資料置き場 hustat2017 20171006

統計学 第２週 データの記述（２）

担当者： 高木 真吾

質問等は， stakagi@econ.hokudai.ac.jp ^{までお願いします．}

October 6, 2017

はじめに

はじめに

本日の概要 １次元のデータ ２次元のデータ 演習問題

解答編

本日の概要

■

^{データの特性}

◆

データセットの代表と言えるのは？ （平均など）

◆

散らばりの程度を示す尺度は？ （分散・標準偏差）

◆

^{変数同士の関係とは？ （共分散・相関係数）}

■

^{キーワード}

◆

平均値・分散値・標準化・共分散・相関係数・順位相関係数

１次元のデータ

はじめに

１次元のデータ

表記上の注意

データセットの特性 値：代表＝中心値， 最も目にする値 データセットの特性 値：練習問題

データの特性値：散 らばり

分散の計算

補足：ヒストグラム から平均を求める 補足：チェビシェフ の不等式による平均 からの乖離の評価 平均・分散・標準偏 差の性質

応用：データの標準化 データの標準化：例 ２次元のデータ 演習問題

解答編

表記上の注意

■

１変数（１次元）のデータ：例）変数 _x という一変数からなる大き

さ _n のデータ

{x

^{, x}

, . . . , x

_}

■

２変数（２次元）のデータ：例）変数 _x と変数 _y という二変数から

なる大きさ _n のデータ

{(x

^{, y}

^{), (x}

^{, y}

), . . . , (x

, y

_)}

■

_{k k v}

_{... v}

_k

本日の内容

■

^{データの特性}

◆

データセットの代表と言えるのは？ （平均など）

◆

散らばりの程度を示す尺度は？ （分散・標準偏差）

◆

^{変数同士の関係とは？ （共分散・相関係数）}

データセットの特性値：代表＝中心値，最も目にする値

■

平均値：全体の中で「釣り合い」のとれる点の位置 _{x = ¯}

n

P

i=1

^x

◆

代表的特性値，理論的にも良い性質，だが外れ値で大きく変動

（頑健 _robust でない）

■

中央値：全体の中で真ん中になる点の位置

◆

データの大きさが奇数：真ん中の値，偶数： _n/2 番と _{n/2 + 1}

番の中間点を中央値とする

◆

少数の外れ値には反応しにくい（外れ値に対して頑健）

■

最頻値：データセットに含まれる点のうち最も多く観測される点の

データセットの特性値：代表＝中心値，最も目にする値

■

^{発展的話題}

◆

「平均値」は，偏差二乗和を最小にする概念

min

X

i=1

(x

_{− µ)}

_{−→ ˆ} µ = ¯ x

◆

「中央値」は，偏差絶対和を最小にする概念

min

X

i=1

|x

− µ| −→ ˆ ^{µ = median}

データセットの特性値：練習問題

■

８人の年間所得がそれぞれ 210, 230, 250, 260, 290, 320, 340, 360

万円，平均所得は？

平均： _{x = ¯}

210 + 230 + · · · + 340 + 360

8 ^{=   282.5}

中央値： _med

₌

  _{260   +   290}  

2 ^{=   275}

■

８人の年間所得がそれぞれ 210, 230, 250, 1580, 290, 320, 340, 360

万円，平均所得は？

平均： _{x = ¯}

210 + 230 + · · · + 360 + 1580

8 ^{= 447.5}

データセットの特性値：練習問題つづき

■

７人の年間所得がそれぞれ 210, 230, 250, 320, 1290, 1340, 1580 ^万

円，平均所得は？

平均： _{x = ¯}

210 + 230 + · · · + 1340 + 1580

7 ^{≈ 747.5}

中央値： _med

_{=   320}  

■

上の結果から言えることは？

◆

ひとつの値を入れ替えるだけで平均は大きく変動，中央値はそ

．

◆

二つの異なるグループが混じっているようなデータでは平均も

中央値もデータ全体を代表するような中心ではない

データの特性値：散らばり

■

^分散： 「中心からの距離（２乗で評価） 」の「平均値」

◆

すべてのデータを中心（平均）からの距離に変換：

z

_{≡ (x}

_{− ¯x)}

◆

分散：中心から平均的にどの程度乖離しているかの尺度：

s

= ¹

n

X

i=1

z

= ¹

n

X

i=1

(x

_{− ¯x)}

(1)

■

^{標準偏差（} _s

^） ：分散の平方根（もとのデータと単位が一致するの

でこちらを見た方が良い）

p

分散の計算

■

分散値の定義式から以下の関係が成立

s

= ¹

n

X

i=1

(x

_{− ¯x)}

= ¹

n

X

i=1

x

| {z }

二乗の平均

− _|{z} ^{x ¯}

平均の二乗

(2)

つまり，データを『二乗した平均』と『平均の二乗』の差．

■

手計算する場合，後者の方が簡単．証明は以下の通り．

s

= ¹

n

X

i=1

(x

_{− ¯x)}

= ¹

n

X

i=1

(x

_{− 2¯xx}

+ ¯ x

)

= ¹

n

X

i=1

x

_{− 2 · ¯x ·} ¹

n

X

i=1

x

+ ¯ x

= ¹

n

X

i=1

x

_{− 2 · ¯x}

+ ¯ x

= ¹

n

X

i=1

x

_{− ¯x}

補足：ヒストグラムから平均を求める

Table 1: ^変数 x ^に関する n ^{人のヒストグラム}

階級値（位置） 度数（重み） 相対度数（重み） 階級値 _× 度数（力）

a₁ n₁ r₁ a₁n₁

a₂ n₂ r₂ a₂n₂

... ^... ^... ^...

a_k n_k r_k a_kn_k

... ^... ^... ^...

a_K n_K r_K a_Kn_K

計

PK

k=1 ^{nk = n}

PK

k=1 ^{rk = 1}

PK

k=1 ^aknk

補足：ヒストグラムから平均を求める

■ ヒストグラムの左右を釣り合いのとれる位置を _x¯ とする

◆ ^{一般性を失うことなく} _x¯ ^{の位置は，}_am ^と _am+1 ^{の間にあるとする．}

■ 相対度数で考えるヒストグラムなら

◆ _x¯ ^{よりも左に係る力は}

L = (¯_x−a1)×r1+(¯_x−a2)×r2+· · ·+(¯x−a^m)×r^{m =}

Xm k=1

(¯_x−ak)×rk

◆ _x¯ ^{よりも右に係る力は}

R = (a_{m+1−¯x)×rm+1}+(a_{m+2−¯x)×rm+2+· · ·+(aK−¯x)×rK} =

XK k=m+1

(a_k−¯x)×rk

補足：ヒストグラムから平均を求める

■ 両者が釣り合っているなら _{L = R} つまり _{L − R = 0} なので Xm

k=1

(¯_{x − ak) × rk} +

XK k=m+1

(¯_{x − ak) × rk} =

XK k=1

(¯_{x − ak) × rk} = 0

これを _x¯ について整理すると

¯ x =

XK k=1

a_{k · rk},

ただし

PK

k=1 ^{rk = 1} となることを利用した．

■ ^{ところで，階級} _k ^{の相対度数が} _{rk =} ^nk

n であることを利用すれば，平均値

補足：チェビシェフの不等式による平均からの乖離の評価

■ ヒストグラムはデータの全体像を示してくれるが，いつも入手可能な情報 とは限らない．

■ データセットの平均値と分散値が分かれば，どの程度の観測点の割合が平 均に近いところにあるか，遠いところになるかについて一定程度までは評 価できる（チェビシェフの不等式）

■ ^{平均値，分散値は}

¯

x = ¹ n

Xn i=1

x_i, s² = ¹ n

Xn i=1

(x_{i − ¯x)}² =

Xn i=1

(x_{i − ¯x)}² _· ¹ n

補足：チェビシェフの不等式による平均からの乖離の評価

■ このとき，分散値について，以下の性質がある s² =

Xn i=1

(x_{i − ¯x)}² _· ¹ n ⁼

X

{i:|xi−¯x|≥λ·s}

(x_{i − ¯x)}² _· ¹ n

| {z }

x ± λ · s¯ ^{より外側にある観測点}

+ ^X

{i:|xi−¯x|<λ·s}

| {

x ± λ · s¯ ^{より内側にある観測点}

≥ ^X

{i:|xⁱ−¯x|≥λ·s}

(x_{i − ¯x)}² _· ¹ n ⁼

X

{i:|xⁱ−¯x|≥λ·s}

|xⁱ − ¯x|² · ¹ n

≥ ^X

{i:|xⁱ−¯x|≥λ·s}

λ² _{· s}² _· ¹

n ^{= λ}

2 · s² ·

P

{i:|aⁱ−¯x|≥λ·s}

| {zn }

x ± λ · s¯ より外側にある観測点の相対頻度

補足：チェビシェフの不等式による平均からの乖離の評価

■ ^つまり _λ² _{· s}² _· ^P_{i:|x

i_{−¯x|≥λ·s}}

1

n ^{≤ s2 なので，}

（_{x ± λ · s¯} より外側にある観測点の相対頻度）_≤ 1 λ² が成り立つ．

◆ データの全体像が分からなくても，平均値・分散値の情報だけから， x ± λ · s¯ より外側にある観測点の相対頻度は，_1/λ² 以下であることが 分かる

◆ _{λ = 2} のとき，平均値から標準偏差の２倍より外側にある観測点の割

合は ₂₅ ％以下（標準偏差の２倍より内側にある観測点の割合は ₇₅

％以上）

◆ _{λ = 4} のとき，平均値から標準偏差の４倍より外側にある観測点の割

合は _6.25 ％以下（標準偏差の４倍より内側にある観測点の割合は 93.75 ^％以上）

補足：チェビシェフの不等式による平均からの乖離の評価

■ ヒストグラム（度数分布）が分かっていればデータセットの全体像が明ら かなので上記のような不等式による結果は必要ない．

◆ 上記の不等式の結果は，データの性質によらない結果なので，非常に 粗い評価である（ヒストグラムの数値と見比べると粗さがわかる）

◆ ヒストグラム（度数分布）のように，データの性質・全体像がわかっ ていればもっと正確に評価できることは言うまでもない

平均・分散・標準偏差の性質

■

^データ： _{x

_{, x}

, . . . , x

_}

◆

平均・分散・標準偏差： _{x ¯} ・ _s

x

^{・ s}

■

^{データを変換：} _y

= a + b · x

, (i = 1, 2, . . . , n)

■

^{新データ：} _{y

_{, y}

, . . . , y

_}

■

このとき新データの平均・分散・標準偏差について以下の関係が成

り立つ

◆

^{平均  ：} y = a + b · ¯x _¯

◆

^{分散  ：} _s

_{= b}

_{· s}

◆

^{標準偏差：} _s

_{= b · s}

平均・分散・標準偏差の性質：証明

■ ^平均：y = a + b · ¯x_¯

¯

y = ¹ n

Xn i=1

y_i = ¹ n

Xn i=1

(a + b · xⁱ⁾

= _{a + b ·} ¹ n

Xn i=1

x_i

!

= a + b · ¯x

■ ^分散：_s²_{y = b}² _{· s}²_x

s²_y = ¹ n

Xn i=1

(y_{i − ¯y)}² = ¹ n

Xn i=1

{(a + b · xi) − (a + b · ¯x)}²

= ¹

Xn

(b · x − b · ¯x)^{2 = b2} · ¹

Xn

(x _{− ¯x)}² = b² _{· s}²

応用：データの標準化

■

標準化：平均と分散を別の値に変換する

◆

^{比較可能性}

■

^{標準化の公式：データ} _{x

, . . . , x

_} ^が平均 x ¯ ^{，標準偏差} s

^のとき，

y

_{≡ m + s ·}

x

_{− ¯x}

s

, i = 1, 2, . . . , n (3)

と変換すると，新しいデータ _{y

, . . . , y

_} の平均・分散・標準偏差は

◆

^平均： _m ^，

◆

^分散： _s

^{（標準偏差} _s ^）

となる．

データの標準化：例

■

^{例） 偏差値：平均} ₅₀ ^{点，標準偏差} ₁₀ ^{点 への標準化}

◆

ただし，問題の難度が異なっている場合，異なる科目の点数の

もある

◆

_TOEFL などでは問題ごとに難度を調節した標準化を行っている

（ item response theory という方法）のでより厳密な比較可能性

例題

■

^平成 ₁₉ 年度センター試験の英語得点の受験者全員における平均値

が _131.08 ，標準偏差の値が _40.35 ．

■

ある英語のみの得点で合格が決まる大学での合格者平均点が ₁₆₅

点 _, 合格者最低点が ₁₄₅ 点．

■

この学校の合格にはいわゆる偏差値で ₅₅ 程度は必要，今年の結果

は妥当といえるか（偏差値を得点に換算） ？

◆

^偏差値 ₅₅ となるこの試験での得点は，

  131.08 + 40.35 · (55 − 50)/10 = 151.255 ^．

■

偏差値 ₅₅ では最低点をなんとかクリアしているが， 「安全

圏」ではなさそう．

例題

■

^平成 ₁₉ 年度センター試験の英語得点の受験者全員における平均値

が _131.08 ，標準偏差の値が _40.35 ．

■

ある英語のみの得点で合格が決まる大学での合格者平均点が ₁₆₅

点 _, 合格者最低点が ₁₄₅ 点．

■

この学校の合格にはいわゆる偏差値で ₅₅ 程度は必要，今年の結果

は妥当といえるか（得点を偏差値に換算） ？

◆

₁₆₅ ^{点を偏差値換算：}

  50 + 10 · (165 − 131.08)/40.35 ≈ 58.41 

◆

₁₄₅ ^{点を偏差値換算：}

  50 + 10 · (145 − 131.08)/40.35 ≈ 53.45 

２次元のデータ

はじめに

１次元のデータ ２次元のデータ

共分散 相関係数

順位データについて の相関係数

演習問題 解答編

二変数の散らばり

■

^変数 _x ^と _y ^{の関係について考える}

■

_X-Y 平面上でどのように散布しているかを見る

■

そこから関係，散らばりに関する尺度を構成する

1. 散布図の作成（それぞれの平均 _{x, ¯ ¯ y} も書き込む）

2. 平均を原点のように見たグラフ作成

■

^データを _(x

_{− ¯x, y}

_{− ¯y)} ^{に変換したことと同等}

二変数の散らばり

Table 2: ^{月別支出額データ}

月 みかん（円） 風邪薬（円） アイス（百円）

1 ^月 251 2349 5.1

2 ^月 209 1648 6.7

3 ^月 195 866 9.8

4 ^月 148 178 13.6

5 ^月 155 88 19

6 ^月 121 97 22.5

7 ^月 96 163 25.6

8 ^月 85 166 27.5

9 ^月 121 266 23.5

10 ^月 192 1740 19.5

11 ^月 251 2488 14.4

12 ^月 288 4304 9.5

平均 _{176 1196.1 16.4}

みかんと風邪薬とアイス

10203040

sales

orange cold med ice cream

みかんと風邪薬

100 150 200 250

01000200030004000

orange

cold medicine

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) > 0}

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) < 0}

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) > 0}

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) < 0}

アイスとみかん

150200250

orange

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0} (x

i−^x)(yi−^{y) > 0} (x

i−^x)(yi−^{y) < 0 (x}i−^x)(yi−^{y) > 0}

アイスと風邪薬

5 10 15 20 25

01000200030004000

ice cream

cold medicine

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0}

(x

i−^x)(yi−^{y) > 0}

(x

i−^x)(yi−^{y) > 0}

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0}

二変数の散らばり：共分散

■

^共分散： 二つの変数が中心（平均）から見て，

◆

同符号の方向へ散布する傾向があるのか，異符号の方向へ散布

する傾向があるのか．

◆

また中心からの乖離の程度はどの程度か？

s

= ¹

n

X

i=1

(x

_{− ¯x)(y}

_{− ¯y)} (4)

■

正の共分散：同符号の方向へ散布傾向，共分散の絶対値大＝中心か

ら乖離

■

負の共分散：異符号の方向へ散布傾向，共分散の絶対値大＝中心か

共分散の計算

■ 共分散値の定義式から以下の関係が成立 s_xy = ¹

n

Xn i=1

(x_{i − ¯x)(yi − ¯y) =} ¹ n

Xn i=1

x_iy_i

| {z } 積の平均

− x · ¯y^¯

|{z} 平均の積

(5)

■ ^{つまり，変数} x^，y の『積の平均』から『平均の積』を引いたものとして 計算される

■ 手計算する場合，後者の方が簡単．

■ ^{練習 ：上の関係式（}₅）を証明してください．

s_xy = ¹ n

Xn i=1

(x_{i− ¯x)(yi− ¯y) =} ¹ n

Xn i=1

x_iy_{i− ¯x·} ¹ n

Xn i=1

y_i

| {z }

¯ y

−¯y· ¹ n

Xn i=1

x_i

| {z }

¯ x

+¯_{x· ¯y}

共分散の計算

■ ^{練習 ：}「みかん」と「アイス」は正の共分散，「風邪薬」と「アイス」は負 の共分散．

◆ 「みかん」への支出額を _{xi}¹²

i=1^{，「アイス」・「風邪薬」をそれぞれ}

{yi}¹²_i=1^・{zi}¹²_i=1 ^とする．

◆ ^{表を用いて，} 1

12

X12 i=1

x_i = ^21.12 12 ^,

1 12

X12 i=1

y_i = ^19.67 12 ^,

1 12

X12 i=1

z_i = ^14.35 12 1

12

X12 i=1

x²_i = ^41.92 12 ^,

1 12

X12 i=1

y_i² = ^38.61 12 ^,

1 12

X12 i=1

z_i² = ^39.30 12

共分散の計算

Table 3: みかん（百円）とアイス（百円）

みかん アイス    

x₁ x₃ x²₁ x²₃ x_{1 · x3} 1 ^月 2.51 0.51 6.30 0.26 1.28 2 ^月 2.09 0.67 4.37 0.45 1.40 3 ^月 1.95 0.98 3.80 0.96 1.91 4 ^月 1.48 1.36 2.19 1.85 2.01 5 ^月 1.55 1.90 2.40 3.61 2.95 6 ^月 1.21 2.25 1.46 5.06 2.72 7 ^月 0.96 2.56 0.92 6.55 2.46 8 ^月 0.85 2.75 0.72 7.56 2.34 9 ^月 1.21 2.35 1.46 5.52 2.84 10 ^月 1.92 1.95 3.69 3.80 3.74 11 ^月 2.51 1.44 6.30 2.07 3.61 12 ^月 2.88 0.95 8.29 0.90 2.74 合計 _{21.12 19.67 41.92 38.61 30.00}

共分散の計算

以上より

■ ^{みかん（百円）}

◆ ^{平均  ：}_x¯1 = 21.12/12 = 1.76

◆ ^{分散  ：}_s²₁ = 41.92/12 − (21.12/12)^{2 = 0.40}

◆ ^{標準偏差：}_{s1 =} ^p_s²_{1 =} ^√0.40 = 0.63

■ ^{アイス（百円）}

◆ ^{平均  ：}_x¯3 = 19.67/12 = 1.64

◆ ^{分散  ：}_s²₃ = 38.61/12 − (19.67/12)^{2 = 0.53}

◆ ^{標準偏差：}_{s3 =} ^p_s²_{3 =} ^√0.53 = 0.73

共分散の計算

Table 4: 風邪薬（千円）とアイス（百円）

風邪薬 アイス    

x₂ x₃ x²₂ x²₃ x_{2 · x3} 1 ^月 2.35 0.51 5.52 0.26 1.20 2 ^月 1.65 0.67 2.72 0.45 1.10 3 ^月 0.87 0.98 0.75 0.96 0.85 4 ^月 0.18 1.36 0.03 1.85 0.24 5 ^月 0.09 1.90 0.01 3.61 0.17 6 ^月 0.10 2.25 0.01 5.06 0.22 7 ^月 0.16 2.56 0.03 6.55 0.42 8 ^月 0.17 2.75 0.03 7.56 0.46 9 ^月 0.27 2.35 0.07 5.52 0.63 10 ^月 1.74 1.95 3.03 3.80 3.39 11 ^月 2.49 1.44 6.19 2.07 3.58 12 ^月 4.30 0.95 18.52 0.90 4.09 合計 _{14.35 19.67 36.90 38.61 16.34}

共分散の計算

以上より

■ ^{風邪薬（千円）}

◆ ^{平均  ：}_x¯2 = 14.35/12 = 1.20

◆ ^{分散  ：}_s²₂ = 36.90/12 − (14.35/12)^{2 = 1.64}

◆ ^{標準偏差：}_{s2 =} ^p_s²_{2 =} ^√1.64 = 1.28

■ ^{アイス（百円）}

◆ ^{平均  ：}_x¯3 = 19.67/12 = 1.64

◆ ^{分散  ：}_s²₃ = 38.61/12 − (19.67/12)^{2 = 0.53}

◆ ^{標準偏差：}_{s3 =} ^p_s²_{3 =} ^√0.53 = 0.73

共分散の計算結果

■ みかんとアイスの共分散 s_xy = ¹

12

X12 i=1

x_iy_i − ¯x · ¯y = ^30.00 12 ⁻

21.12 12 ^·

19.76

12 ^{= −0.38}

■ アイスと風邪薬の共分散 s_yz = ¹

12

X12 i=1

y_iz_i − ¯y · ¯z = ^16.34 12 ⁻

19.76 12 ^·

14.35

12 ^{= −0.60.}

■ ₍^{みかん・アイス}₎ ^ペアも，₍^{アイス・風邪薬}₎ ペアも同時に大きな値になり

にくい

■ ₍^{みかん・アイス}₎ ^{ペアの方が，}₍^{アイス・風邪薬}₎ より平均付近に集まって いる

相関係数

■ ^{相関係数：共分散を} ₋₁ ^から ₁ ^{の区間に変換}

r_xy = ^sxy

s_{x · sy} ⁼

Pn

i=1^{(xi − ¯x)(yi − ¯y)}

pPn

i=1^{(xi − ¯x)2}

pPn

i=1^{(yi − ¯y)2}

(6)

◆ 相関係数が正：平均から見て同符号の方向に散布，₁ に近いほど強い 線形関係

■ ^{相関係数が１のとき，}_yi = α + β · xi, β > 0 for i = 1, 2, . . . , n ^が 成立

◆ 相関係数が負：平均から見て異符号の方向に散布，_-1 に近いほど強い 線形関係

■ _{-1 y} = α − β · x , β > 0 for i = 1, 2, . . . , n

相関係数の計算例

■ 相関係数：それぞれの変数の分散と共分散が必要

相関係数 ₌

X ^と Y ^の共分散 pX ^の分散 _{· Y} ^の分散

■ ^{練習 ：}「みかん」と「アイス」の相関係数：_−0.840

s²_x = ¹ 12

X12 i=1

x²_i−¯x² = ^41.92 12 ⁻

 21.12 12

2

, s²_y = ¹ 12

X12 i=1

y_i²_−¯y² = ^38.61 12 ⁻

 19.67 12



r_xy = _q^sxy

s²_xs²_y ^{= −0.840}

■ ^{練習 ：}「アイス」と「風邪薬」の相関係数：_−0.641

■ ₍^{みかん・アイス}₎ ^{ペアの方が，}₍^{アイス・風邪薬}₎ ^{より強い負の線形関係}

みかんと風邪薬

1000200030004000

cold medicine

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) > 0}

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) < 0}

(x

i

− ^x)(y

− ^{y) > 0}

− −

アイスとみかん

5 10 15 20 25

100150200250

ice cream

orange

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0} (x

i−^x)(yi−^{y) > 0} (x

i−^x)(yi−^{y) < 0 (x}i−^x)(yi−^{y) > 0}

アイスと風邪薬

1000200030004000

cold medicine

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0}

− −

(x

i−^x)(yi−^{y) > 0}

(x

i−^x)(yi−^{y) < 0}

相関係数に関する補足

■

以下は相関係数に関する補足です

◆

^変数 _x ^と _y ^{の相関係数} _r

は，両方の変数を平均０，分散１に

◆

^相関係数 _r

^は， _{−1 ≤ r}

_{≤ 1} ^である

^．

◆

^{相関係数が} _±1 ^{であるとき，} _{y = α ± βx} ^（ _{β > 0} ^{）という関係}

になる．

1

一 般 に ₋

pPn

i₌₁^{(xi − x¯)2}

pPn

i₌₁^{(yi − y¯)2 ≤}

Pn

i₌₁^{(xi − x¯)(yi − y¯) ≤}

pPn

i₌₁^{(xi − x)¯ 2}

pPn

i₌₁^{(yi − y)¯ 2} が 成 り 立 つ（ コ ー シ ー・シュワ ル ツ の 不 等 式 ）の で相関係数は常に ₋₁ から ₁ の間の値をとる．

補足

■

_{−1 ≤ r}

_{= s}

_/(s

_s

_{) ≤ 1} ^{について，}

v

= (y

_{− ¯y) −} ^s

s

^{· (x}

− ¯x), i = 1, 2, . . . , n

とおいて，

0 ≤ _n ¹

X

i=1

v

= ¹

n

X

i=1



(y

_{− ¯y) −} ^s

s

^{· (x}

^{− ¯x)}



= s

_{− 2 ·} ^s

s

^{· s}

⁺

s

s

^{· s}

2x

^{= s}

· (1 − r

⁾

つまり _{1 − r}

xy

≥ 0 ⇔ |r

| ≤ 1

補足

■

_r

_{= ±1} であるとき，すべての点において _v

_{= 0}

■

^{このとき，}

y

= ¯ y + ^s

s

^{· (x}

− ¯x), i = 1, 2, . . . , n

全ての観測点が上の直線上に乗っていることが条件．

◆

^{直線の傾きは}

s²_x

なので，共分散の符号に依存

補足

■

直線上にない点があると相関係数が（絶対値）１より小さくなる

◆

_n ^個の _{(x, y)} のペアは直線上にあるとする．

◆

_{x = ¯ x} ^{となる位置に} _{y = ¯ y ± a} となる二点を加える（直線上に

ない二点）

◆

^{この時，相関係数は}

r

= _q ^s

s

+ 2a

s

/n

< 1

となり，乖離幅 _a が小さければ１に近いが，乖離すればするほ

ど，１より小さくなる．

順位データについての相関係数

■ ２種類の順位を示すデータについての関係（２種類の評価の関連性）

◆ ＜男性の好きな花／女性の好きな花＞ランキング

■ スピアマンの順位相関係数

◆ それぞれのランクデータ（₁ 位から _n 位まで）に通常の相関係数の公 式を適用．

r_{S = 1 −} ⁶ n³ _{− n}

Xn i=1

(R_{i − R}^′_i)² (7)

ただし，_Ri は一方の評価者による対象 _i のランクで，_R^′

i ^{はもう一方}

の評価者のランクである．

■ ケンドールの順位相関係数_: 各データ点の組み合わせを考え，順位が逆転 がない方が相関が高いと考える

順位データについての相関係数（つづき）

■

ケンドールの順位相関係数（一方の変数のランクデータを _{R

_}

i=1

^，

他方を _{R

i

}

^とする）

◆

両方の評価者によるランク付けが正順となっている場合と逆順

となっている場合をカウント

◆

^{正順： 「} _R

_{> R}

^かつ _R

_{> R}

^{」あるいは「} _R

_{< R}

^かつ

R

< R

^」

◆

^{逆順： 「} _R

_{> R}

^かつ _R

_{< R}

^{」あるいは「} _R

_{< R}

^かつ

R

> R

^」

◆

すべてのケースについて，正順か逆順かを数える

順位データについての相関係数（つづき）

■

ケンドールの順位相関係数（一方の変数のランクデータを _{R

_}

i=1

^，

他方を _{R

i

}

^とする）

◆

すべてのケースについて，正順か逆順かを数える

◆

^合計 _{n(n − 1)/2} ケースあるうち，正順の場合の数を _G ，逆順を

H ^{．このとき}

r

= ^{G − H}

n(n − 1)/2 ⁽⁸⁾

◆

明らかに両者で評価が完全に一致する（しない）とき， _r

_{= 1}

（ _r

_{= −1} ）

順位データについての相関係数（つづき）

内容 桜 菊 バラ 梅 ユリ

椿 _total

リップ ション

男（ _{R) 1 2 3 4 5 6 7 8}

女（ _{R’) 3 1 2 5 4 7 6 8}

正順 _{(G) 5}

逆順 _{(H) 2}

順位データについての相関係数（つづき）

内容 桜 菊 バラ 梅 ユリ

椿 _total

リップ ション

男（ _{R) 1 2 3 4 5 6 7 8}

女（ _{R’) 3 1 2 5 4 7 6 8}

正順 _{(G) 5 6 5 3 3 1 1 24}

逆順 _{(H) 2 0 0 1 0 1 0 4}

■

^{内容：桜（男は} ₁ ^位，女 ₃ ^位 _→

◆

^男は残り ₇ 個すべて下位，女はそのうち ₅ 個だけ下位にランク：

■

正順：５個

■

逆順：一致しない２個

順位データについての相関係数（つづき）

内容 桜 菊 バラ 梅 ユリ

椿 _total

リップ ション

男（ _{R) 1 2 3 4 5 6 7 8}

女（ _{R’) 3 1 2 5 4 7 6 8}

正順 _{(G) 5 6 5 3 3 1 1 24}

逆順 _{(H) 2 0 0 1 0 1 0 4}

■

^{内容：菊（男は} ₂ ^位，女 ₁ ^位 _→

◆

^男は残り ₆ ^{個すべて下位，女も} ₆ 個すべて下位にランク：正順

６個・逆順０個

■

演習問題

はじめに

１次元のデータ ２次元のデータ 演習問題

演習問題 最後に 解答編

演習問題

問題 _: １，３，４は宿題

1. 別表１の民間給与実態調査の（度数分布）表を用いて，男性給与所得者の 平均，中央値，最頻値を求めてください．

2. 別表２のような金価格（円／ _kg）の推移を考えるとき，毎日 _3kg を５回 購入し続けることと，毎日 _1.2 万円で購入できる金を５回購入し続けるこ とを考える．５回購入後の平均購入単価（支出総額／購入総量）を考える と，どちらの購入方法のほうが単価が低いか（等しいか）．

3. Table 2 ^（28^{ページ）を用いて，}「みかん」と「風邪薬」への支出額につい て，平均・分散・共分散・相関係数を求めてください．

4. ^下の Table 5 を用いて，夫の妻の家事に関する考え方が一致しているかど

うかを調べてください（順位相関係数を求めてください）．

演習問題

Table 5: 家事：夫の協力，妻の要望

項目 夫のランク 妻のランク

窓掃除 _{1 3}

風呂掃除 _{2 1}

食材買出 _{3 8}

布団干し _{4 6}

洗濯物取込 _{5 9}

ごみ出し _{6 5}

照明掃除 _{7 4}

掃除機 _{8 7}

玄関掃除 _{9 10}

換気扇掃除 _{10 2}

最後に

■ ^{回答は A4} 用紙 に記入してください

■ 複数枚にわたるときはホッチキスなどでまとめてください

■ 氏名の記入と学籍番号の記入を忘れないでください

■ 提出は，次週 水曜日の 13 時までに メールボックスへお願いします

問題２

■ ^{方法１：毎回} _{H (}^単位 _kg) ^{の購入，方法２：毎回} _M ^円購入

■ ^{単価（価格）：}_Pt ^円／ _kg

■ ^{購入額：方法１：}_{H · Pt} ^円_, ^方法２：_M ^円

■ ^{購入量：方法１：}_{H (kg)}^{，方法２：}_{M/Pt (kg)}

■ _T 回購入するときの平均購入単価

◆ 方法１：毎回一定額を支払う 購入費用

購入総量

=

XT t=1

H · P^t T · H ⁼

1 T

XT t=1

P_t

◆ 方法２：毎回一定量を購入

購入費用 購入総量

= _PT^{T · M}

t=1 ^M/Pt

= ¹

T

XT t=1

1 P_t

!⁻¹

■ ^算術平均

M_{T ≡} ¹ T

XT t=1

P_t

■ ^調和平均

H_{T ≡} ¹ T

XT t=1

1 P_t

!⁻¹

■ ^幾何平均

■ _Pt ^{が正数である限り，「算術平均} _≥ 幾何平均」が成立する．もし M_{T ≥ GT} ^{が成立するとき，}

f (p) _≡ ¹ T + 1

XT t=1

P_t + p

!

−

YT t=1

P_{t · p}

!^{1/(T +1)}

= ¹

T + 1 ^{(T · MT + p) − G}

TT · p
^{1/(T +1)}

= ^T

T + 1 ^{· MT +}

1

T + 1 ^{· p − G}

T /(T +1)

T ^{· p1/(T +1)}

これが任意の正数について非負であるなら帰納法により「算術平均 _≥ 幾 何平均」が言える．

f^′(p) = ¹

T + 1 ⁻

1

T + 1^G

T /(T +1)

T ^{· p−T /(T +1)}

より _{p = GT} で最小値を持ち，_{f (GT) =} ^T

T +1 ^{· (MT − GT) なので非負．}

■ ^{「幾何平均} _≥ 調和平均」については，_Pt が正数である限り，

H_T⁻¹ = ¹ T

XT t=1

1 P_t ^≥

YT t=1

1 P_t

!T¹

= ¹

QT

t=1 ^Pt

_T^{1 = G}

−1 T

したがって

G⁻¹_{T ≤ HT}⁻¹ _{⇐⇒ GT ≥ HT}

■ ^{正数を扱う限り，「算術平均} _≥ ^幾何平均 _≥ ^{調和平均」}

■ 単価を小さくしたい時には，毎回の購入額を一定にする方がよい．

解答編

はじめに

１次元のデータ ２次元のデータ 演習問題

解答編

相関係数 問題５

統計学 第二週 _{– 64 / 92}

問題１

■ ^平均_{: 514.38} ^{万円（ボーナスなし} _433.58^{），中央値} ₄₀₀^∼ ₅₀₀ ^万円

■ ^平均_{: 272.26} ^{万円（ボーナスなし} _236.14^{），中央値} ₂₀₀^∼ ₃₀₀ ^万円

■ ^平均_{: 415.04} ^{万円（ボーナスなし} _352.59^{），中央値} ₃₀₀^∼ ₄₀₀ ^万円

問題２

■ ^{方法１：毎回} _{H (}^単位 _kg) ^{の購入，方法２：毎回} _M ^円購入

■ ^{単価（価格）：}_Pt ^円／ _kg

■ ^{購入額：方法１：}_{H · Pt} ^円_, ^方法２：_M ^円

■ ^{購入量：方法１：}_{H (kg)}^{，方法２：}_{M/Pt (kg)}

■ _T 回購入するときの平均購入単価

◆ 方法１：毎回一定額を支払う 購入費用

購入総量

=

XT t=1

H · P^t T · H ⁼

1 T

XT t=1

P_t

◆ 方法２：毎回一定量を購入

購入費用 購入総量

= _PT^{T · M}

t=1 ^M/Pt

= ¹

T

XT t=1

1 P_t

!⁻¹

■ ^算術平均

M_{T ≡} ¹ T

XT t=1

P_t

■ ^調和平均

H_{T ≡} ¹ T

XT t=1

1 P_t

!⁻¹

■ ^幾何平均

■ _Pt ^{が正数である限り，「算術平均} _≥ 幾何平均」が成立する．もし M_{T ≥ GT} ^{が成立するとき，}

f (p) _≡ ¹ T + 1

XT t=1

P_t + p

!

−

YT t=1

P_{t · p}

!^{1/(T +1)}

= ¹

T + 1 ^{(T · MT + p) − G}

TT · p
^{1/(T +1)}

= ^T

T + 1 ^{· MT +}

1

T + 1 ^{· p − G}

T /(T +1)

T ^{· p1/(T +1)}

これが任意の正数について非負であるなら帰納法により「算術平均 _≥ 幾 何平均」が言える．

f^′(p) = ¹

T + 1 ⁻

1

T + 1^G

T /(T +1)

T ^{· p−T /(T +1)}

より _{p = GT} で最小値を持ち，_{f (GT) =} ^T

T +1 ^{· (MT − GT) なので非負．}

■ ^{「幾何平均} _≥ 調和平均」については，_Pt が正数である限り，

H_T⁻¹ = ¹ T

XT t=1

1 P_t ^≥

YT t=1

1 P_t

!T¹

= ¹

QT

t=1 ^Pt

_T^{1 = G}

−1 T

したがって

G⁻¹_{T ≤ HT}⁻¹ _{⇐⇒ GT ≥ HT}

■ ^{正数を扱う限り，「算術平均} _≥ ^幾何平均 _≥ ^{調和平均」}

■ 単価を小さくしたい時には，毎回の購入額を一定にする方がよい．