このとき、カップ積はこうなる

6.10 このとき、カップ積はこうなる

Q(a;b;c) = #^f':S^2!M^2Mg;m(M;)^j'(0)²N¹; '(1)²N²; '(¹)²N^3g (6.47)

この特別な場合にですね 、カップ積は何かというのを考えるんです。Q(a;b;c)^{というのを考}

えます。

a ^PD!N¹ b ^PD!N²

c ^PD!N^{3 (6.48)}

今、a^のPoincare dual^を N¹,b ^のPoincare dual^を N², c^のPoincare dual^を N^{3 とします。}

そうすると 、これは数であって、|^{もう一回書きますと} | '^という、S^{2 から} M ^{であって、}

'(0)^が N^{1に入って、}'(1)^が N^{2に入って、}'(¹)^が N³に入っている。こういうものです。

(6:47)^{の右辺 3}' '(S²) =S_i² (6.49)

こういう元を '^{としますと、}'(S²)^{というのは、何かの}S_i^{2 なんです。}

N¹;N²;N^3はS_i^2とtransversal (6.50)

このですね、N¹, N²,N^{3 を動かして、}S_i^{2 たちと全て、}transversal^{にします。}

dimNi= 4 (i= 1;2;3) (6.51)

今、一番、大事な場合は、Ni^{の次元が全部}4の場合です。そうすると、codimension^はそれぞ

れ2^で、3^{つを足すと}6^{なんですね。}

N¹S_i²=N¹=

Z

a (6.52)

N^1と S_i^2のintersection numberを考えます。こいつは何点あるか。'^{のホモロジーは だか}

ら、 ^{で考えて、それに}N¹ をこうやったものですね。これは、 ^で N^1のPoincare duala^と

いうやつを積分するわけです。こんな感じです。

ど うなっているかというと、今、ここに、S_i²があるんですね。ここに、N¹,N²,N^{3というの}

が 、3つあるんです。今の場合、S²_i ^とN_j は有限個の点でしか交わらないんです。N_j^が4^次元

で、S_i^2が2^次元で、M^が6次元だから、有限個の点でしか交わらない。

図6.1: S_i^2と N_j ^{との交わりを考える}

6.11. Homology class^{が となる}pseudo holomorphic curve^{の数を数える} 177 N^1\S_i^2の点

N^2\S_i^2の点 N^3\S_i^2の点

1

C

A1^{つずつ選ぶ} (6.53)

そうすると、N^1\S_i^2の点とN^2\S_i^2の点とN^3\S²_i ^の点を1つずつ選ぶと、こういうものが 決まります。これ 、1^対1です。もちろん 、この iと、こういうのを選べば 、決まるわけです。

)Q(a;b;c) =d^h;a^ih;b^ih;cⁱ (6.54)

そうすると、こういう数が分かって。d ^と各cohomology class^に、h;a^{i掛ける h};b^i掛け

る^h;cⁱ. こういう風に。要するに 、こういうものを計算しているんだと理解すればよくて。カッ プ積というのは 、こういうものなんです。これが一つです。

6.11 Homology class ^{が となる} pseudo holomorphic curve

の数を数える

d^{・・・これの計算に帰着}

homology class^{が となる}pseudo-holomorphic curve^の数 (6.55)

結局、quantum cohomologyの計算というのは 、こういう、Calabi-Yau^{で 、}6^次元の CY = 0

の場合というのが一番大事なんです。これが計算できるケースです。これは、homology class^が

である、pseudo holomorphic curveの数です。こういうのをど うやって数えるという問題に結局、

帰着している。

6.12

^について

Fact ⁸C >0 #^fjMg;m(M;)⁶=^;; ! < C^g<+¹ (6.56)

さっき、の定義を言い忘れたのをもうちょっとお話ししますと。任意のconstantC^{に対して、}

^{の集合であって、M}g;m(M;)^がnon-empty^{であって、しかも、}!^が C ^{より小である。こ}

れが有限集合。ということが知られています。

(6:56)^{の証明は M}g;m(M;)^のcompact^{性の場合と同様} (6.57)

これは、こいつのコンパクト性の証明と大体同様なものです。なぜかというと、'^{が 、ここに含}

まれていたらば 、'^と !^{の積分、エネルギーの} '^が C より小さいとき。これは、何に等しかっ

ンパクト性。有限集合。

f^ja;b: x; a^[b⁶= 0; ! < C^g:^有限集合 (6.58)

こうなんですね。a,b^をx^{したときに、}a^[b^が0^{でないようなであって、それで、}!

があるconstantCより小さいというのは、有限集合である。

:=

(

Xcq

c= 0; ! <0; c= 0; != 0; ⁶= 0;

)

(6.59)

そこで、の正しい定義はこうです。ちょっと最初に書き間違えたのを書き直しますと 、q^{の 乗の}1次結合ですね。但し 、係数c ^は0^で、!^が0^{より小で。で、}c^{がやっぱり、}0^で、

!^が0^で、が0^でない。

8C #^fj! < C; c⁶= 0^g<+¹ (6.60)

さっき書いた、この条件は何かといいますと 、任意のconstant^{に対して、 の集合であって、}

^と !^の内積が C^{よりも小さくて、}c^が0でないというのが 、有限集合です。何かごちゃごちゃ 言いましたけど も、まあ、こういうのがある。これが有限集合というのを使うと 、これがここに 入っているというのが分かる。