この章では，まず最初にL2マルチンゲールがL2において有界になるための必要十分条
件を示す．そして，この性質から得られる定理を用いて，3．2節でKolmogolovの3級数定理，続いて3．3節でKolmogolovの大数の強法則を示す．
3．1 L2において有界なマルチンゲール
M＝（Mn：n≧0）をL2のマルチンゲール，すなわち，任意のnに対しMn∈￡2である
とする．このとき，s≦t≦u≦vであるs，ちu，v∈Z＋に対しE［Mv lfu］ ＝ Mu7 a・s・
となる．そして，Z∈￡2（鑑）＝￡2（Ω，鑑，一P）に対し 〈Z， Mv 一 Mu＞ ＝ E［Z（Mv Mu）］
＝ E（Z M．） 一 E（ZM．）
＝ E（ZM．）一E（ZE［M．1．71．］）
＝ E（ZMv）一E（E［ZMv l・JETu］）
＝ o
となるので，M．一一M、はし2（ら）に直交している．特に，
〈Mt−Ms 7 Mv−Mu＞＝O だから，Mnは直交する項の和として
Mn ＝＝ Mo ＋ 2（Mk m Mk−i）
k＝1
と書ける．よって，定理1。9Pythagorasの定理より
E（Mn2）＝E（Mo2）＋2E［（Mk−Mk−i）2］ （3・1）
k＝1
となる．
34
定理3。1 MをL2のマルチンゲールとする．このとき，．Mがし2において有界となる ための必要十分条件は，
ΣE［（Mk−Mk一・）2］く・。 （3・2）
k＝1
となることである．そして，このときMnはM。。に概収束かつL2収束する．
［証明］（3．1）からし2において有界であるということは，（3．2）と同値である．
（3．2）が成り立つとき，Mは￡2において有界だからノルムの単調性により，￡1において有 界となる．よって，定理2．9より、M。。＝lim Mnはほとんど確実に存在し，概収束している．
n→Oo Pythagorasの定理より れ ア
珂（一Mn＋r−Mn）2］一Σ珂（M・一Mk一・）2］
k＝n十1
が成り立ち，r→○。とし， Fat・uの補題を使うと
E［（MOQ − Mn）2］ ≦ lim inf」Eフ［（Mn＋r −Mη）2］
ポOo
■ΣE［（M・一一Mk一・）2］
n十1 となる．次に，n→Ooとすると
lim E［（M。。一Mn）2］＝0．
7L→◎o
ゆえに，∠：2収束している． □
次に，独立確較蜘のΣ撮Σ呵X卸棘に関する定理を示す．
鳶 鳶
定理3・2 （Xk：k∈N）は， E（浜）＝0，σ器＝Vαr（臨）＜。○（k＝1，2，．．．）である独立 確率変数列である．このとき，次のことが成り立つ．
（a）Σσ1＜。QならばΣX，は概収束する
k＝ 1 k＝1
（b）あるK∈［0，00）が存在し，任意のnとωに対し1臨＠）1≦Kが成り立つとき，
Σ＆が概収束するならばΣσ1＜。。となる．
k＝ 1 k＝1
ろ＝｛の，Ω｝，鑑＝σ（x、，x2＿， x。）
3．L2において有界なマルチンゲール
36
Mo＝0， Mn ・・ X、＋X2＋…＋Xnと定義して，
An一Σ・z， Nn−Ml−An
k＝1
とおく．
［（a）の証明］定義よりMはマルチンゲールになり，
E［（Mk 一 Mk．、）2］＝E（x2）＝σZ が成り立つ．（3．1）より，
れ ハ
E（Ml）一E（蛸＋Σ珂（M・一Mk一・）2］一Σσ舞
k＝1 k＝1
となる．従って，Σσ1＜OoならMはし2において有界1こなるので， lim畝はほとんど確 丁る→OQ
k＝1 実に存在する．
［（b）の証明］XkはJPIk−1と独立だから，
珂（Mk−M、一、）・1」・Tk．、］一二X忽．、］一E（xZ）一・量 となる．一Mk−1は．7 Tk＿1一可測だから，
σZ＝珂（Mk一一Mk．、）21五．、］＝E［Ml lfk．、トM2．、
となり，
珂．M2−Aん1ゐ．、］＝M9．、一Ak一、，・．・．
を得る．よって，Nはマルチンゲールである．
c∈（0，00）を任意に選び固定し
T＝inf｛γ・：1Mr l＞c｝
と定義すると，Tは停止時間で，定理2．3より，NTはマルチンゲールとなる．
よって，任意のηに対し
E（NT．n）＝E（MT．n2）一E（AT．n）＝o が成り立つ．
そして，T＜OQならIMT−MT一，1 ＝IXT 1≦Kだから，任意のnに対しIMT〈n l≦K＋Cと なる．T＝○○のときもIMT〈。1 ：IM。1≦IM。 1＋1x。1≦K＋cとなり，任意のnに対し E（AT．。）≦（K＋・）2
となる・また，仮定よりΣ臨がほとんど確実に収束するので，その任意の部分和は有界で んコユ
ある・従って，あるM（ω）？oが存在し，任意のnに対し れ
1Σx・（ω）1≦M （・）
k＝1
が成り立つことから，P（T＝○○）＞0となるような。＞0が存在する．なぜなら，もし任意の
。＞0に対しP（T＝○○）＝0と仮定すると，
P（T〈Oo）＝1 （＊＊）
となる，そこで（＊）と（＊＊）を同時に満たすωを固定すると，ある番号IVo（w）がとれ，
も
1Σx・（ω）1＞・・
、kニ1
cは任意なので，c＞Mとなるように。をとると
む
1Σx・（ω）1＞M kニ1
となり，（＊）に矛盾する．ゆえに，P（T＜Oc）＜1．
一方，
An ＝E（An）＝ E（An；T＜○○）十E（An；T＝OQ）
＝ E（A．；n≦T）十E（An；n＞T）十E（An；T＝OQ）
＝ E（AT〈n i n≦T）十An P（n＞T， TくOQ）十E（AT〈n；T＝Oc）
より，
E（AT〈n；n≦T）→一E（AT〈n；T＝○○）
An≦
1−P（n＞T，T＜○○）
E（AT〈n；Ω）
≦
1−P（n＞T，T＜○○）
（c＋K）2 ≦
くOQ l−P（T＜○○）
となり，瑞は収束する， □
3．L2において有界なマルチンゲール
38
3．2 Kolmogolovの3級数定理
定理3．3（Kolmogolovの3級数定理）X1，X2，＿を独立確率変数列とする．このとき，
ΣXnが概収束するための必要十分条件1ま，あるK＞0が存在し，次の三つの条件力減
れコユ
り立つことである．
（1）ΣP（lx。1＞1・ ）＜・。
n二1
（2）ΣE（X5）が収束する
πご
（3）Σv・r（x5）＜・。
こ還
x5（ω）一｛劉1鋼ξ憂；
この定理を証明するためには，次の補題が必要である．
補題3．4 （X。）は独立確率変数列で，あるK∈［0，00）が存在し，任意のnとωに対し lXn（ω）1≦Kが成り立つとする．このとき，
ΣXnが概収束するならばΣE（X。）｝ま収束し，Σyαr（Xn）＜○O
n＝1 n＝＝1 n＝1
となる．
［証明］E（Xn）＝0なら定理3．2（b）と同じである． E（Xn）≠0のとき，（Ω，∫，一P，（Xn：n∈N））
を（Ω，∫，P，（X．：n∈N））と同じ確率空間，確率変数とする．そして，
（st ，一 ，P ） 一＝ （st，f， P） × （st， J7， P），
ω＊＝（ω，c））∈Ω＊に対し
XX （tu ） ： Xn （W）） Xfi （LV＊） ＝＝ Xn （C2＞）， ZX（ca＊） ＝ XX （CV＊） 一 XX （LV＊）
と定義する．このとき，（XX：n∈N）∪（驚：n∈N）は（Ω＊，．7 ＊，一P＊）上の独立な確率変数列
であり，X寛とX拷のP＊に関する分布は，X。のPに関する分布と同じである．すなわち，
一B∈β（R）に対し
P＊（（XX）一i（B））＝P（Xn i（B））） P＊（（一］il：）一i（B））＝P（X．一i（B））
となる。
（Zn：n∈N）は，任意のnとω＊に対しIZl（cv＊）1≦2Kである（Ω＊，ア＊，P＊）上の平均0の 独立な確率変数で，
Vαr（zM＊ n）＝2σ蒐 となる．ここで，鴫＝Vαr（Xn）．
σ一｛ω∈Ω・ΣX・（ω）は収束する｝・a一｛cl） G si・Σ瓦＠）は収束する｝
n ＝1 n：＝1
とすると，P（G）＝♪（δ）＝1なのでP＊（G×δ）＝1である．ところが，Σ町ω＊）1まσ×δ n＝1
上で収束するので
P＊（Σ Zliは秘する）＝1 n＝1
を得る．よって，定理3．2（b）より
Σσ萱＜・。
n＝ 1
となり，定理3・2（a）よりΣ｛X。 一E（Xn）｝は概収束する・X。 一E（Xn）は平均0の独立な n＝1
確率変数なので
E［｛Xn m E（Xn）｝2］＝σ言．
仮定よりΣXnは概収束しているので，ΣE（Xn）は収束する． □
n＝1 n＝1
［定理3・3の証明］（必要性）Kを任意の正数とする・ΣXnは概収束しているので， Xnは n＝1
0に概収束し，
｛w ： lim X．（w n−oo）一・｝⊂U∩｛ω・1Xn（ω）1≦K｝
m＝1n＝m が成り立つので，
P（U∩｛1X・1≦κ｝）＝＝ 1・
mニln＝m ，よって
P（∩U｛1淵〉κ｝）＝・ o・
mニ：1n＝m
3．L2において有界なマルチンゲール
40
ゆえに，Borel−Cantelliの第二定理の対偶より
Σ 一P（lx。 1＞K）〈・c n＝1
となり，（1）が成り立つ．
U∩｛ω：IXn（ω）1≦K｝∋ωに対し，ある番号noがとれ， IXn＠）i≦K（n≧no）が
mニln＝ m
成り立つ・ゆえに，踏＝＆（n≧no）となる・従って，Σ踏は概収束し，ネ甫題3・4より n＝ 1（2），（3）が成り立つ．
（十分性）（1），（2），（3）を満たすIs ＞0が存在したとすると，
くンつ
ΣP（Xn≠踏）一ΣP（1x。1＞一κ）＜。・．
n＝＝1 n＝1
Borel−Cantelliの第一定理より
P（∩u｛x・≠x5｝）一・・
m＝1n＝m ，よって
P（∪∩｛Xn一踏｝）＝＝ 1 mニ1n＝m
となる．
U∩｛Xn ＝ X．K｝∋ωである任意のωに対し，ある番号noがとれて， X．＝X5（n≧no）
m＝ln＝7n
となる．よってΣ踏が概収束することを示せばよい．踏＝踏一E（X−ls n）とおくと，（2）
れコユ
が成り立っているので，YnKが概収束することを示せばよい．ところで， Y．Kは平均0の独立 確率変数なので，
珂（踏）2］＝v・r（x5）．
（3）よりΣ畷は概収束しているので，十分性は示された □
n＝1
3．3 Kolmogolovの大数の強法則
私たちは次のようなことを経験的に知っている．公正なコインをn回投げる．このとき，
表または裏が出た回数を投げた回数で割った相対度数は，投げる回数ηを大きくすると告に 近づく．あるいは，公正なさいころを投げるとき，ある目が出た回数を投げた回数で割った相 対度数は，投げる回数を多くするときに近づく．このことはKolmogolOVの大数の強法則に
よって，理論的に説明できる。
定理3．5（K：olmogolov大数の強法則） X1，X2，． は，同一分布の独立確率変数で，
E（IXk 1）〈○○（k＝！，2，＿）とする．このとき，
pa ＝ E（Xk） ， Sn ＝ Xi ＋ X2 ＋ ＋ Xn
とすると，
童
一 pa ） a．s．n
となる．
表を1，裏を0として，（stn， ・Zn， Pn）を
1・
stn ＝ ｛O， 1｝， 」i n ＝ P（ fln）， Pn （｛O｝） ＝ Pn （｛1｝） ＝ S
の確率空間とする．そして，
（st7−7 P） ＝ ll （stn， fn， Pn）
nEN
と定義する．Ω∋tU一：（ω1，ω2，．．），＠∈｛0，1｝）に対しX。（ω）＝ωnと定義すると，（X。）は
同一分布の独立確率変数で
1
pa ＝ E（Xn） ＝＝ S （n ＝ 1， 2， …）
である．このとき，
Sn ＝ Xi ＋ X2 ＋ ＋ Xn
と定義するとSnは表の出た回数を表わしている． Kolmogolov大数の強法則より 童→μ，。．s．
n
ゆえに，表の出た回数を投げた回数で割った相対度数は圭に近づく．さいころ投げの場合も 同様に，ある目が出た回数を投げた回数で割った相対度数は，きに近づくことが示せる．
3．L2において有界なマルチンゲール 42 K。lmog・1・v大数の強法則を示すのに，次の4つの補題が必要となる．
補題3．6（Ceshroの補題）｛bn｝雛1は， bn＞0，bn↑○○である実数列，｛Vn｝雛1は収束 列で，その極限をv。。とする．このとき，
zi ill．li，（bk m bk−i）vfo ． voo
となる．ただし，bo＝0とする，
（n．oo） （3．3）
［証明］ε＞0に対し，番号Nを次のようにとる．
vk 〉 v．． 一e （k 〉一 N）
このとき，
1甑書（b・一b・一・）・k≧1脚f｛辞書（b・ 一・b・一・）vk＋転云6N＠QQ−E）｝
〉一 voo−e．
εは任意なので，
1鯉f毒書（b・ 一・b・一・）・・≧v・・
同様に，
lilli−1 s．Up ill S． 1，（bk 一 bk−i）vk fll v．．
となる．ゆえに，（3．3）が成り立つ．
B
補題3．7（Kroneckerの補題）｛bn｝盤1を， bn＞0，bn↑○。である実数列，｛xn｝雛1を実 数列とし，s． ＝： x1 ＋ x2＋…＋Xnとする．このとき，
璽 が収束するならば lim曳＝0
Σ
n→。・bn bn
n＝1
となる．
闘賜 Rとおくと，…諏備在L，
生
ZLn 一 ZLn−1 ＝：
bn
である．そして，
れ れ
Sn一Σ6・態噸一・）一b。・n一Σ（bk−bk一・）ILk一・
k＝1 k＝1
だから，Cesdroの補題より