線形代数続論2016夏学期 Akira Masuoka

2016. 8. 1.

線形代数続論 ²⁰¹⁶

担当 増岡 彰

教科書 木村達雄ほか著「明解線形代数」（日本評論社）第６章_–第９章に沿う_.

授業の目標 _V を複素数体_C 上の有限次元ベクトル空間とし_{, V} の基底 _{v1, v2}, . . . , vn ^を

1^組選ぶ. ^すると, V ^{は数ベクトル空間} C^{n と}, ^同型写像

Cⁿ _{−→ V,}^≃



 c₁

... cn



 7→^(v1, . . . , vn

)



 c₁

... cn



 = c^{1v1+· · · + cnvn}

を通して同一視される_{. f : V → V} を線形変換とすると_, これは

(f (v₁), f (v₂), . . . , f (vn)⁾=⁽v₁, v₂, . . . , vn⁾







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ^... ^{. .. ..}. a_n1 a_n2 . . . a_nn







によって一意的に決まる _n 次正方行列 _{A =}

(a_ij^{) による左乗法} L_A : Cⁿ _{→ C}^{n と同一}

視される_. この _A を_f の₍基底 _{v1, v2}, . . . , vn ^に関する) ^{表現行列と呼ぶ}.

問題１ _f に対し_, 基底 _{v1, v2}, . . . , vn ^{をうまく選んで}, ^{その表現行列} A ^{をなるべく簡単} な形にする方法を与えよ_.

  対 角 行 列 は 確 か に 簡 単 な 形 だ が_{, A} を 対 角 行 列 に で き る と は 限 ら な い_. 一 般 に _A を

Jordan 標準形と呼ばれる簡単な形にする方法を_, 第９章で与える_.

 _V が幾何学的構造_, すなわち内積をもつとする_{. v1, v2}, . . . , vn ^{が正規直交基底であれ}

ば_{, V} は上の方法で ₍標準内積をもつ_{) C}ⁿ と内積まで込めて同一視される_.

問題２ 線形変換 _{f : V → V} に対し_, 正規直交基底に関する _f の表現行列が対角行列と

なるようにできるのは_{, f} がどんな条件を満たすときか_?

 これに対する答えを第₇章で与える_. ここまでスカラー域を _C としたが_, 実数体 _R 上 のベクトル空間においても内積の概念ができ_, 問題２の「実版」を考えることができる_. この実版への答えを応用して_, ２次超曲面の分類ができる_. それを第８章で示す_.

成績評価 小テストとレポート 評点 ４割_, テスト₍３回の予定₎ 評点 ６割 オフィスアワー 金曜日 昼休み自然学系棟 _{D 602}

第６章 ベクトル空間と線形写像

6.1 ベクトル空間と部分空間 ₍復習₎

 _K は実数体 _R または複素数体 _C を表す_.

定義 _(K 上の₎ ベクトル空間とは_, 下に挙げるすべての条件を満たすような２つの演算 V × V → V, (x, y) 7→ x + y; K × V → V, (λ, x) 7→ λx

(^{それぞれ和}, ^{スカラー倍と呼ぶ}) ^{を伴う集合} V _{̸= ∅}^{のことをいう}. (1) ^{和に関して}V ^{が加法群をなす}. ^{すなわち次の} (i)–(iii) ^を満たす.

(i) 和が結合律と可換律を満たす_.

(ii) 0 + x = x (_{∀x ∈ V )} ^{を成り立たせる元} 0_{∈ V} ^が (^{必然的にただ}1^つ) ^存在す る₍これを零元と呼ぶ_).

(iii) ^各元 x_{∈ V} ^に対し x + (_{−x) = 0} ^{を満たす元} _{−x ∈ V} ^が(^{必然的にただ}1^つ) 存在する₍これを_x の逆元と呼ぶ_).

(2) ^{スカラー倍が次の}(iv)–(vi) ^を満たす.

(iv) スカラー倍が次の２種類の分配律を満たす_.

λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, λ, µ∈ K, x, y ∈ V. (v) スカラー倍が次の結合律を満たす_.

λ(µx) = (λµ)x, λ, µ∈ K, x ∈ V.

(vi) 1 (_{∈ K)} によるスカラー倍は恒等的_, すなわち _{1x = x, x∈ V.} 注意 ₍₁₎ ベクトル空間 _V において次が成り立つ_.

0x = 0, −x = (−1)x (x ∈ V ); λ0 = 0 (λ ∈ K). x + (_−y) ^を x_{− y} ^とも書く.

(2) V , K .

例１ _K に成分をもつ _{n× m} 行列全体 M (n, m; K) ^は, 通常の和とスカラー倍により _K 上のベクトル空間をなす_. 特に _{m = 1} の場合_{, n} 次タテベクトル全体 _Kⁿ = M (n, 1; K) は_K 上のベクトル空間である_.

例２ _K に係数をもつ変数 _X の多項式全体 _K[X] は通常の和とスカラー倍により _K 上 のベクトル空間をなす_. このうち _n次以下の多項式全体 _K[X]n も同じ和とスカラー倍に より _K 上のベクトル空間をなす_. 換言すれば _K[X]n は _K[X] の部分空間である ₍次の 定義を見よ_).

例３ ベクトル空間 _{V1, V2, . . . Vn} が与えられたとき_, 直積集合

∏n i=1

Vi = V1× V2× · · · × Vn

は成分ごとの和とスカラー倍によりベクトル空間をなす_. これをベクトル空間としての直 積と呼ぶ_.

定義 ベクトル空間 _V の部分空間とは_, 次の _(1)–(3) を満たす _V の部分集合 _W のこと をいう_.

(1) W _{̸= ∅.}

(2) W は和に関して閉じている_. すなわち_{, x, y∈ W} ならば_{x + y ∈ W .}

(3) W はスカラー倍に関して閉じている_. すなわち_{, λ∈ K, x ∈ W} ならば _{λx∈ W .}

注意 _{(2), (3)} により _V の上の和とスカラー倍を _W に制限できる_. こうして得られる演

算により _W はベクトル空間になる_{. W} の零元は _V の零元 ₀ と一致_. 従って上の条件 (1) ^を

(1^′) 0 _{∈ W}

に替えてよい_. また_, 元 _{x∈ W} の_W における逆元は _V における逆元 _−x と一致する_. 例４ どんなベクトル空間 _V も _{0} と _V 自身を ₍それぞれ最小_, 最大の₎ 部分空間とし て含む_. また_{, W1, W2}, . . . , Wr ^を V ^{の部分空間とすると},

共通部分

∩r i=1

Wi = W_{1∩ W2}∩ · · · ∩ W^r,

はすべての _Wi に含まれる最大の部分空間_. また 和

∑r i=1

Wi = W1+_{· · · + W}r:=_{w1+_{· · · + w}r | wi∈ Wi}

はすべての _Wi を含む最小の部分空間になる_.

 _V をベクトル空間とし_{, x1, x2}, . . . , xr ^を V ^{の元とする}. これらの元の線形結合全体

⟨x1, x2, . . . , xr⟩ := {c1x1+ c2x2+_{· · · + c}rxr | ci ∈ K}

は_, すべての _xi を含む _V の最小の部分空間をなす_. これを _{x1, x2}, . . . , xr ^{が生成する部}

分空間と呼ぶ_. とくに _{V = ⟨x1, x2}, . . . , xr_⟩ ^{となる場合}, V ^は x₁, x₂, . . . , xr ^{によって生}

成される_{, x1, x2}, . . . , xr ^は V ^{の生成系であるという} (「集合」でなく「系」と呼ぶのは 元のうちに重複を許すため_{). ⟨∅⟩ = {0}}と約束する_.

 有限 ₍個の元からなる₎ 生成系をもつベクトル空間を_, 有限生成ベクトル空間という_. 例 １_–３に挙げたベクトル空間の例のうち_, 有限生成でないものは_K[X] のみ_.

6.2–6.3 ^{線形独立性と基底}, ^{ベクトル空間の次元} (^復習)

 _V をベクトル空間とする_{. V} の元 _x1, . . . , xr ^{が線形独立であるとは}, c₁x₁+_{· · · + c}rxr = 0 ^{を満たすスカラーが} c₁ =_{· · · = c}r = 0^に限る

とき_, または同値に

すべての _{1≤ i ≤ n} に対し_{, xi∈ ⟨x/ 1}, . . . , b^xi, . . . , xr_⟩

が成り立つときにいう_. ここで_{, bxi} は _xi を省くことを意味する_. 従って最後の条件は_{, xi} がそれ自身を除いた _x1, . . . , xi₋₁, x_i+1, . . . , xr の線形結合として表せないことを意味す る_. 線形独立でないことを_, 線形従属であるという_.

定理_{A V} の元 _x1, . . . , xr ^{に対し次が同値になる}. (1) ^{線形独立な生成系}

(2) ^{極小生成系}. ^すなわち x₁, . . . , xr ^は V ^{の生成系であり}, これより１つでも省くと 生成系でなくなる_.

(3) ^{極大線形独立系}. ^すなわち x1, . . . , xr ^{は線形独立であり}, これに１つでも加えると 線形従属になる_.

(4) V 1 .

定義 これらの同値条件が満たされるとき_{, x1}, . . . , xr ^を V ^{の基底と呼ぶ}. ^{零元だけから} なるベクトル空間_{0} は空集合 _∅ を基底に持つとみなす_.

定理_B 有限生成ベクトル空間 _V は必ず基底をもつ_. 基底の選び方はさまざまあるが_, そ れを構成する元の個数は一定である_.

定義 その一定値を _V の次元と呼び_{, dim V} で表す_.

注意 有限生成ベクトル空間と有限次元ベクトル空間は同義語になる_. 定理_{C (}基底の構成法_{) V} を _n次元ベクトル空間とする_.

(1) V ^の生成系 x₁, . . . , xm ^{が与えられたとき}, これに含まれる極小生成系_, 極大線形 独立系はどちらも_V の基底になる_.

(2) v₁, . . . , v_r ^を V の 線 形 独 立 系 と す る と_{, r ≤ n} で あ り_, こ れ を 拡 張 す る _V の 基 底 _v1, . . . , vr, v_r+1, . . . , vn ^{が 存 在 す る}. ^{実 際}, v_{r+1 ∈ ⟨v}/ ₁, . . . , vr_{⟩, v}r+2 ∈^/

⟨v1, . . . , v_r+1⟩, . . . , vn _{∈ ⟨v}/ ₁, . . . , vn₋₁⟩ ^{を 満 た す V の 元 v}r+1^{, v}r+2, . . . , vn ^が

存在_. これらを付け加えればよい_.

 定理_Bの後半と定理_C(2)の証明に次を用いる_.

定理_{D V} を _n 次元ベクトル空間_{, v1}, . . . , vn ^{をその基底とする}. V ^の n ^元w₁, . . . , wn

が与えられたとき_,











w₁ = a₁₁v₁+ a₂₁v₂+_{· · · + an1}vn

w₂ = a₁₂v₁+ a₂₂v₂+_{· · · + an2}vn

. . . .

w_n = a_1nv₁+ a_2nv₂+_{· · · + ann}v_n

(_∗)

を満たすスカラー_{aij (1}≤ i, j ≤ n) ^{が１通りに決まり, 正方行列 A =(a}ij

)∈ M(n, K)

を得る_. このとき次が同値になる_. (1) w₁, . . . , w_n ^がV ^の基底. (2) w₁, . . . , wn ^{が線形独立}. (3) A ^{が正則行列}.

 これらの同値条件が満たされるとき_,正則行列_Aを基底_v1, . . . , vn^から基底w₁, . . . , wn

への変換行列と呼ぶ_.

注意 上の定理の式 _(∗) を行列の積の記法を借用して_, (w1, . . . , wn

)=⁽v1, . . . , vn

)A

と表す_. もともとベクトルのスカラー倍を表すのにスカラー _a の左乗法 _av で表す代わ りに_, 右乗法 _va で表しても問題なく_, とくに上の記法を用いる場合は後者の方が適して いる_.

演習題 上と同様の記法を用いると_, ベクトル空間 _V において元 _x1, . . . , xr ^{が線形独立}

であるための条件は次のように表せることをたしかめよ_. (x1, . . . , xr

)



 c₁

... cr



 = 0 ^を満たす



 c₁

... cr



 ∈ K^{r が零ベクトルに限る.}

演 習 題 次 を 示 せ_. 有 限 次 元 ベ ク ト ル 空 間 _V の 部 分 空 間 _W は ま た 有 限 次 元 で あ っ て_, dim W _{≤ dim V .} ^さらに, dim W = dim V _{⇔ W = V .}

6.4 ^{部分空間の和と直和} (^復習)

 _V を ベ ク ト ル 空 間_{, W1, . . . Wr} をそ の 部 分 空 間 と す る_{. 6.1} 節 で 定 義 し た よ う に_, 和

∑r

i=1^{Wi = W1+· · · + Wr は}

∑r

i=1^{wi = w1+· · · + wr (wi ∈ Wi) の形の元全体からな}

る_V の部分空間であった_.

定義 この和が直和であるとは_, 次の互いに同値な条件が満たされるときにいう_. (1) 和の各元の表し方が一意的_. すなわち

∑r

i=1^{wi =}

∑r

i=1^wi^{′ (wi, w}i^′ ∈ Wi) ^ならば w_i = w_i^′ (1_{≤ i ≤ r).}

(2) ^∑r_i=1wi = 0 (wi _{∈ W}i) ^ならば wi = 0 (1_{≤ i ≤ r).}

(3) ^{和が与える全射∏r}_i=1Wi →^∑r_i=1^Wi, (w1, . . . , wr)_{7→ w}1+_{· · ·+w}r ^が単射(^従っ て全単射_, 実は同型写像_).

この場合_, 和を

⊕r i=1

W_r = W₁⊕ · · · ⊕ Wr

で表す_.

定理 記号を上の通りとする_.

(1) r = 2 ^の場合, ^{次が同値になる}. (i) ^和W₁+ W₂ ^が直和. (ii) W_{1∩ W2} =_{0}.

(2) r _{≥ 2} ^{が一般の場合}, ^{次が同値になる}. (i) ^和∑r_i=1Wi ^が直和.

(ii) ^すべての 1 < k _{≤ r} ^に対し, ^∑k−1_i=1 Wi ^と Wk ^{の和が直和}. (iii) ^すべての 1 < k _{≤ r} ^に対し, ^{( ∑k}_i=1⁻¹Wi

)∩ Wk =_{0}.

系 和

∑r

i=1^Wi が 直 和 で あ る と す る_{. u1}, . . . , up ^が W₁ ^{の 基 底}, v₁, . . . , vq ^が W₂ の 基 底, . . . , w1, . . . , wt ^が Wr の 基 底 で あ れ ば_, こ れ ら す べ て を 並 べ て 得 ら れ る u₁, . . . , u_p, v₁, . . . v_q, . . . , w₁, . . . , w_t ^{はこの和の基底になり}, ^従って

dim

⊕r i=1

Wi =

∑r i=1

dim Wi

が成り立つ_.  

定理 _{r = 2} の場合_, 一般には

dim(W₁+ W₂) = dim W₁+ dim W_{2− dim(W1∩ W2})

が成り立つ_.

定義 ベクトル空間 _V の部分空間 _W に対し_{, V = W ⊕ U} を満たす部分空間 _{U ⊂ V} を W ^の (V ^における)^{補空間と呼ぶ}.

演習題 _V を有限次元ベクトル空間とするとき_, 次を示せ_.

(1) ^部分空間W _{⊂ V} ^に対し, W ^{の補空間が存在する}. {0} ̸= W ̸= V ^{であれば, その} 補空間は無数に存在する_.

(2) W₁, W₂ ^をV ^{の部分空間とし}, i = 1, 2 ^に対し Ui ^をW_{1 ∩ W2} ^の Wi ^{における補}

空間とするとき_,

W₁+ W₂ = U_{1⊕ U2⊕ (W1∩ W2})

が成り立つ_.

6.5 ^線形写像 (^復習)

 _{U , V , W} をベクトル空間とする_.

定 義 和 と ス カ ラ ー 倍 を 保 つ ベ ク ト ル 空 間 の 間 の 写 像 を 線 形 写 像と 呼 ぶ_. す な わ ち_, f : U _{→ V} ^{が線形写像であるとは},

(1) f (x + y) = f (x) + f (y), x, y_{∈ U,} (2) f (λx) = λf (x), λ _{∈ K, x ∈ U}

が満たされるときにいう_. 線形写像 _{U → V} 全体からなる集合を _{Hom(U, V )} で表す_. と くに_{U = V} の場合_, 線形写像 _{V → V} を _V 上の線形変換と呼び_, その全体からなる集合 を_{End(V )}で表す_.

 線形写像の簡単な性質として_,

(i) ^線形写像 f : U _{→ V} ^は零元, ^{逆元を保つ}. ^すなわち f (0) = 0, f (−x) = −f(x). (ii) ^線形写像 f : U → V , g : V → W ^{の合成 g}◦ f : U → W ^{はまた線形写像.}

(iii) U ^{のすべての元を} V ^{の零元に写す写像} U _{→ V} ^{は線形写像}. ^{これを零写像と呼ぶ}. (iv) V ^{の上の恒等変換} I_V : V _{→ V, IV}(x) = x ^{は線形変換}.

定理 _{f : U → V} を線形写像とする_. (1) f ^の核 (^独 Kernel)

Ker f ={x ∈ U | f(x) = 0}

は_U の部分空間である_. (2) f ^の像 (^英 image)

Im f ={f(x) ∈ V | x ∈ U}

は_V の部分空間である_. (3) f ^が単射 ⇔ Ker f = {0}.

(4) U が有限次元であれば次の等式が成り立つ_.

dim U = dim(Ker f ) + dim(Im f )

注意 dim(Ker f ) ^を f ^{の退化次数と呼び} null f ^で表す. dim(Im f ) ^を f ^{の階数と呼び} rank f ^で表す.

例 _{U = K}ⁿ_{, V = K}^m の場合を考えよう_. 行列 _A ∈ M(m, n; K) ^{に対し, その左乗法} L_A : Kⁿ _{→ K}^m, L_A(x) = Ax ^{は線形写像であり}, ^対応 A _{7→ LA} ^は全単射

L : M (m, n; K) _{−→ Hom(K}^{≃ n}, K^m)

を与える_.

(1) LA ^{の 核} Ker LA ^は, ^{斉 次 連 立}1 ^{次 方 程 式} Ax = 0 の 解 空 間 に 一 致 し_, 退 化 次 数 null LA ^{はその連立}1次方程式の解の自由度に一致する_.

(2) A ^{の列ベクトルを} a1, . . . , an ^とする, ^すなわち A = ⁽a1. . . an

)

とするとき_{, LA} の像 _{Im LA} はそれらの列ベクトルが生成する _K^m の部分空間_⟨a1, . . . , a_n⟩ ^に一 致し_, 階数 _{rank LA} は行列 _A の階数に一致する_.

(3) f = LA ^{の場合に前定理} (4) ^{の次元公式は}, ^{第２章で学んだ等式} (Ax = 0 ^{の解の自由度}) = n_{− rank A}

に一致する_.

定義 線形写像のうち特に全単射であるものを同型写像と呼ぶ_. ２つのベクトル空間の間 に同型写像 _{U → V} が存在する場合_, これらは同型であるといい_{, U ≃ V} で表す_.

 同型写像の簡単な性質として_,

(i) ^同型写像 f : U _{→ V} ^の逆写像 f⁻¹ : V _{→ U} ^線形写像, ^{従って同型写像}. ^これによ り_{, U ≃ V} と_{V ≃ U} は同値_.

(ii) ^同型写像 f : U → V , g : V → W ^{の合成 g}◦ f : U → W ^{はまた同型写像.} (iii) ^恒等変換 IV : V _{→ V, I}V(x) = x ^{は同型写像}.

演習題 次を示せ_.

(1) f, g ∈ Hom(U, V ) ^{とする. 和 f + g とスカラー λ 倍λf を}

(f + g)(x) := f (x) + g(x), (λf )(x) := λf (x) (x _{∈ U)}

により定めると _{f + g} ∈ Hom(U, V ), λf ∈ Hom(U, V ) ^{であり, こうして定まる演} 算により _{Hom(U, V )} はベクトル空間になる_.

(2) 前の例に与えられた全単射 L : M (m, n; K) _{−→ Hom(K}^{≃ n}, K^m) ^{はベクトル空間} の間の同型写像である_.

 ベクトル空間の構造に関して論じる限り_, 互いに同型なベクトル空間は ₍同型写像を通 して₎ 同一視できる_. 例えば_, 生成系_, 線形独立系_, 基底は同型写像で互いに写り合う_. さ らに

定理 ２つの有限次元ベクトル空間_{U, V} に対し_,

U ≃ V ⇔ dim U = dim V.

 ベクトル空間 _V の元の列 _{v= (v1}, . . . , vm) ^{が与えられたとき}, ^写像ϕv : K^m _{→ V} ^を

ϕ^v



 c₁

... cm



 =^(v1, . . . , vm⁾



 c₁

... cm



 (= c^{1v1+· · · + cmvm)}

により定める_.

命題 この写像に関して次が成り立つ_. (1) ϕv ^{は線形写像である}.

(2) ϕ^{v が単射}_{⇔ v1}, . . . , vm ^{が線形独立}. (3) ϕ^{v が全射}_{⇔ v}1, . . . , vm ^が V ^の生成系. (4) ϕv ^{が同型写像} _{⇔ v1}, . . . , vm ^が V ^の基底.

注意 以後専ら_{, ϕv} が同型写像の場合_, 同値に _v1, . . . , v_m ^が V の基底の場合にこの写像 を用いる_. また以後_, 基底という場合_, それを構成する元の順序を考慮したもの ₍順序つき 基底₎ を指すことが多い_. その場合_, 基底を表すのに _{v = (v1}, . . . , vm) ^{のように記す}.   _U を _n 次 元 ベ ク ト ル 空 間_{, V} を _m 次 元 ベ ク ト ル 空 間_, た だ し n, m > 0 ^{と す る}. U ^{の 基 底} u = (u1, . . . , un) ^と V ^{の 基 底} v = (v1, . . . , vm) を 選 び 固 定 す る_. 線 形 写 像 f ∈ Hom(U, V ) ^に対し,

(f (u₁), . . . , f (un)⁾ =⁽v₁, . . . , vm⁾





a₁₁ . . . a_1n ... ^{. .. ..}. a_m1 . . . amn





により決まるスカラー _aij を成分にもつ行列_{A =} (aij

)∈ M(m, n; K) ^{が得られる.}

定義 この _A を_f の₍基底 _{u, v} に関する₎ 表現行列と呼ぶ_.

 この _A による左乗法 _{LA: K}ⁿ _{→ K}^m は_,

Kⁿ _{−−−−→ U}^φu

LA



y ^y^f K^m _{−−−−→ V}^φv を可換図式にする_, すなわち

f _{◦ ϕ}u= ϕv_{◦ LA}, ^等しく ϕ⁻¹v _{◦ f ◦ ϕ}^u = L_A

を成り立たせる線形写像 _Kⁿ _{→ K}^m として特徴づけられる_. これは _ϕu を通し _Kⁿ と_U を_{, ϕv} を通し_K^m と _V を同一視するとき_{, LA} と_f が同一視されることを意味する_. 演習題 上の状況において次を示せ_.

(1) ^対応 “^線形写像_7→^{その表現行列}” ^{が同型写像}

Hom(U, V )−→ M(m, n; K)^≃

を与える_.

(2) 上の同型写像に同型写像 L : M (m, n; K) _{−→ Hom(K}^{≃ n}, K^m) ^{を合成させたもの} は_{, f 7→ ϕ}⁻¹

v _{◦ f ◦ ϕ}^{u が与える同型写像}

Hom(U, V )_{−→ Hom(K}^{≃ n}, K^m)

である_.

例 _{U = K}ⁿ_{, V = K}^m の場合を考えよう_{. K}ⁿ の基底_{u = (u1}, . . . , un) ^と K^{m の基} 底 _{v = (v1}, . . . , vm) ^{が与えられたとする}. これらを構成するベクトルを並べて得られる P =⁽u1 . . . un

), Q =⁽v1 . . . vm

)

はそれぞれ _n次_{, m} 次正則行列で_, ϕu= LP, ϕv = LQ.

線形写像 _{f ∈ Hom(K}ⁿ_{, K}^m₎ は_, ある行列 _B ∈ M(m, n; K) ^{を以てf = L}B ^で与えら

れる_.

ϕ⁻¹v _{◦ f ◦ ϕ}^u = L⁻¹_{Q ◦ L}B ◦ LP = L_Q⁻¹_BP

だから_, 基底 _{u, v} に関する _{f = LB} の表現行列は _Q⁻¹_BP に等しい_.  さて_, 次の問題を考えよう_.

問題 有限次元ベクトル空間の間の線形写像 _{f : U → V} が与えられたとき_{, U} と_V の基 底をうまく選んで_, それらの基底に関する _f の表現行列がなるべく簡単な形になるように せよ_.

 これへの答えは極めて単純で_, 次の定理により与えられる_. 定理 どんな線形写像 _{f : U → V} に対しても_, その表現行列が

(Er O

O O

)

, r = rank f

となるように _U と _V の基底を選ぶことができる_.

 _{U = V} の場合_, 線形写像 _{f : V → V (}すなわち _V 上の線形変換₎ に対し_{, V} の基底_v と同じ基底 _v に関してその表現行列 _{A (}すなわち _{f ◦ ϕv = ϕv ◦ LA} を満たす _A) を簡単 な形にしようとすると問題は難しくなる_. 以後この場合このような _A を_, 線形変換 _f の 基底 _v に関する表現行列と呼ぶ_. 次章以降_, 次の問題について考える_.

問題 有限次元ベクトル空間 _V 上の線形変換 _{f : V → V} が与えられたとき_{, V} の基底_v をうまく選んで_, その基底に関する_f の表現行列がなるべく簡単な形になるようにせよ_. 例 _{V = K}ⁿ の場合_, この問題は次のように言い換えられる_. 正方行列 _{B ∈ M(n; K)} が 与えられたとき_, 正則行列 _P をうまく選んで _P⁻¹_BP がなるべく簡単な形になるように せよ_.

6.6 ^{商空間と同型定理}

 _V を ベ ク ト ル 空 間_{, W} を そ の 部 分 空 間 と す る_. 元 _{x ∈ V} に 対 し て_{, V} の 部 分 集 合 x + W ^を

x + W ={x + w | w ∈ W }

により定める_{. V} の２元_{x, y} に対し_,

x + W = y + W _⇔ x_{− y ∈ W}

が成り立つことから_,

(i) x + W = y + W, (ii) (x + W )∩ (y + W ) = ∅

のいずれか１つが成り立ち_, 従って_V は _{x + W} の形の部分集合たちに分割できる_. すな わち_{, V} の部分集合_{xi}i∈I を選んで

V = ^⊔

i_∈I

(xi+ W ) (互いに交わらない部分集合たちの和₎

と表せる_{. x + W} 全体 _{(x∈ V )} からなる集合 (x + W = y + W ^のとき, ^{またその時に限} りこれらを等しい元とみなす₎ を_{V /W} で表す_{. x + W} は _{V /W} においては元である_. こ れを _[x] または _[x]W で表す_. 従って

[x] = [y] (V /W ^{の元として}) ⇔ x + W = y + W (V ^{の部分集合として).}

(^ただし, V /W ^{の元を表す記号}[x] ^とV ^{の部分集合を表す記号} x + W ^{を混用することも} 多い_. どちらの意味か意識すべき_.) 全射

[ ] : V → V/W, x 7→ [x]

が得られる_. これを上の _{xi}i∈I に制限すれば全単射になる_{.  V /W} の上に和とスカラー倍が

[x] + [y] := [x + y], λ[x] := [λx] (λ_{∈ K)}

により_, 元の表示の仕方によらずに定義できる_. すなわち_,

[x] = [x^′], [y] = [y^′] ⇒ [x + y] = [x^{′+ y′}], [λx] = [λx^′].

さらに_, これらの演算により _{V /W} はベクトル空間になる_{. [ ] : V → V/W} は線形写像 になり_{, W} を核にもつ_.

定義 _{V /W} を_V の_W による商空間_{, [ ]} を _V から _W への自然な線形写像と呼ぶ_. 例 _{V /{0}} は_V と等しい_{. V /V} は零元のみからなるベクトル空間_.

例 _K[X] において _n 次以下の係数がすべて零である多項式_, すなわち p(X) = c_n+1Xⁿ⁺¹+ c_n+2Xⁿ⁺²+ c_n+3Xⁿ⁺³+ . . . (ci _{∈ K)}

の形の多項式全体を _Un とかく_. これは_K[X] の部分空間であり_, K[X] = ^⊔

p(X)∈Uⁿ

(p(X) + K[X]n).

これより_, 写像 _Un → K[X]/K[X]n, p(X) _{7→ [p(X)]} ^は全単射. ^{さらに線形写像}, ^従って 同型写像であることが見てとれる_.

演習題 _V をベクトル空間_{, W} をその部分空間とする_{. V} の部分空間 _U に対して_, 次が 互いに同値であることを示せ_.

(1) U ^がW ^の補空間.

(2) ^{自然な線形写像} [ ] : V _{→ V/W} ^のU ^への制限 U _{→ V/W} ^{が同型写像}.

(3) V =^⊔_u∈U(u + W ). ^すなわち (i) V =^∪_u∈U(u + W ), ^かつ(ii) u_{̸= u}^′ in U ^なら ば_{(u + W )∩ (u}^′_{+ W ) =∅.}

定理_{A (}準同型定理₎ ベクトル空間の間の線形写像_{f : U → V} は同型写像 U/ Ker f −→ Im f, [u] 7→ f(u)^≃

を引き起こす_.

例 _V をベクトル空間_{, W} をその部分空間とする_{. W} の補空間_U を選ぶと_{, V = W⊕ U.} 大雑把に言って_{, V /W} は_V において _W の元をことごとく零元と見なして得られるベク トル空間だから_{, V /W} は_U と本質的に等しい_. 定理_Aを用いてより厳密に示すと_, 射影

f : V = W ⊕ U → U, f(w + u) = u (w ∈ W, u ∈ U) は全射な線形写像で _W を核にもつ_. 従って同型写像 _{V /W}

−→ U, [w + u] 7→ u≃ ^が得ら

れる_. これは前演習題の ₍₂₎ にある _U → V/W , u 7→ [u]^{を逆写像にもつ. 例えば前の例} において, K[X] = K[X]n_{⊕ U}n. ^{射影が引き起こす}

K[X]/K[X]n _{→ U}n, ^{[ ∑}

i_≥0

ciX^i]_7→^∑

i>n

ciXⁱ

は同型写像で_{, Un}→ K[X]/K[X]n^{, p(X)} 7→ [p(X)] ^{を逆写像にもつ.}

定理_B 有限次元ベクトル空間 _V とその部分空間 _W に対して dim V /W = dim V _{− dim W.}

 定理_Aの帰結としていくつかの同型定理が得られる ₍教科書 定理 _6.17–18, 問題 _6.17

). .

定理_{C f : U → V} をベクトル空間の間の線形写像_{, W} を _V の部分空間とすると_{, f} に よる _W の逆像 _f⁻¹_{(W ) =} {u ∈ U | f(u) ∈ W } ^{は U の部分空間であって, 単射な線形} 写像

U/f⁻¹(W )_{→ V/W, [u]}f⁻¹(W ) 7→ [f(u)]W

が引き起こされる_.

 第９章で用いる概念を導入しておく ₍相対基底_, 相対線形独立系_).

 _V をベクトル空間_{, W} をその部分空間とする_{. v1}, . . . , vr ^をV ^{の元とするとき}, (i) [v₁], . . . , [vr] ^がV /W ^{の基底となる場合}, ^同値に

(ii) v1, . . . , vr ^がW のある補空間の基底となる場合

に_{, v1}, . . . , vr ^はV ^のmod W ^{基底であるという}. ^{もっと弱く}, (i) [v1], . . . , [vr] ^がV /W の線形独立系である場合_, 同値に

(ii) v₁, . . . , v_r ^がW のある補空間における線形独立系である場合_, v₁, . . . , v_r ^は mod W ^線形独立(^系)^{であるという}.

例 定理_Cの状況で_{, u1, . . . us} が_U の _{mod f}⁻¹_{(W )} 基底であれば_{, f (u1}), . . . , f (us) ^は V ^において mod W ^{線形独立になる}.

6.7 ^{計量ベクトル空間}

定義 _{K = R} または _C の上の有限次元ベクトル空間 _V に対し_, その上の内積とは_, 次の

条件を満たす ₍₂ 変数₎ 関数 _{( , ) : V × V → K} のことをいう_. (1) ^{第１変数に関して線形}. ^すなわち

(x₁+ x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y), (λx, y) = λ(x, y). (2) ^{エルミート対称性}. ^すなわち (x, y) = (y, x).

(3) ^{正値かつ非退化}. ^すなわち, ^すべての x _{∈ V} ^に対し (x, x) _{≥ 0.} ^かつ(x, x) = 0 ^を 満たすのは零元 _{x = 0} に限る_.

内積が１つ与えられた有限次元ベクトル空間を計量ベクトル空間と呼ぶ_. 注意 複素数 _{z = x + y}

√−1 (x, y ∈ R) ^{に対し, z は z の複素共役z = x}− y^√−1 ^を表

す_. 従って_{K = R} の場合_, 条件 ₍₂₎ は対称性 (x, y) = (y, x) ^を表す. ^条件 (1), (2) ^から, K = C ^の場合

(4) 第２変数に関して半線形_{: (x, y1+ y2) = (x, y1) + (x, y2}), (x, λy) = λ(x, y). が_{, K = R} の場合

(4^′) 第２変数に関しても線形_{: (x, y1+ y2) = (x, y1) + (x, y2}), (x, λy) = λ(x, y).

が従う_.

例 _Kⁿ 上の内積が

(x, y) :=

∑n i=1

x_iy_i

により与えられる_. ここに _{x =} ^t_(x1, . . . , x_n), y =ⁿ(y₁, . . . , y_n) _{∈ K}ⁿ. ^{この内積を}Kⁿ 上の標準内積と呼ぶ_. とくに断らない限り_, この内積により _Kⁿ を計量ベクトル空間と 見る_.

演 習 題 _W を 計 量 ベ ク ト ル 空 間 _V の 部 分 空 間 と す る と き 次 を 示 せ_{. V} 上 の 内 積 ( , ) : V _{× V → K} ^をW _{× W} ^{に制限すると} W ^{上の内積が得られ}, ^従って W ^はこの内 積により計量ベクトル空間になる_.

 計量ベクトル空間 _V において_, 各元 _{x∈ V} のノルム _||x|| を

||x|| =^{√(x, x)}

により定める_. これは非負実数値をとり_{, ||x|| = 0} となるのは _{x = 0} の場合に限る_. また

||λx|| = |λ| ||x|| (λ ∈ K, x ∈ V ).

定理 計量ベクトル空間 _V において

Cauchy-Schwarz ^の不等式 |(x, y)| ≤ ||x|| ||y|| 三角不等式 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

が成り立つ. Cauchy-Schwarz の不等式において等号が成り立つのは _x と _y が線形従属 の場合_, またその場合に限る_.

演習題 三角不等式から次の不等式を導け_. 

||x|| − ||y|| ≤ ||x + y|| (x, y ∈ V ).

 計量ベクトル空間 _V において_, ２元 _{x, y} が_{(x, y) = 0} または同値に _{(y, x) = 0} を満た すとき_, この２元は直交するといい_{, x⊥ y} または _{y ⊥ x} とかく_. 零元はすべての元と直 交する_{. u1}, . . . , ur ^が,^{互いに直交する} V ^{の非零元からなるとき}, ^これをV ^{の直交系と呼} ぶ_. これは必然的に線形独立系である_. ノルム１の元からなる直交系を正規直交系と呼ぶ_. u1, . . . , ur ^{が直交系であれば}, _||u¹_1||u1, . . . ,_||u¹_r||ur ^{は正規直交系になる}.

 _{n = dim V} の場合_{, n} 元からなる ₍正規₎ 直交系は _V の基底をなす_. この場合これを V ^の (^正規) ^{直交基底と呼ぶ}.

補題 計量ベクトル空間 _V において_, 直交系 _u1, . . . , ur ^と１元 v ^{が与えられたとする}. u := v₋

∑r i=1

(v, ui) (ui, ui)^ui

と お く と_, こ の _u は す べ て の _{ui (1 ≤ i ≤ r)} と 直 交 す る_{. v /∈ ⟨u1}, . . . , ur_⟩ ^{で あ れ ば}, u_{̸= 0} ^であり, u1, . . . , ur, u ^は _⟨u1, . . . , ur, v_⟩ ^{の直交基底になる}.

 これを順次用いることにより_, 次が得られる_. 計量ベクトル空間の基底から ₍正規₎ 直交 基底を構成するこの方法を, Gram-Schmidt ^{の直交化法と呼ぶ}.

定理 計量ベクトル空間 _V において_, 基底 _v1, . . . , vn ^{が与えられたとき}, u₁ := v₁, u₂ := v₂₋^{(v2, u1)}

(u₁, u₁)^{u1, u3 := v3−}

∑2 i=1

(v₃, ui)

(ui, ui)^ui, . . . , un := vn₋ n₋₁

∑

i=1

(vn, ui) (ui, ui)^ui

は_V の直交基底をなす_. 従って ¹

||u1||^{u1, . . . ,}||u¹ⁿ||^{un はV の正規直交基底をなす.}

演習題 次の３つの複素ベクトルは _C³ の基底をなす. Gram-Schmidt ^{の直交化法を用い} てこれらから正規直交基底を構成せよ_. ただし_{, i} は虚数単位

√−1 ^を表す.

v1 =



_−i⁰ 1



 , v2 =



0ⁱ

−i



 , v3 =



¹i 0





 計量ベクトル空間の間の線形写像 _{f : U → V} が内積を保つとは_, これが (x, y) = (f (x), f (y)) (x, y_{∈ U)}

を満たすときにいう_.

演習題 次を示せ_.

(1) 計量ベクトル空間の間の内積を保つ線形写像は必ず単射である_. (2) V ^{を計量ベクトル空間}, v = (v1, . . . , vn) ^{をその基底とするとき},

ϕv : Kⁿ _{−→ V}^{≃ が内積を保つ} _{⇔ v1}, . . . , v_n ^がV ^{の正規直交基底}.

演習題 _W を計量ベクトル空間 _V の部分空間とするとき_{, W} のすべての元と直交するよ うな_V の元全体からなる集合

W^⊥ =_{{v ∈ V |}^すべての w_{∈ W} ^に対し (v, w) = 0_}

は_W の補空間であることを示せ_.  この _W^⊥ を _W の直交補空間と呼ぶ_.

第７章 固有値と固有ベクトル

 本章では_, 断らない限りスカラー域を複素数体 _C とする_. それは _C がもつ次の性質を 用いるためである_.

代数学の基本定理 複素数を係数にもつ定数でない多項式 _{f (x)} は必ず f (x) = c

∏s i=1

(x_{− α}i)^ei, α₁, . . . αs ^{は相異なる複素数}, ei > 0, c_{∈ C}

の形に ₍積の順序を無視すれば₎ 一意的に分解する_.

 これより方程式_{f (x) = 0} は _α1, . . . , αs ^{を解にもつ}. ei ^を解 αi ^{の重複度と呼ぶ}. 7.1 正方行列の固有値と固有空間

 _{A =} (aij

)

を _n 次（複素）正方行列とする_. １年次で学んだように_, 文字 _x の多項式 を成分とする _n 次正方行列 _{xE− A =}

(δ_ijx_{− aij}^{) の行列式} ΦA(x) = det(xE _{− A)}

を _A の固有多項式と呼び_, 方程式 _{ΦA(x) = 0 (A} の固有方程式₎ の ₍重複度を込めて _n 個の₎ 解を _A の固有値と呼ぶ_. 固有方程式の解としての重複度を_,固有値の重複度と呼ぶ_. 複素数 _α が _A の固有値であるのは_{, C}ⁿ の部分空間

Vα := Ker(L_(αE−A) : Cⁿ _{→ C}ⁿ)

が_{0}を真に含むことと同値_. その場合_Vα を_{, A}の固有値_αに関する固有空間_{, Vα\{0}} の元を _A の _α に関する固有ベクトルと呼ぶ_. 換言すれば_{, A} の _α に関する固有ベクトル とは_{, Av = αv} かつ _{v̸= 0} を満たすベクトル_{v ∈ C}ⁿ のことをいう_.

命題 _A の固有値 _α に対し_{, dim Vα ≤ α} の重複度_.

注意 第９章における考察を考えると_{, xE}− A, αE − A ^{に替えてA}− xE, A − αE ^を用 いる方が間違いが少ない_{. det(xE} − A) = (−1)^ndet(A− xE) ^{であり, 従って n が奇数} だと_{det(xE − A)} と_{det(A− xE)} は符号だけ異なるが_, その場合でも _{det(A− xE)} を 固有多項式と呼んで差支えない_{. Ker L(αE−A)} と _{Ker L(A−αE)} は一致するので後者の表 示を用いる_. また簡単のため_, 行列とその左乗法が与える線形写像を同一視して_{, L(A−αE)} を_A− αE, Ker L(A−αE) ^{を Ker(A}− αE) ^{でしばしば表す.}

7.2 正方行列の対角化可能性

定理_A 正方行列 _A の相異なる固有値 _β1, . . . , βr ^に対し, ^{固有空間の和}Vβ1 ⁺· · · + Vβr

は直和である_.

 _n次正方行列_A が対角化可能であるとは_{, n} 次正則行列_P をうまく選んで_P⁻¹_AP が 対角行列であるようにできるとき_, 換言すれば_{, V = C}ⁿ の基底 _{v = (v1}, . . . , v_n) ^をうま く選んで_, それによる _V 上の線形変換 _LA の表現行列が対角行列であるようにできると きにいう_.

定理_{B n} 次正方行列 _A に対し_, 次は互いに同値になる_. (i) A ^{が対角化可能}.

(ii) A のすべての固有空間の和（必ず直和）が _Cⁿ に一致する_. (iii) A ^{の各固有値} α ^に対し, dim V_α = α ^の重複度.

(iv) ^重複度> 1 ^{であるような} A ^{の各固有値} α ^に対し, dim Vα = α ^の重複度.

系 _n 次正方行列 _A が _n 個の相異なる固有値をもてば_{, A} は対角化可能である_.

例 _{A =}







1 2 1

−1 4 1

2 4 0





 が 対 角 化 可 能 か ど う か 見 よ う_{. ΦA(x) = (x} − 1)(x − 2)^2.

従 っ て_{, A} の 固 有 値 は _{1, 2, 2.} さ て_{, 1} に 関 す る 固 有 空 間 _V1 を 求 め る の は_, 斉 次 連

立 １ 次 方 程 式 _{(A − E)x = 0} を 解 く の と 同 じ_{. A− E =}







0 2 1

−1 ^{3 1}

2 _{−4 −1}





 ^{の 簡 約}

階 段 化 が







1 0 1/2 0 1 1/2

0 0 0





 と な る こ と か ら_{, V1} は 次 元 _{1 (1} の 重 複 度 _{= 1} ゆ え こ れ

は 必 然₎ で_{, u :=} ^t_{(1, 1,−2)} を 基 底 に も つ_. 同 様 に_{, A− 2E =}







−1 ^{2 1}

−1 ^{2 1}

2 _{−4 −2}







の 簡 約 階 段 化 が







1 _{−2 −1}

0 0 0

0 0 0





 と な る こ と か ら_{, V2} は 次 元 _{2 (= 2} の 重 複 度₎ で_, v := ^t(2, 1, 0), w := ^t(1, 0, 1) を 基 底 に も つ_. 定 理 _B の 条 件 _(iv) が 満 た さ れ る か ら_, 同 定 理 に よ り _A は 対 角 化 可 能_. 実 際_, す べ て の 固 有 空 間 の 基 底 を 並 べ て 得 ら れ る P :=⁽u v w⁾=







1 2 1

1 1 0

−2 0 1





 ^{は定理Aにより正則で, P−1}AP = diag(1, 2, 2).

演習題 次の正方行列 _A は対角化可能か_? 可能であれば対角化せよ_. (1)



^{0 1}0 0 ⁰1 1 0 0



 (2)



⁰1 ¹0 ¹1 1 1 0



 (3)



⁰0 ¹0 ⁰1 0 0 0





演習題 実正方行列_A に対して次が互いに同値になることを示せ_.

(i) A ^{が実対角化可能}. ^{すなわち複素正則行列} P ^{をうまく選んで} P⁻¹AP ^{が実対角行} 列であるようにできる_.

(ii) ^{実正則行列}P ^{をうまく選んで} P⁻¹AP が対角行列であるようにできる_. (iii) A が複素行列として対角化可能_, かつ _A の固有値がすべて実数である

 複素正方行列 _{A =}

(a_ij^{) に対し}, 各成分をその複素共役に置き換えた行列を_{A =} (a_ij⁾ とかく_. これの転置行列を

A^∗ =^tA

とかき_{, A} の随伴行列と呼ぶ_{. n}次正方行列 _{A, B} に対し_, 次が成り立つ_. (AB)^∗ = B^∗A^∗

命題 標準内積に関して

(Av, w) = (v, A^∗w)

がすべての _{v, w∈ C}ⁿ に対して成り立つ_.

演習題 上の性質が_A^∗ を特徴づけること_, すなわちすべての_{v, w ∈ C}ⁿ に対し_{(Av, w) =} (v, Bw) ^をみたす n ^{次正方行列} B ^は A^{∗ に限ることを示せ}.

定義 _AA^∗ _{= A}^∗_A を満たす複素正方行列 _A を正規行列と呼ぶ_. 命題 _A を正規行列とする_. 勝手な複素数 _α に対して

Ker(A− αE) = Ker(A^∗− αE).

従って_{, α} が _A の固有値 _{⇔ α} が_A^∗ の固有値 であり_, この場合

A ^のα ^{に関する固有空間}= A^{∗ の} α ^{に関する固有空間}.

系 正規行列_A の相異なる固有値 _{α, β} に対して _{Vα ⊥ Vβ.} すなわち_{, α} に関する固有ベ クトルと _β に関する固有ベクトルは必ず直交する_.

定義 次の４種類の行列を_, それぞれの条件を満たすものとして定める ₍すべて正規行列_). ユニタリ行列 _A^∗ _{= A}⁻¹ _{(⇔ A} の列ベクトルたちが _Cⁿ の正規直交基底₎

直交行列 実行列かつ ^t_{A = A}⁻¹ _{(⇔ A} の列ベクトルたちが _Rⁿ の正規直交基底₎ エルミート行列 _A^∗ _{= A}

実対称行列  実行列かつ ^t_{A = A}

 正方行列_A に対し_, ユニタリ_/直交行列 _P をうまく選んで _P⁻¹_AP が₍実₎対角行列で あるようにできるとき_{, A} はユニタリ_/直交行列により ₍実₎対角化可能であるという_.

定理_C 複素正方行列 _A がユニタリ行列により対角化可能 _{⇔ A} が正規行列_.

定理_{D (1)} エルミート行列はユニタリ行列により実対角化可能_.

 ₍₂₎ 実対称行列は直交行列により実対角化可能_.

例 _{A =}







2 _−i 1 i 2 _−i

1 i 2





 (^{た だ し i = √−1)} は エ ル ミ ー ト 行 列_, 従 っ て 正 規 行 列 だ か

ら ユ ニ タ リ 行 列 に よ り が 対 角 化 可 能_. 実 際_{, ΦA(x) = x(x− 3)}² よ り_{, A} の 固 有 値 は 0, 3, 3. 前の例にあるのと同じ方法により_{, V0} は_{u :=}^t_{(−1, i, 1)} を_{, V3} は _{v :=}^t_{(1, 0, 1),} w :=^t(i, 1, 0) ^{を基底に持つ}. ^{それぞれの基底に} Gram-Schmidt ^{の直交化法を施し}, V0 ^の

正規直交基底 _u^′ _:= √¹

3^{u, V3 の正規直交基底v′ :=}

√1

2^{v, w′ :=}

√1 6

t_{(i, 2,−i)}

を得る_. こ

れらのベクトルを並べて得られる_{P :=}

(u^′ v^′ w^′) =







−1/^{√3 1/√2 i/√6} i/^√3 0 2/^√6 1/^√3 1/^√2 _−i/^√6





 ^は前

系によりユニタリで_{, P}^∗AP = diag(0, 3, 3).

演習題 次の行列 _A はどれも正規行列である_. ユニタリ行列により₍実対称行列であれば 直交行列により₎ 対角化せよ_. ただし_{, i =}

√−1, ω = ^{−1 +}

√−3

2 ^{(1 の原始3乗根).}

(1)



₋₁^{2 −1 −1}2 ₋₁

−1 −1 ²



 (2)



^{1 ω}

2 _ω

ω 1 ω² ω² ω 1



 (3)



^{2− i}0 1 + i⁰ 0ⁱ

i 0 2_{− i}



