空間概念の\量子化"
非可換幾何学
M ;C0(M) M上のcontinuous function
"可換環
(1.62)
ところで、空間概念の量子化というものとして、真剣に為されている内容は、いっぱいあるわけ ですが。一番、良くされているのは、非可換幾何学とかいうものです。それは、こういうものです。
今ですね、空間に対して、まあ、連続関数、| smooth functionでも、いいですけども|M 上
の連続関数全体C0(M),こういうのを考えます。このC0(M)というのは 、可換環なんです。
C0(M);非可換環
Cyclic cohomology etc. (Connes)
こういう枠組みで 、
2
6
4
微分形式
R u^v Stokes
3
7
5を非可換環に一般化しよう。
(1.63)
それで、この可換環というのを、非可換環に一般化しよう、そういうのがあるんです。量子群と いうのに、同じようなところがありますが。こういうのを非可換環に一般化しようというのが 、非 可換幾何学。非可換環というのには、何か、積構造の中に"が入っていて、"を0にすると、も
との可換環にあたる。そうなるわけです。これが 、何か、よくある所の、空間を量子変形するとい うことで、非可換幾何学というものです。
ついでに言いますと 、この枠組みの中で微分形式があるかというと、それはありまして。それ は、今後の何か、Seiberg theoryというのが 、多分、こういう枠組みの中で、微分形式とか、微分 形式の積分とかですね 、Stokesとかいうのがど うなるかというのを、一生懸命にやっているんだ という風に、こう、理解できるわけです。
ちゃんと言いませんが 、そういうのは 、僕はあんまり、よく知らないんだけど 。あの、cyclic
cohomologyとか、そういう話がいろいろあるんです。Connesですけれども。こういうのは、こう
いう枠組みで。微分形式とか、Stokesとか、こちらは、この辺ぐらいですね。これを理解しよう。
これを一般化しよう。というものだという風に、私は理解しています。
K-theoryとか、微分形式の積分とか、いろいろあるんです。ただ、難しいのは、|良く知らな
いことで、あれですが |一つだけ言っておくべきなのは 、これ 、C0(M)でして。こうやると 、
C1にしなくちゃいけなくて。そうすると、そこはいやらしいんですが。それは、私は良く知らな いのでやめます。
それとですね、これは、さっきの定義(1.33)によると、解析なんです。だから、空間概念の非可 換化というのは、こういう解析的な対象というものを、非可換化することによって出るわけです。
1.37 答えは、 string theory ？
それで、私が言いたいのは 、幾何で 、こちら側の枠組みでやるということで。解析の方は 、あ る意味で成功手段、成功はしていないんだけれども、認知されたというんですかね。ある意味で、
それに比べると 、まだ 、establishされていない、こちらの枠組みでやる。少なくとも、ホモロ ジーのレベル、或いは、algebraic topologyのレベルでは、こいつとこいつは等価なんです。もう一 回言いますと 、algebraic topologyのレベルでは、左側と右側が等価なんです。それは、Poincare dualityで、或いは、ド・ラムの定理で、ホモロジー論を展開するのに、微分形式でやろうと、singular
homologyでやろうと、同じものが出てくるというのが 、20世紀前半に理解したことなんです。
2
6
6
6
6
6
6
4
Singular homology
幾何Submanifold
交点数
コボルデ ィズム
3
7
7
7
7
7
7
5
=)これを\量子化"したい
#
これの答えがstring theoryであろう。
#
なぜ、それがstring theoryなのか？
(1.64)
そこで、こちら側の方に関して、これの非可換幾何学、これの非可換化は何か。これを、今言っ た意味で 、量子化したい。というのがあるんです。これは何かというのが問題なんですが 。恐ら く、私が思うところ、これの答えがstring theoryである。これは、何かというと、これの答えが 、
string theoryであろう。
だから、理想的に言えば 、理想的に言えばですね 、string theoryに基づいた空間概念の非可換 化、こういうstoryの非可換化があって、それが 、こちらに出てきた関数か何かと、ある意味で等 価になるわけなんです。そういうことがもしできれば 、非常にうれしいというわけです。
1.38 2 つの物の間に働く力と交点数 | 古典的な状況
それでですね、これが、ど うして、string theoryになるかということをお話ししたいわけですが。
MN1;N2 (1.65)
まずですね、交点数というのをもう一回よく考えてみると、こうなんですね。今、M 上に、2
つサイクルがあるとしましょう。Submanifoldがあるとします。それでですね、なぜ、こういう風 に考えるかという荒い説明をしますと。このですね、Mというでっかい所に、この N1というの
と、N2というのがあるわけです。これ 、こうやって、ちょっと交わりますね。これが N1で、こ
れが N2.
あるものが 、N1の所だけにある。
別のものが 、N2の所だけにある。
)
この2つの間の力:N1N2で分かる。
この2つの間の力:N1\N2でだけ働く。 (classical) (1.66)
それで、今、何かですね、ある物がN1の所にだけあるとします。で、別の物が N2の所にだけ
あるとします。
6確立する。
1.38. 2つの物の間に働く力と交点数|古典的な状況 27
図 1.5: 2つの間の力は、N1N2で分かる。
こにあるかというのは、よく分からない。ただ、N1のどこかに、N1のどこかにあるということ が言える。で、別の物は 、N2 のど こにあるかは分からないけれど 、N2 のど こかにあるとし ま しょう。そうするとですね、この2つの間の力というのは、ここにだけ、N1とN2の交点符号だ
けで、こう、働くというのが古典的な状況だろうと思うんです。
つまり、「物があったらば 、ぶつからない限りは 、力が働かない。2つの物があったらば 、同じ 所にそれが行って、ぶつからない限りは 、力が働かない。」というのが古典的な状況です。
だから 、この 2つの間の力というのは 、交点数みたいなもので理解できる。Topological eld
theoryというのは、こういうのをああいう風に考えてやると、交点の数だけ、プラス・マイナスの
符号を込めて考えると、交点数としてできるわけですが。そうでない、もっといろいろな、幾何学 的な計量とか、この辺の数を数えるとか、topologicalな方法とか。それがだから 、古典的な状況 だと思われるんです。
多分、ここで言っているのは、あまり精密に考えると、うそなんです。この辺は、お話です。い ろいろ言いまして、多分。