資料置場 コマの物理から素粒子のスピン

回転座標系と慣性力

ちょっとした思考実験

質点が先端につけられている単振り子

振り子をゆらした時、床面に投影された質点の陰の運動は？

振り子の質点の陰：　床が回転していると？

振り子は同じように振動している。

床が振り子の支点を通る鉛直線を軸として回転している場合、 質点の陰はどのような軌跡を描く？

１　振り子の周期と床の回転周期が同じ場合 ２　回転周期が振り子の周期の半分の場合

回転版上の振り子の軌跡

原点から距離 _{角速度 ω1 の単振動で変動}

回転版 _{角速度 ω}

2 ^で回転

^

x

y _ ⁼ _

sin 

t⋅cos 

t

sin 

t⋅sin 

t _

₁=2  , ₂=2  ₁=2  , ₂= ₁=2  , ₂=2 /3

₁=2  , ₂=2 /4 ₁=2  , ₂=2 /5 ₁=2  , ₂=2 /6

では、地球上で同じ事を考える：　フーコーの振り子

地球は自転軸を中心に自転している。 北極点に振り子を設置する。

空気抵抗が無視できるように、

振り子の糸は十分長く質点は十分重い。

振り子の支点が自転軸を通るように設置。

北極点にいる観測者から、質点の運動は どの様に観察されるか？

地表にいる観察者は地球の自転を感じない。

観察者にとって、この振り子の先端に結びつけられた 質点の力学はどのように理解されるのか？

フーコーの振り子はいろいろな所で展示されている。 近くでは　霞城セントラル。

霞城セントラルの振り子はどんな運動をするのだろうか？

回転座標系

回転している円盤上に座標系をとる

x' y'

x y

回転座標系

 x

y

x '

y '  ^{x ' y '}  ⁼  −sin  cos ^{cos  sin } _{ } ^x _{y }

i = _ ¹

0 _

j= _ ⁰

1 _

二つの座標系の関係は

単位ベクトルで確認

(x, y) 系 → (x', y') 系

i = _ ¹

0 _ ^ _

cos

sin  _

j= _ ⁰

1 _ ^ _

sin 

cos _

等速回転している場合

d 

dt ^=

質点が

_{r= } ^x

y _

にある時、その質点の速度は時間微分で 与えられるので、、、

上の式の両辺を時間で微分する。

座標の回転角度も時間に依存する事に注意！

回転座標系での見かけの速度

 ^{˙x '} ˙y '  ^{=  − ˙ −˙} cos − ˙sin  ^{sin  ˙cos } _{ }

x

y _ ^ _

cos  sin 

−sin  cos _{ } ^˙x _{˙y }

 ^{x ' y '}  ⁼  −sin  cos ^{cos  sin } _{ } ^x _{y }

d  f t  g t 

dt ⁼

d f t 

dt g t  f t ^{dg t } dt d  f  g t 

dt ⁼

d f t  dt

dg t  dt

sin /2=cos cos/2=−sin 

 ˙y ' ^{˙x '}  ^=−  ^{−sin  cos / / 2 2   cos sin / / 2 2  }   ^{x y}  ^  −sin  cos  ^{cos sin } _{ } ^˙x _{˙y }

角度 θ 回転させる 角度 _{(θ + π/2)} 回転させる

R _{= } ^{cos sin }

− sin  cos _

˙r' =R  −/ 2 rR  ˙r =R _[  R−/ 2 r ˙r _]

r ' =R r

˙R =−R



¨R =

^R 

^R 

R =RR 

˙R =−R ^R/2= R^R−/2

方程式の意味する事

˙r' =R  _[ R−/ 2r ˙r _]

r ' =R  _[ r _]

 x

y

x ' y '

r

(x,y) 座標系での”見え方” (x',y') 座標系での見え方に変換する”演算”

逆の変換＝角度を逆に回転 逆の変換＝角度を逆に回転

R_{−[r ']}=R −R [r]=r

(x',y') 座標系での速度は、(x,y) 座標系での速度を回転したものとは一致しない。

˙r' ≠R  _[ ˙r _]

位置ベクトルの見え方は、どちらの系でも同じ。 角度 θ の回転に対応している

余分な項が生じる。

大きさが ωr で、向きを位置ベクトルを -90度 回転させる方向。

回転座標系での質点の運動

(x,y) 系で静止している物体

_˙r=0

(x',y') 系では

˙r' =R R −/2r

x

y

x '

y '

r

(x',y') 系での速度の大きさは

v ' =∣ ˙ _{r '∣=r}

等速円運動をしてる物体の速度は？

ある座標系で等速円運動している物体は

等速で回転している座標系からみた「静止している物体」と

区別（できる・できない）

※　並進する座標系での話と同じ

˙r' =R  _[  ^R −/ 2r  ˙r ]

等速回転しているものを（同じ速度の）回転座標系でみる

˙r' =R  _[  ^R −/ 2r  ˙r _]

˙r' =0

同じ角速度で回転している系でみるのだから、位置は一定

 ^R −/ _{2r  ˙r=0}

˙r= ^{R /} 2r

位置ベクトルを90°回転した方向に、 大きさ rω の速度を持つ。

(等速)回転座標系での運動方程式

r ' =R r

¨r' =R  _[ −

r2 R−/2 ˙r ¨r _]

m ¨ r ' =R _[ −m

r 2 m R −/2 ˙r m ¨r _]

˙R =−R / 2 

˙R r=−r

˙R =R  −/ 2 

x

y

x '

y '

r

−m

r

“みかけの”向心力 ^{物体が (x, y) 系で}

速度を持つ場合

F ' =R  ^ F

これは一体なに？

˙r' =R  _[ R−/ 2r ˙r _]

(等速)回転座標系からみた質点：　質点が等速運動している場合

x

y

x '

y '

r

−m

r

v

2 mR −/2r

“みかけの”向心力 質点が運動している場合の みかけの力

F ' =R  _[ −m

r 2 m R−/2 ˙r   F _]

例）　原点がら等速で遠ざかる質点 例）　原点がら等速で遠ざかる質点

v ∝r

速度に対して垂直方向（-90度）に 力が作用しているように見える

（みかけの力）

垂直方向の慣性力が生じる

コリオリの力

見かけの力によって、進行方向に対して

見かけの力によって、進行方向に対して

回転座標系と共に運動する物体

F ' =R  _[ −m

r 2 m R−/2 ˙r   F _]

見かけの向心力と釣り合う力が（遠心力）が働いている。

_{F =  m }

_r

F ' =R  _[ 2 mR −/2 ˙r _]

F ' =R  _[ 2 m R−/2 ˙r f _]

他に外力 f が働く場合

みかけの力のみが働く

角速度ベクトルを使う

x

y

r 

 

  _×r

−  _{ ×r}

 

˙r' =R  _[ R−/ 2r ˙r ]

位置ベクトルを 角速度ベクトルを軸に -90°回転させて、角速度をかける。 位置ベクトルと垂直

角速度ベクトルとも垂直

−  _{ ×r}

＊　角速度ベクトル ω をもつ質点の速度は

静止している質点を角速度 _{ω で回転する系} から見れば、みかけの速度は

  _×r

−  _{ ×r=r×}  _

R −/ 2 f  −  ^{× f}

外積による表現との対応

˙r' =R  [ R−/ 2r ˙r ] ˙r' =R  [ − ×r  ˙r ]

¨r' =R  _[ −

r2 R−/2 ˙r ¨r _]

¨r' =R  _[ −

r −2  × ˙r  ¨r _]

３次元ベクトルに拡張しても基本的には同じ

r ' =R r r ' =R r

R −/ 2 f  −  ^{× f}

F ' =R   _[ −m

r 2 m R−/2 ˙r  F _]

F ' =R   _[ −m

r −2 m  × ˙r   F _]

コリオリの力

地表面に固定された座標系

地球の平均半径 R = 6.4 × 10⁶ m 山形市の緯度 北緯 _{38 度}

sin 38° = 0.62 cos 38° = 0.79

山形市の半径 _{R cos 38° = 5.0×10}⁶ _m 自転の周期 T = 24 h = 1440 min = 86400 s 自転の角速度 ω = 2π/(86400) = 7.3×10^-5 s^-1

 

' 



緯度 θ₀ の位置に固定された座標系は 鉛直方向の動きを無視できる場合、 コリオリの力は

角速度 ωsinθ₀ の回転座標系での コリオリの力として近似できる

台風はなぜいつも進行方向に対して右に曲がるのか？

地球の外側の系で直進（北上）する「台風」は 地表に固定された座標系（回転座標系）

からは曲がって見える。

= 見かけの力により曲げられたように見える 見かけの力

F ' =R

_[

_]

 

' 

フーコーの振り子＠霞城セントラル

フーコーの振り子

1851年にフーコーによって製作された振り子

弦の長さ _{L = 67 m}

おもりの質量 m = 28 kg

周期 T = 16.4 s

フーコーの振り子＠霞城セントラル

弦の長さ _{L = 20 m}

おもりの質量 m = 32 kg

周期 _{T = 9.0 s}

単振り子の周期

T =2 _ ^L

g

重力加速度

g =9.8 m/s

単振り子の力学

−mg

F ~−mg sin =− ^mgx

L

L

x

長さ L の単振り子の先に質量 m の質点がある 鉛直方向に対する弦の角度 θ が十分小さい場合 質点の運動は　

振動計数 k = mg/L の単振動 と見なせる。

長さ L の単振り子の先に質量 m の質点がある 鉛直方向に対する弦の角度 θ が十分小さい場合 質点の運動は　

振動計数 k = mg/L の単振動 と見なせる。

 m ¨ r=−k r−2 m  × ˙r

バネ定数 k の単振動 地球の自転によるコリオリ力

（角速度 ω の回転運動） 北緯 θ₀ では、角速度 ωsinθ₀ と近似するとすると 振り子は、周期 T = 2π√(L/g) で単振動しながら、 原点周りに 角速度 ωsinθ₀^{で回転運動する。} 地表の設置された振り子の運動は

地球の自転の周期が 24時間 とすると、

北緯 θ₀ での振り子のコリオリ力による周期は 24/sinθ₀ 　時間

単振り子の力学つづき

m _ r× ¨r _ =−k r×r−2 m _ r× _ × ˙r  _{ }

d

dt ^{ r× ˙r  =r× ¨r}

d

dt ^{ r× ˙r } = ˙r× ˙rr× ¨r

m ¨ r=−k r−2 m  × ˙r

d

dt ^{ r×  ×r    = 2  r ×  × ˙r   }

d

dt ^{ r×  ×r    = ˙r×  ×r   r×  ×r ˙  r×  × ˙r  }

˙

=0

˙r×  ×r   =− ^×  r× ˙r  −r×  ˙r×  ^ 

r× ˙r ∝  ^

˙r×  ×r   =r×  × ˙r  

d

dt ^{ r× ˙r  =−}

d

dt ^{ r×  ×r   }

r× ˙r ⁼⁻ r×  ×r  _

質点 は　角速度 ω で回転運動しているように見える

（結局、回転→コリオリの力　を　コリオリの力→回転にしただけ） 角速度成分のみに注目して考えると

フーコーの振り子＠霞城セントラル

山形(北緯38°)での地球の自転による コリオリ力

角速度 _{ω sin 38°} １時間あたりの回転角度

(360°/24)×sin 38° = 9.3° 周期（時間） 24 h /sin38° = 38.8 h

１時間あたりの単振り子の振動数

周期 _{T = 9.0 s}

60×60/9.0 = 400回

一回転するのに必要な振動数 38.8 h × 400 ~ およそ15000回

フーコーの振り子＠霞城セントラル

振り子の軌跡を書くの無謀 霞城セントラルのの振り子が、

角速度 _{0.01 s}^-1 _{で回転する星の上に} 置かれていた時（重力加速度は同じ）の 軌跡は