ここでですね 、というのを2次元に取る。この を2次元空間に取ったもののことを 、多 分、ここでは、string theotyというんですが。
7数たちからM のtopologyへの矢印。
8数たちからM のtopologyへの矢印があるならば 、代数系を変形したときにも、同様の矢印があるだろうということ。
1.41. M のtopologyを、ある種のalgebraで決定できるならば 、答えは元々あるだろう 31
R u1^u2!量子化
l
R
ku1k2 L2ノルム リーマン計量を決めないと決まらない
#
量子化 難しい
(1.73)
今、ここでやっているのは 、この数たち （
Ru1^u2 ）なので。Dierential graded algebraの
コホモロジー類で決まるものなので。topologicalにしか依らないものなので。
例えばですね 、そうでない例をいうと 、こういうもの（
R
ku1k2 ）がある。 L2-normですが 。
これは、metricに依る。リーマン計量。微分形式の積分というのは、多様体のtopologyで決まる
わけですが。そうでなく、微分形式のL2-norm,長さの2乗っていうのを考えると、まず、長さっ ていうものが決まらないといけないし 、積分するためには、ちゃんと、リーマン多様体でなくちゃ いけない。
で、こういうのはど うしてやるか。今、しゃべっているのは、こいつを量子化しよういう話。だ から、こういうタイプのものを量子化しようというのが 、いわゆるtopological eld theoryと呼ば
れているものになるわけです。
Mのtopologyを決定する代数的なもの が見つかるだろう？
#
Mのリーマン構造を決定する代数的なもの（ 膨大なものが要る？）難しい
(1.74)
それで 、取りあえずはですね 、これ9だけはやりたい。なぜ 、これだけやるかというと 、こっ ち10は、もっと難しいんです。なぜかというと、topological eld theoryだとtopologicalなので、
多分、そこの矢印が確定するものが見つかる可能性が少しはあるんです。もう一回言いますと、M
のtopologyというのを、ある種のalgebraで、完全に決定できるということだったらば 、答えは、
多分、元々あるんです。しかし 、リーマン多様体M を全部、特徴付けようと思ったらば 、それは 膨大な情報だから、多分、代数では絶対追いつかないんです。
大体、今、私がお話ししている方針は、降りて、横に行って、上に上がろうということですが 、
これ 、topologicalにしかうまくいかない。なぜかというと、実際には 、世の中、平均的に進むの
は 、こっちが優先なんだけど 、そこまでやろうと思ったらば 、そういうリーマン計量まで含めた こっちを置き換えなくちゃならない。それは、ど うしていいか分からないし 、こちらは難しそうだ から、ちょっと、みんなやらない。で、とにかく、Mから決まるこういう量、積分とか、こうい う量の中で、M のtopologicalな情報だけから決まるものを全部持ってくる。それをど うやった ら量子化できるか。そういうのがあるわけです。
9代数的なものにより、M のトポロジーを決定すること。
10代数的なものにより、M のリーマン構造を決定すること。
（ 無限次元の積分なんて、ど うしようもない）
この量を数学的にそのまま定義するのは、まず不可能 (1.75)
それが目標なんですが。そういうことを考えるとき、やらなくちゃいけないのは何かということ ですが 。このですね 、こういうもの
R
'2Map(;M)ev(u1u2)e,L(')="D'を調べたい。これは、
何か分からないことがあって、それは私も良く分からないんだけど 。何か分かってなくて。いろん な言い方があるかもしれないんだけれど 、これは計算できないんです。これをまともに定義して、
定義通りに計算するというのは、無理なんです。これは無限次元の積分で、絶対無理なんです。
これをですね、実際に求めることはできない。この量を、数学的にそのまま定義するのは、多分 無理。まあ、無限次元の積分なんて無理なんです。
積分
Ru^v
l k
数を数える [N1][N2]
交点数
(1.76)
じゃあ、ど うするかというと、先程言った、こういうことがあるんですね。こういう積分という のは、|これ 、有限次元ですが|これは、数を数えるということに対応する。
Ru1^u2は、交
点数[N1][N2]に等しくなる。
これが 、Mのtopologicalな情報から決まる量である場合だけを考える (1.77)
で、ど うするかというと、これは積分だから、積分ていうのは、多分、長さ、メジャーが要りま すから、あれなんだけど 。これがですね 、M のtopologicalな情報から決まる量である |つま
り、長さとか、metricに関することが要らない場合ですけれど も |そういう場合だけを考える。
まず、これが第一です。
積分 ,! 数を数える問題に帰着
#
数を数える問題を解く
(1.78)
で、次ですけれども、この積分というのを、数を数えるということに帰着できないかという。自 在に議論して、積分を何か、数を数えるという問題に帰着したい。
私は 、よく分からないけれど 、多分、今まで知られているほとんどはですね 、topologicalな情
報から決まる量だったらば 、結局は、こういうのを使っているという風に思われるわけです。逆に 言いますと、こういうchoice11が存在しないと、この積分が 、本当に、topologicalな情報だけで決
11何か数を数えることに帰着させること、そういう帰着させるべき適当なものを選ぶことを指す。
1.42. 積分を数を数える問題に帰着させたい 33
まるかど うかというのは分からないことで。従って、それは、しょうがないわけです。とにかく、
このprocess12というのを明らかにしなくちゃいけない。
このprocessをやるときには、この積分は定義されていないから、それを使って厳密な議論はで
きないんだけども。何らかのですね、|あまり、うるさいことを言わなければ | Lagrangianの変
形をしてですね、最終的には数が出てくることを納得しなさい。納得したらば 、この問題は数学的 に解けるだろう というのが方針なんです。もう一回言いますと 、この積分を計算したいとしても これは計算できないから、これを何らかの形で、数を数えるという問題に帰着して、最終的に帰着 された、数を数えるという問題の方を解きたい。そうすることによってですね 、この量というの は、 定義できる。
Topologicalな情報から決まるという根拠
Stokes' theorem
Cobordism argument (1.79)
それによって、先ほどのprocessをこうやろうというのがあるわけです。例えば 、この積分は、
ここで言ったtopologicalな情報から決まるということを証明しよう。Topologicalな情報から決ま
るというのは、ど ういう効果でそうなっているかというと、それは、やっぱり、Stokesの定理です。
さっき言いましたけど 、これが 、元のtopologicalな情報から決まるということの根拠は、Stokes
の定理です。
で 、cobordism argumentを使って、こいつがtopologicalな量から決まるということを証明す る。そういう、さっきのですね、有限次元の議論を、そのまま、こう、無限次元の方でやってやれ ば 、どんどんですね 、これができるだろうと思われるわけです。
それでは、ちょうど 時間ですので 、今回はこの辺で終わります。
12積分を、数を数える問題に帰着させる過程。
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