（5）Σ（1一・n）＜・・
n＝1
もし上の5つの命題のどれかが成り立たないときは，
P（Moo ＝＝ O） ＝1
となる．
エ ユ
［証明］an＞0は明らか． Xだ≦IJ｛lx。1≦1｝＋X。1｛lxn l＞1｝より，E（IXぼ1）＜Ocとなる． Jensen の不等式より，
ユ ユ
1≧E（X。）＝E［（X蕩）2］≧E（X蕩）2＝aZ．
ゆえに，αn≦1．
最初に，（4）が成り立つと仮定する．πに対し ユ ユ ユ
凡＝さエ堂＿童
α1 α2 αn
と定義すると，Nはマルチンゲールで，
E（N？ n）＝幽≒曜≦（孟）・＜○O
kニ1
となる．よって，N2はし2において有界である．また，定義より Mn＝（a、・a、…αの2環≦ハ薩
である．このこととDoobのL2不等式より，
E（・up・1M・1）≦E（・up・IN・・12）≦4・upE（ag）〈…
n n
π
ゆえに，一M＊＝ sup IM．1∈Llであり，定理4．4の（b）よりMは一様可積分マルチンゲールで れある．従って，（2），（3）が成り立つ．そして，MnはMn・・E［Md。。｝．TTn］，α．s．と書けるので，
E（M。。）＝E（Mn）＝1 となり，（1）が成り立つ．
次に，（1）ならば（4）を対偶によって示す．（4）が成り立たないと仮定すると，IIα。＝0で れコユある．そして，Nは非負のマルチンゲールだから，1＞。。＝1im Nnはほとんど確実に存在し，
n→Oo
M・・一 lim Mn−lim（rI・k）2鳩一・・Nk・一・，・…
n→○O n一→oO k＝1
となる．よって，E（M。。）＝0となり，（1）は成り立たない．
最後に，（4）と（5）が同値であることを示す．0≦Pn＜1のとき，
ΣPn〈・・ならばH（1−P。）〉・
n＝1 nニ1
である．よって，（5）ならば（4）が成り立つ．
次に，（5）が成り立たないと仮定すると，Σ（1一 an）＝○。である， x≧0のとき！−x≦
n＝1 exp←x）だから，
ll・・一H｛1一（1一・n）｝≦exp｛一Σ（・一・n）｝一・
nニl nニ1 n＝1
となり，（4）は成り立たない．ゆえに，（4）ならば（5）が示された． □
4．一様可積分マルチンゲール 62 さて，角谷の定理を述べる前に，確率密度関数の定義とそれに関する補題を準備しておく．
定義（確率密度関数）
Xを（Ω，．1 ）上の確率変数とする．このとき，任意のB∈3に対し P（X E B） ＝ f． fx（x）dx
となるようなB・rel関数∫xが存在するとき，Xは確率密度関数fxを持つという．
補題4．18 Xを（Ω，∫）上の確率変数，fxをXの確率密度関数， hをR上のBorel関 数とする．このとき，
E（lh（X）1）＜・・であるための必要＋分条件はf． lh（・）lf・（難く・・である・
そして，このとき
E［h（X）］ ＝一 f． h（x）fx（x）dx
が成り立つ．
証明は参考文献［2］のp．68に述べられている．
定理4．17より，ある条件の下で確率測度Pと（？が同値になるための必要十分条件が得ら
れる．
定理4．19（角谷の定理）Ω＝RN， Xn（ω）＝ω。とし，
．1 ＝σ（Xk：k∈N）， ．7 ln＝σ（Xk：1≦k≦n）
と定義する．そして，f。（x），9n（x），（n＝1，2，．．．）をそれぞれR上で正の確率密度関数 とし，rn（x）＝＝ gn（x）／f。（x）とする。また，一Pをf．を確率密度関数に持ち，確率変数X。
を独立にする（Ω，．1 ）上の唯一の確率測康，gをgnを確率密度関数に持ち，確率変数X．
を独立にする（Ω，f）上の唯一の確率測度とする．このとき，Pと（？は任意のnに対し
鑑上で同値になる．さらに，PとQが∫上で同値になるための必要十分条件は，
rI癬）一Hん綱魚（x）dx〉・
n＝1 n＝1
が成り立つことである．ここで，Y。 ・・rn（Xn）である．そして，この条件は
Σ孟｛vfias−vma｝2d・＜・。 （・）
η＝1 と同値である．
この定理を証明するために，次の二つの補題を示す．また，以下Radon−NikodYmの定理が 必要となるが，この定理は5．2節に述べられている．
補題4・2・P，9を（Ω，∫）上の確率測度とし，（？はPに関して絶対醗で，X一罪と する．このとき一Pが9に関して絶対連続となるための必要十分条件は，P（X＞0）＝1 である．そして，このとき
x−i ＝ 91｛t4 on z a．s．
dq v v ）
となる．
［証明］（必要性）F＝｛ω：X（w）＝0｝とおくと，F∈．7 で，
9（F） ＝ f． XdP ＝0
となる．一Pは（［？に関して絶対連続だから，P（F）＝0となる．ゆえに，
P（X 〉 O） ＝＝ 1−P（F） ＝ 1．
（十分性）GをQ（G）＝0である∫の任意の集合とすると，
9（G） ＝ f． XdP ＝o
であり，P（X＞0）＝1より一P（G）＝0となる．ゆえに，一Pは（？に関して絶対連続である．
さらに，F∈Fに対し
f． X−id9 ＝ f． X−i ・ Xdp ＝ L ldp ＝ p（F）
dP
となる・従って，x−1＝
ﾊを得る・ □
補題4・2・P，9を（Ω，∫）上の獅測度，｛・7Tn・・≧1｝を∫一・（U勾であるような
．7 のフィルトレーションとする．そして，（？は各鑑上でPに関して絶対連続であり，
Mnを鑑上のPに関する9のRadon−NikodYm導関数とする．このとき，（〜が∫上 でPに関して絶対連続となるための必要十分条件は，M＝（Mn：n≧！）が一様可積分
マルチンゲールとなることである．［証明］（肉南）（1？が∫上でPに関して絶対醗ならξ一罪として，Mn−Elel・1 1．］であ り，定理4LloよりMは一様可積分マルチンゲールである．
（十分性）Mが一様可積分マルチンゲールなら，定理4．9よりM。。はほとんど確実に存在し，
E［Moo 1−n］ ＝ Mn （n 2 1）
4．一様可積分マルチンゲール
64 と書ける．そして，臆のF∈UFnに鵜
π
9（F）一f。M・・dP （＊＊）
が成り立つ・U名はπ一システムなので，f上で（＊＊）が成り立つ・よって，9はF上でP ハ
に関して絶対連続であり，∫上で
嶋一遇
である． □
［定理4．19の証明］
e・・＝｛｛ω・X・（ω）∈B・，＿，X。（ω）∈Bn｝， Bi∈B，（i−1，2，…）｝
とすると，次のことが成り立つ．cの要素をωを省略して簡単に｛x1∈Bb＿，x。∈Bn｝と
書く．
9（｛X1∈β1ッ＿，Xn∈βn｝）＝ 9（｛X1∈β1｝∩＿∩｛Xn∈βn｝）
＝＝q（x・∈B・）・・Q（x。∈Bn）
一（f。，9・（ψ）…（ム卿）d・）
一（儲綱…（儲撫ゆ）
一（f｛XiE3i｝努i姜ii4P）…（塩鮒絵idP）
一ズ渦円味鍛i；…幾；4P
Cはπ一一システムで，Fn＝σ（のより，任意の一F∈鑑に対し
（？（F）＝
kYiY2 YndP
となる．ここで琉＝rn（Xn）である．よって， Qは鳳上でPに関して絶対連続である．
同様に，任意のF∈．71nに対し
P（F） ＝ L（YiY2 Yn）一 d（2
となることが示せ，一PはFn上で9に関して絶対連続である．よって，一Pと9はJZ n上で同
値である．
さて，Radon−NikodYmの定理よりら上で
M．＝ ddgp＝＝YiY2 Yn
である．Ynは非負でPのもとで平均1の独立な確率変数なのでM＝（Mn：n≧1）はマル
チンゲールである．
よって，補題421より9が．7 上でPに関して絶対連続となるための必要十分条件
は，Mが一様可積分マルチンゲールであることであり，この条件は定理4．17の（1）より，一p（一M。。＞0）＝1であることと同値である．ゆえに，補題4．20と定理4．17の（4）よりPとg が∫上で同値になるための必要十分条件は，
HE（ 1Yn2）一H孟fn（x）9n（x）dx＞・
n＝＝1 nニ1
であることが分かる．そして，定理4．17の（5）より，この条件は
Σん｛v廟一〜輌｝2dx〈・。
n＝1
と同値になる．
D
特に，Xnが一Pとgの各々の下で同一分布の独立確率変数とすると，任意のnに対して
fn＝f， g。 ・gとなるようなR上の確率密度関数∫， gが存在する．このとき，Pとgが同 値になるための必要十分条件は，（＊）よりLebesgue測度に関して，ほとんどすべてのxに対しf（x）＝g＠）となることで，この場合P＝gとなる．更にこのとき，角谷の定理は，P≠g ならば一P（M。。＝0）＝1となることを示している．