントをもとにし. Ｓ２：Xはたぶん違うと思います。. て，考えられないかな？. T ４：そうですか。Xは違うという人が多いよう. Ｓ５：グラフの偏りというのは，ヒストグラムの. ですね。ではXはどれに対応してそうです. 山の高い部分が右側に偏っているので・・・. か？. 236. Ｔ９：Ｓ５は次になんと説明すると思いますか？.
(6) ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導について. 近所の人に伝えてみてください。. になります。マグネットの左から2番目と3. Ｓ６：Ｂのヒストグラムは山の高い部分が右に 偏っているので，Ｘに対応しているというこ とだと思います。. 番目の間のデータが第1四分位数になるの で，マグネットはこのようになります（図８） 。 Ｔ14：第1四分位数はこのよう. Ｔ10：どういうことですか？もう少し詳しく説明 してもらえますか？. な意味でよいのですね？ Ｓ12：それは違うと思います。. Ｓ７：Ｘの箱が右にあって，箱の部分というのは，. 前の時間に，第1四分位数. 四分位範囲を表しているので，データが右の. は7つのデータの場合，左. 部分に集中しているということなので，Ｂの. から2番目の数になるの. ヒストグラムが対応していると思います。. で，このように並ぶのが正. 図８. しいと思います（図９）。 Ｔ15：では，データの散らばり 具合には，どんな特徴があ るといえそうですか？ Ｓ13：右に偏っていると思いま す。 図６ ヒストグラムの概形の板書. Ｔ16：ＢはＸとわかりましたね。 Ａも同じように考えれば，. 図９. どの箱ひげ図に対応しているのかわかります Ｔ11：では，ヒストグラムの山の高い部分の位置 によって，箱はどの位置に決まるということ. よね？ Ｓ14：いいえ，それだけでは，ＹとＺの箱ひげ図 は，第2四分位数は同じ位置にあるので，判. ですか？ Ｓ８：それぞれ箱は，右，真ん中，左に決まると. 断できないと思います。 Ｔ17： では，どのように判断すればよいのです. いうことです。 Ｔ12：では，もとのデータが7つあったとしてそ れらを磁石とみなして，小さい順から並べる とどのように並ぶといえそうですか？ちょっ と近所の人に伝えてみてください。. か？ Ｔ18：今，頭の中で考えていることを近所の人に 伝えてみましょう。 Ｓ15：Ｂのヒストグラムをみると，データの散ら. Ｓ９：まず，ひげの位置から，最小値と最大値が. ばり具合が山の高い部分に集まっているとい. 決まります。そして，右側に箱があるので，. えます。同じようにデータが集まっていると. データはこのように並ぶと思います（図７）。. すると，ＡのヒストグラムはＺの箱ひげ図に. Ｓ10：いや，違うと思います。. 対応しているといえますが，Ｂのヒストグラ. 四分位数の部分がおかしい. ムよりもＡのヒストグラムの方がデータが散. です。. らばっていると判断できるので，Ａのヒスト グラムはＹに対応しているといえます。. Ｔ13：どういうことですか？四. Ｔ19：Ｓ15さんは，ヒストグラムのどこに着目し. 分位数の部分のデータはど のように並ぶのか，近所の. 図７. 人と相談してみましょう。 Ｓ11：第2四分位数から考えるのが一番わかりや すいので，第2四分位数は箱に対応してここ. て判断したといえそうですか？ Ｓ16：散らばり具合に着目していると思います。 Ｔ20：散らばっているとしたら，箱ひげ図の箱は どのようになるといえそうですか？. 237.
(7) 赤 本 純 基. Ｓ17：箱は長くなると思います。. うに工夫する中で，Ｓ９やＳ11のような誤答を引. Ｔ21：では，逆だったらどうでしょうか？. き出すことができた。誤答について，学級全体で. Ｓ18：箱は短くなります。. 共有することで，前時の学習内容について振り返. Ｔ22：データはどんな様子になっているのでしょ. り，ヒストグラムと箱ひげ図とデータの様子を関. うか？先ほどと同じように，もとのデータが. 連付けながら，四分位範囲についての意味の理解. 7つあったとしてそれらを磁石とみなして，. を図ることもできた。. 小さい順から並べてみます。どのように並ぶ. ③ 確認問題と練習問題. のか，ヒストグラムと箱ひげ図の箱と対応さ. 図３の確認問題では，ヒストグラムの山の高さ. せて置けるでしょうか？. の部分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係を使っ. Ｓ19： こ れ は 箱 ひ げ 図 を み る. て，判断し説明させることで，本時の目標達成に. と，四分位範囲が小さいの. 迫る。図４の練習問題では，ヒストグラムの山の. で，データはこのように一. 高さの部分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係だ. 部分にキュッと集まってい. けではなく，ヒストグラムの山の形と箱の長さの. るといえます。詳しくは，. 関係も使って判断し説明させることで，本時の目. 第1四分位数と第3四分位. 標の達成を確実にしたいと考えた。. 数の対応を考えると，この. Ｔ25： では，１題試してみましょう。（図３の確. ようになります（図10） 。. 図10. 認問題を提示）Ａ～Ｃのヒストグラムは，Ｘ. Ｓ20：こちらの箱ひげ図では，. ～Ｚの箱ひげ図のどれかに対応しています。. 四分位範囲が大きいので，. どの箱ひげ図に対応していると判断できるで. データはこのように，散ら. しょうか？. ばっている状態になってい. Ｓ21：ＡはＺ，ＢはＸ，ＣはＹに対応しています。. るといえます。第1四分位. Ｔ26：どうして，そのように判断したのですか？. 数と第2四分位数は，この. 図11. ようになります（図11）。. 近所の人に自分の言葉で説明してみましょう。 Ｓ22：ヒストグラムの山の高い部分が左にあるか. Ｔ23：ここまでの話を振り返ると，ヒストグラム. ら，ＡはＺに対応しています。同じように考. のどこに着目して判断すれば対応する箱ひげ. えて，ＢはＸ，ＣはＹに対応しているといえ. 図がわかりそうですか？. ます。. Ｓ21：ヒストグラムの山の高い部分の位置と散ら ばり具合に着目すればよいといえます。 Ｔ24：そこが大切なんですね。黒板でも強調して おきますので，ノートの方も強調しておいて ください。 個人思考時には，自分の考えを途中まででもよ いので持てるように，意図的に指名計画を立て， 少しずつヒストグラムと箱ひげ図の関係に気付け. Ｔ27：ヒストグラムのどこに着目して判断したの ですか？ Ｓ23：ヒストグラムの山の高い部分の位置に着目 しました。 Ｔ27： さらに，練習してみましょう。（図４の練 習問題を提示） Ｔ28：隣の人と，練習問題について判断した理由 を説明し合いましょう。. るように働きかけることができた。集団思考時に. Ｓ24：⑶は，ヒストグラムの山の高い部分が左に. は，ヒストグラムに対応した箱ひげ図から情報を. 偏っているので①です。また⑴は，ヒストグ. 読み取り，データの散らばりの様子をイメージで. ラムの散らばり具合が真ん中に集まっている. きるようにマグネットをデータとみなしてデータ. から，四分位範囲が小さいということなので. の散らばりの様子を視覚的にわかりやすくするよ. ③です。最後に⑵は，ヒストグラムの散らば. 238.
(8) ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図る指導について. り具合が広がっているから，四分位範囲が大. れる。. きいので②です。. ⑶ 確認問題と練習問題について. Ｔ29：今日は，ヒストグラムと箱ひげ図の関係に. 確認問題においては，ヒストグラムの山の高さ. ついて学びました。これで，授業を終わりま. の部分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関係を使っ. す。. て，判断し説明させた。生徒は，導入問題の解決. 確認問題では，Ｓ22の説明のように，ヒストグ. 過程で学んだヒストグラムの山の高い部分の位置. ラムの山の高い部分に着目した考えを，練習問題. と箱ひげ図の箱の位置との関係に着目し，判断し. では，Ｓ24の説明のように，ヒストグラムの散ら. 説明していた。練習問題においては，ヒストグラ. ばり具合から四分位範囲の様子を判断する考えを. ムの山の高さの部分の位置と箱ひげ図の箱の位置. 引き出し，学級全体で共有することができた。. の関係だけではなく，ヒストグラムの山の形と箱 の長さの関係も使って判断し説明させた。生徒は，. ６．実践の振り返りと課題. ⑶⇔①，⑴⇔③，⑵⇔②の順に，まずはヒストグ ラムの山の高い部分の位置と箱ひげ図の箱の位置. 本実践から得られた示唆と今後の課題について. の関係に着目して判断し，次にヒストグラムの散. は，次の通りである。. らばり具合と箱の長さの関係に着目して判断して. ⑴ 導入問題について. いた。これらの問題に取り組むことを通して，生. 導入問題を提示し生徒に予想させると， 「ヒス. 徒は個人思考・集団思考で学んだ「ヒストグラム. トグラムから箱ひげ図の様子なんてわかるのか. の山の高い部分の位置と箱ひげ図の箱の位置の関. な？」 「なんとなくでわかるのではないか？」と. 係」や「ヒストグラムの散らばり具合と箱の長さ. いう声があがり，予想がＸ（1人），Ｙ（27人），. の関係」についての知識を使って，ヒストグラム. Ｚ（6人）に分かれた。「自分とは違う選択肢を. に対応した箱ひげ図はどれかを判断し，その根拠. 選んだ理由を知りたい」 「本当はどうか確かめた. を説明する姿を引き出すことができたと考えてい. い」という意欲の高まりが見られたのと同時に，. る。. ヒストグラムのどこに着目すれば対応した箱ひげ. ⑷ 今後の課題について. 図を選べるのかという課題が焦点化されていっ. ヒストグラムと箱ひげ図の関係の理解を図るた. た。以上のことから，この導入問題は，ヒストグ. めには，ヒストグラムのどこに着目して判断すれ. ラムと箱ひげ図の関係について考えるきっかけを. ばよいのかを明確にする必要がある。そのために. 与える問いとなったと考える。. は，本稿で提案した導入問題や個人思考・集団思. ⑵ 個人思考・集団思考について. 考時におけるマグネットをデータとみなしてデー. マグネットをデータとみなしてデータの散らば. タの散らばりの様子を視覚的にわかりやすくする. りの様子を視覚的にわかりやすくするように工夫. 工夫，確認問題と練習問題は有効であったと考え. したことにより，Ｓ９やＳ11のような誤答を引き. る。しかし，単元を通したヒストグラムと箱ひげ. 出すことができた。誤答について，学級全体で共. 図の関係の理解を図るような実践を検討していく. 有することで，箱ひげ図から読み取れるより厳密. ことが，今後の課題として残った。. なデータの様子について学級全体で考え合うこと ができた。ヒストグラムと箱ひげ図とデータの様 子を関連付けながら，四分位範囲についての意味 の理解を図ることを通して，ヒストグラムに対応 した箱ひげ図から，データの散らばりの様子をイ メージできる姿を引き出すことができたと捉えら. 引用・参考文献 文部科学省（2017） ．中学校学習指導要領解説 数学編． 文部科学省HP．pp.122-123． 俣 野 博 他（2016） ． 数 学 Ⅰ Standard． 東 京 書 籍．. 239.
(9) 赤 本 純 基. pp.169-170. 相馬一彦（1997）．数学科「問題解決の授業」．明治図書． 相馬一彦（2000）．「問題解決の授業」に生きる「問題」集． 明治図書． 相馬一彦（2009）．新「問題解決の授業」に生きる「問題」 集．明治図書． 早勢裕明（2017）．こうすればできる！算数科はじめての 問題解決の授業―100の授業プランとアイディア．教育 出版． 早勢裕明（2017） ．「主体的・対話的で深い学び」を実現 する！算数科「問題解決の授業」ガイドブック．明治 図書． 赤本純基（2018）．問題解決過程における「子供の停滞」 を解消する方策に関する研究．日本数学教育学会誌第 100巻第11号．. . 240. （北海道教育大学附属釧路中学校教諭）.
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