（ 下）次元について：経路積分が意味 を持つ場合

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第 5 章 （ 下）次元について：経路積分が意味

dimX :^変数の数 dimG :^{対称性の次元}

rankE :^{方程式の数} (5.66)

これらの次元やランクというのは、元々何を言っているか。dimX ^{は、変数の数で、}dimG^は、

対称性の次元ですね。それで、rankEが方程式の数。方程式の数といっても、これは、代数方程 式だと思ったときの方程式ですけれども。有限次元です。普通の、有限個の変数の方程式だと思っ て。微分方程式じゃなくて、ただの方程式だと思ってやる。変数の数から方程式の数を引いて、対 称にした数で割ったものが次元だと。これは、明らか。

5.24 ^{無限をキャンセルする}

問題のケースは、全て¹次元

dim^M=^1,1,1= ? (5.67)

で、今の場合、全部、無限次元です。これ 、無限引く、無限引く、無限になって、こうなるんで す。これをど うやって考えるか。

Lie(G) =^Gactp

,!T_pX^,ds!p E_p (5.68)

そこでですね 、さっき説明した、これの微分の条件に戻りますと。^Gという、G^{のリー環が}

あって、ここから TpX ^へ actp^というmapがあって、さらにここから Ep ^へ dsp ^というmap^が

あります。こういうのがあるんです。

If Ker act^p= 0 Imdsp=Ep

)

)dim s^,1(0)

G ^{= dim Ker}dsp

Im actp = dimH¹= dimT_ps^,1(0) G

(5.69)

これで無限をキャンセルするんです。例えばですね 、もし 、 actp ^のkernel^が 0^{で 、} dsp ^が

surjectiveだったら。このときは 、s^,1(0)=Gの次元というのは、自然に、Kerdsp=Im actp^の次

元になる。そしてこれは 、H¹ の次元であるということが 、すぐ 分かります。実は 、これがです

ね、tangent spaceですね。それはこう有限次元の場合で考えてやれば 、当たり前で。それでです

ね、残された対称性というのが 、obstruction^で。

5.25 Virtual dimension ^の定義

vir-dim ^Mg;m(M;) := dimH^1,dimH^0,dimH² (5.70)

5.26. 経路積分が意味を持つ場合 165

ここで、次のように次元を定義します。Virtual dimensionというんですが。これは、dimension

のH^{1 引く、}dimension^の H^{0 引く、}dimesion^の H²とこう定義するんです。

H⁰;H¹;H²: (5:68)^{のコホモロジー} (5.71)

ここで、H⁰,H¹,H²は、今、ここに書いた、こいつ(5.68)^{のコホモロジー。}

generic^には、M_g;m(M;)^は、vir-dim^,M_g;m(M;)^次元のorbifold (5.72)

そこで 、定理をやりますと 、generic^{には 、} | genericにはという意味は 、ちょっと言わない で。これ 、うそだから |^{こいつは 、この}virtual dimension^がdimension^{に一致するような次元}

のorbifoldである。こういうことだという風に思って頂くのが 、一番やさしい。一番、見やすいで

す。ちょっと取りあえず、これでいいことにさせて下さい。うそなんですが。

5.26 経路積分が意味を持つ場合

( w^2M_g;m

N¹;:::;NmM ^(5.73)

これがいいとしますとですね、そこで、ちょっと思い出すわけです。前に計算したときに何があっ たかというと、w^というMg;m^の元をxしたんですね。これは、submanifold^{ですが。後は、こ}

ういうN¹;:::;N_m^をx^{したんです。}

Z

w^Dh^Z_Map

(;M;⁾ev(u¹um)e^p,1LD' (5.74) Ni PD

!ui (5.75)

それで、wの方で積分することの、evaluation map^の*^の、|N_i ^のPoincare dual^を u_i^とし

ますと |u^1からumのこういうのを計算しようという所から話が始まったんです。

Map(;M;) :=^f'^j': ^!M; '([]) =^g (5.76)

この(;')^{というペアは、M}_g;m(M)に入っている。それで、map全部でやるとあれなので、

ここに 、 というのを付けまし て 、 Map(;M;) というのを考えるんですが 。元としては 、

': ^!M ^{で、さらに、}homology class'[]^が であるものだけを取ることにします。こうし ないと、収拾がつかないので。

(5:74)^$#^f(';J)^j(';J)^2M_g;m(M); '[] =; ²w; '(zi)²Ni^g (5.77)

それで、もう一回お話ししますと、この積分、こういう、経路積分というのを思い出して計算す ると。計算というか、何か 、こう自在に考えて、答えは何になるか考えると。こいつは ^になっ

て。で 、この というのがここに入っているんだけど 、それだけじゃなくて、こいつは 、w ^に

入っている。それで、後はですね 、'(zi)^が Niに入っている。こういう風になります。

もう一回言いますと、まずですね、これとこれが対応、最初に言った、これを入れないで、これ、

全部で動かしちゃうと、うまく考えないで、全体で積分するということに当然なっちゃいますね。

それはいいことにします。次に、これを付けるというのは、ちょうどこの条件を付けるということ が 、これにすることに対応しているわけです。それは大体そうです。こういう、ui ^{をウェッジし}

て積分するというのは、Poincare dualityで写してやると、何か、intersection number^{を取るとい}

うことだから、こういう条件を付けて数を勘定するということと、こういうやつを積分するという ことが対応する。従って、もし 、この経路積分というのを計算しようと思うと、こういうやつの数 を勘定することになる。

この量が意味を持つ^,vir-dim ^Mg;m(M;) =^XcodimNi+ codimw (5.78)

そうすると、今、書いた、この集合の数というのが意味を持っているなら、0^{次元にならなきゃ}

困るので、virtual dimensionのこいつがですね 、等しいことの ^のcodimension^の Ni ^{と 、後、}

codimension^のwです。これです。ですから、こういう場合にしか、数は計算しないわけです。何

かよく分かってないことを言いますと、多分ですね、こういう場合でないと 、積分自身というのが 何かアノーマリーになって定義できないとか、そういう風にして話が対応しているんだと。

結局、こういう経路積分を計算したかったんだけど 、それが意味を持つ場合は、実は、こういう 条件が成り立っている場合に限られている。その時には 、この数勘定というのは 、何か 、エネル ギーを入れて数を勘定したような量という所まで話が進んでいます。

じゃあ、少し休憩してから再開します。

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