5.3.2 MFHNを用いたバースト発振モデルの分岐解析
式(5.3.1)において，バースト発火の変化を調べるためにパラメータをa = −0.12，b = 0.6， c= 3.0，d= 1.8，e= 1.0と固定し，I-ε平面における分岐図を求めた．求めた分岐図を図5.3.2 に示す．ここで，図中の記号h はHopf分岐，G はリミットサイクルの接線分岐，I は周期倍分 岐を表している．G，Iの記号の右上添字は，スパイク本数，右下添字は，同じスパイク本数，分 岐の曲線を区別するためのものである．
まず，図中のI = 0.1，ε= 0.01では，系の状態は，図5.3.3-(1)に示すように静止状態である が，Iを増加させるとHopf 分岐によりリミットサイクルへと系の状態が遷移し図5.3.3-(2)に示 す単発のスパイク発振が観測される．この状態でIを減少させるとI11に周期倍分岐が発生し，そ の直後，安定なリミットサイクルが発生し，系の状態は静止状態となる．よって，hとI11に囲ま れた領域は，系の初期値によって，静止状態もしくは，単発のスパイク発振が観測される．次に，
この状態からεを減少させるとG11により，解が消滅し図5.3.3-(3)に示すスパイク本数が2本の バースト発火が観測される．この解は，εを増加させるとI12 によって，周期倍分岐が発生し，単 発のスパイク発振の時と同様にその直後，解が消滅し，単発のスパイク発振のみが観測される．さ らに，G11とI12に囲まれた領域は，単発のスパイク発振とスパイク本数が2本のバースト発火が 観測されるbistableな状態である．このような分岐構造が，εを減少させる方向に連続的に存在 しているために，G31によってスパイク本数が2本のバースト発火が消滅し，図5.3.3-(4)に示す スパイク本数が3本のバースト発火が観測され，さらに図5.3.3-(5)，(6)に示すように，それぞれ スパイク本数が4本，5本のバースト発火が観測され，スパイク本数が1つずつ増加している様 子が分かる．
一方，比較的I が大きい領域，例えばI = 0.52，ε = 0.015とパラメータを固定すると，図
5.3.4-(7)に示すように，図5.3.3-(2)と同様な単発のスパイク発振が観測され，その状態からεを
減少させていくと，I21 によって，図5.3.4-(8)に示すスパイク本数が2本の2周期バースト発火が 観測され，さらに減少させていくと，I22 を経て図5.3.4-(9)に示す4周期解となり，その後，周期 倍分岐を経て図5.3.4-(10)に示すカオス的なバースト発火が観測される．また，カオス的なバー スト発火からG32 によって，図5.3.4-(11)に示すスパイク本数が3本の3周期バースト発火が観測 され，さらにε= 0.015が小さい領域では，図5.3.4-(12)に示す周期的バースト発火が観測され，
その他にも様々な周期にロックされる領域があることを確認した．3変数のHindmarsh-Roseモ デルの分岐解析は，Kass-Petersen [75]によって行われており，我々が得た分岐図とほぼ同じ結果 を示している．このモデルの速いサブシステムは，saddle-node分岐とhomoclinic分岐との組合
せであるClass 1s を持つ．つまり，同じ分岐構造を持っているのならば，速いサブシステムの方
程式の形に関わらず，バーストモデルで得られる分岐構造は同じであることを意味している．ま た，遅いサブシステムがさらに複雑な方程式になれば，さらに複雑なバースト応答がみられると 予想されるが，本論文のように速いサブシステムの分岐図を利用したバースト発振モデルの設計 は困難になると考えられる．
5.3. MFHNモデルを用いた自律系バースト発振モデルの構築と解析 59
0 0.004 0.008 0.012 0.016
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ε →
I →
1
I
1G
22G
11G
21G
413
I
14
I
1G
31 2I
11
I
22
I
23
I
2G
324
I
2h
図5.3.2: 平衡点とリミットサイクルの分岐図
-3-2 -1012
0 500 1000
x →
t →
(1) : I = 0.1，ε= 0.01
-3-2 -1012
0 500 1000
x →
t →
(2) : I = 0.3，ε= 0.01
-3 -2-1012
0 500 1000
x →
t →
(3) : I = 0.3，ε= 0.004
-3 -2-1012
0 500 1000 1500
x →
t →
(4) : I = 0.3，ε= 0.0027
-3 -2-1012
0 500 1000 1500
x →
t →
(5) : I = 0.3，ε= 0.002
-3 -2-1012
0 500 1000 1500 2000
x →
t →
(6) : I = 0.3，ε= 0.0015
図5.3.3: 図5.3.2における時間波形図
5.3. MFHNモデルを用いた自律系バースト発振モデルの構築と解析 61
-3-2 -1012
0 500 1000
x →
t →
(7) : I = 0.52，ε= 0.015
-3-2 -1012
0 500 1000
x →
t →
(8) : I = 0.52，ε= 0.010
-3 -2-1012
0 500 1000 1500
x →
t →
(9) : I = 0.52，ε= 0.0075
-3 -2-1012
0 1000 2000 3000 4000 5000
x →
t →
(10) : I = 0.52，ε= 0.0065
-3 -2-1012
0 500 1000 1500
x →
t →
(11) : I = 0.52，ε= 0.0052
-3 -2-1012
0 500 1000 1500 2000
x →
t →
(12) : I = 0.52，ε= 0.0018
図5.3.4: 図5.3.2における時間波形図