なぜ、 orbifold が出てくるのか？

次にですね、ど うしてorbifoldが出て来るかというのを考えましょう。

図 3.18: ^M1;^{0：トーラス}

M

1;⁰というのは何かというのを考えます。Genus 1のリーマン面というのは、平行四辺形をこ う貼り合わせて作る。平行四辺形は、こう取ります。ここを0^{に取って、ここを}1^{に取って、ここ}

C

ZZ=T^{2 がパラメータ}

base^{の取り方は自由} (3.56)

C を ^ZZで割ったやつ、こういうトーラスがあるんですね。 がパラメータなんですが。

図3.19: ^の範囲

但しですね 、このbaseの取り方というのは 、自由に変えられるわけです。比較的よく知られて いる例があって、Gaussがした例なんですが 。これは、実軸ですね。今、^{を斜線部（ 図}3.20^参

照）に入るやつで取る²。但し 、異なるに対して、同じ複素構造を与えるところがあります。つ まり、 ^{がここ1にあろうと、ここ 2}にあろうと、これは同じ物です³。

ところがですね、ちょっと特別なやつがありまして。それは、この平行四辺形の対称性が高いも のなんですが 。

=^p,1 (3.57)

今、 ^をp,1にします。対応する平行四辺形は、正方形になります（ 図3.21^）。

1適当な相似拡大を行なって、平行四辺形の長くない方の辺の長さを1としておく。さらに、平行移動と回転により、平 行四辺形の長くない方のひとつの辺a^{を実軸上の}[0;1]におき、原点をはさむ他の一辺b^{を上半平面内に取る。}

2bは、短くない方の辺だから、^{は、原点中心の半径}1の円上または、その外側にある。また、 = ^0と = ⁰+1

は、同じ複素構造を表わす平行四辺形に対応するので、^{の実数部分は、,12 以上 12} 以下としてよい。よって、^は、

図の斜線部に取ってよい。

3斜線部のうち、境界の左右の縦線の同じ高さの点（ 例えば 、^1と2 ）は、同じ複素構造を与える。

3.18. ^なぜ、orbifold^{が出てくるのか？} 81

図3.20: =^p,1 : ^{正方形の場合}

M

1;^{0における} =^p,1^{の近傍は、C の}open set^{ではない。} (3.58)

この近傍を考えましょう。 =^p,1^{の近傍で 、M1};^{0というのは 、C の}open set^でないわ

けです。普通の点は、 を局所的に動かすと、本当に全部違うものが出てくるから、ちゃんと^R2

にhomeomorphicになるんですけど 。この点というのは、ちょっと動いた点が同じものを表わすか

ら⁴、そういう所が違うわけです。

図3.21: こっちに増やそうと、こっちに増やそうと同じ点を表わす

このの近傍では、こっちに増やそうと、こっちに増やそうと、同じ点を表わすんです（ 図3.22

参照）。同じことを見るには、寝せればいいです。そうすると同じものですね。

* C

ZZ p

,1 ^{が自己同型を持つ} (3.59)

4例えば 、 =^p,1の近くで、虚数軸上（長方形たちに対応する部分）を上下にちょっと動かすと、同じ複素構造に対 応するペアが現れる。

注：境界の円弧上（ひし形に対応する部分）で、から左右に同じだけ行った2点が同じ複素構造に対応する。