次に，cが有限とする．そのとき，任意のnに対し一P（ξ≦c 一一 k）＝0だから
p（U｛e sc一 k｝） ＝＝ p（6 〈 c） ＝ o．
一方，任意のnに対しP（ξ≦c＋去）＝1だから
p（A｛e sc＋ k｝） ＝＝ p（6 g c） 一 i．
従って，
P（6 ＝ c） ＝1
となる．
o
定理5．2（大数の強法則）Xi，X2，＿は，同一分布の独立確率変数列で， E（1Xk 1）＜Oo（k；
1，2，＿）とする．このとき，
pa ＝ E（Xk） ， Sn ＝ Xi ＋ X2 ＋ ＋ Xn
とすると，
Sn − v
は概収束かつL1収束である．
［証明］9−n＝σ（Sn， Sn＋1，S。＋2，＿），9一。。＝∩9一。と定義すると，
珂X、lg．司＝n−1S。，・．・．
となる．よって，定理4．11のL6vyの下向き定理により，L＝lim nMI S。は概収束かつLl収 n一一＞oo
東である．
任意のωに対しL ＝＝ lim sup n−1S。と定義すれば，各kに対し n−oo
Xk＋1 十 十 Xk＋n L ＝ lim sup
n一 oo n
が成り立ち，L∈m五， Tk ・σ（Xk＋1，X鳶＋2，＿）である．よって，定理5．1 Kolmogolovの0−1 法則の（b）より，P（L ・c）＝1となる。∈Rが存在する．そして，
c＝ E（L） ＝ lim E（n−iS．） ＝ pa
n−oo
となる．ゆえに，
童→μ，。．，．から乞。￡・
が示された。 □
5．マルチンゲールの応用
68
5．2 Radon−NikodYmの定理
序文で述べたように，次に示すRadon−NikodYmの定理より，条件付き期待値の存在が示せ
る．
（Ω，∫，P）を確率空間，9を．7 の部分σ集合体， x∈Ll（Ω，∫，一P）でxは非負とする．こ のとき
9（G）＝E（XIG）， GE9
と定義すると，gは（Ω，9）上の有限測度で，9上でPに関して絶対連続であるので， Radon−
Nikod夕mの定理より
Y＝ ［1；／i on 9， a．s．
が存在する，yは9一可測，よって，任意のG∈9に対し
E（Yi G） ＝＝ 9（G） 一 E（Xl G）
が成り立つ．ゆえに，y ・E［X19］，α．s．が存在する．
定理5．3（Radon−NikodYmの定理）gはPに関して絶対連続な有限測度とする．こ
のとき，X∈L1（Ω，∫，一P）が一意に存在し，任意の一F∈∫に対しg＝＝x−Pすなわち，
g（F） ＝ Lxdp ＝ E（xl F）
となる．このXを（Ω，F）上のPに関するQのRadon−NikodYm導関数といい，
画一x・・毎・・
と書く．
（注意）一意に存在するとは，X， XがPに関する（？のRadon−NikodYm導関数なら，P（X＝
X）＝1であるという意味である．
［証明］
（第1段）．1 が可分，すなわちΩの部分集合列（Fn）が存在し∫＝σ（瓦：n∈N）となる場 合について証明する．
補題4．1より任意のε＞0に対し，δ＞0が存在し
F∈∫，P（F）＜δ ならば （［？（F）＜ε．
次に，鑑＝σ（171，F2，…7Fn）と定義すると，各nに対し，鑑は互いに素なr（n）個のJZ7nの
要素A。，1，An，2，＿，／A㌦，。（n）からできる2「（ ）個の和集合から成る．
関数Xn：Ω→［0，00］をω∈An，kなら，そのとき
Xn（w） ＝ （ （？（A．，，g／p（A．，，） Elil］：ll＃1：1 1； gi
と定義する．このとき r（n）
γ＠）
E（x・）一E（Xn；u蘇）一ΣE（x・；A・，k）
k＝＝1 鳶＝1
一書E（e（A．，k）P低，ん））；A・・k）
ど
一ΣQ（A。，k）
kニ11
一（？（u且のくQ（Ω）＜・・
k＝1
となる．ここで，1はP（．An，k）＞0となるAn，kの個数である．よって， Xn∈Ll（Ω，．」 ln，一P）と
なる．
同じような考えによって，任意のF∈∫に対し E（Xn；F）＝9（F）
が成り立つことが分かる．ゆえに，
臨一罪・・（st， ．7 ；n），…・
を得る．この（X．：n∈Z＋）は非：負の｛塩｝一マルチンゲールになり，
x。。＝lim Xn，α。5．
n→Oo さて，初めのδ＞0に対し 9（Ω）
＜δ K
を満たすようにK＞0をとれば
9（Ω）
P（Xn＞K）≦
〈δ となる．よって，
E（x。1 Xn＞K）＝Q（Xn＞1〈）＜ε
が成り立つ。従って，（Xn）は一様可積分マルチンゲール．定理4．9より Xn→X。。 in Ll
だから，一F∈鑑に対し
（？（F）＝lim−E（Xn；F）＝E（X。。；F）
n→OQ
5．マルチンゲールの応用
70
である．二つの測度（［？（F），E（X。。；F）はπ一システムU塩上で一致するので，．1 上で一致 n
する．
一意性は，定理1．12の第1段と同じようにして証明できる．
（第2段）fの部分集合体で可分なもの全体をSεpと書く．第1段より9∈Sepに対して
Radon−Nik・dYm導関数は存在する．それをXgと書く．このとき，（Xg：9∈Sep）はCauchy 列である．ここでCauchy列とは，任意のε＞oに対し，あるκ∈Sepが存在してκ⊂9，∈Sep（i＝1，2） ならば 【1Xgユ＿Xg， l11＜ε であることをいう．
（Xg）がCauchy列でないと仮定すると，あるεo＞0に対し
rc（O） c rc（1） c ・ ・・ rc（n） c rc（n 十 1） c …
であるような可分なσ集合体の列｛κ（n）｝が存在して
11X）c（n） 一 X）c（n＋i） lli 〉 Eo （n ＝ O， 1） …） （＊）
となる．
このとき，（Xrc（n））が一様可積分マルチンゲールになることが次のようにして分かる．（第1 日半より，κ（n）∈Sepに対しXrc（。）∈Ll（Ω，κ（n），一P）が存在し
Q（G） ＝ E（Xrc（．）； G） （G E IC （n））．
同様に，
q（F） ＝＝ E（Xrc（．ini）；F） （F E rc（n一 1））．
κ（n−1）⊂κ（n）より
E（Xrc（n）1 G） ＝ E（Xrc（n−i）IF） （F E IC（n 一 1））・
よって，E［Xκ（n）1κ（n−1）］＝Xrc（n＿1）， a．s．となり，（Xrc（n）：n≧0）は｛」〈（n）｝に関してマル
チンゲールである．
gはPに関して絶対連続なので，ε＞0に対しδ＞0が存在し
F∈．ア，一P（F）＜δ ならば9（F）＜ε．
このδ＞0に対しK−1Q（Ω）＜δとなるようにK＞0をとると，各nに対しP（Xκ（n）＞
K）〈δとなるので
E（Xrc（n）i Xrc（n） 〉 K） ＝ （？（Xrc（n） 〉 K） 〈 E
が成り立つ・よって，（Xrc（n））は一様可積分である．
従って，
X＝lim Xrc（n）， a。S．かつin Ll n−oo
であるから，任意のε＞0に対し，ある番号noが存在し ・≧・・ならば11X・一・X・・（n）11・＜S・
ゆえに，
IiXrc（n） 一 一X rc（n＋i）11i S｛ IIX 一 Xrc（n）Hi ＋ 11X 一 Xrc（n＋i）1］i 〈 S
これは（＊）に矛盾する．よって，（Xq）はCauchy列である．
（第3段）（Xg：9∈Sep）がCauchy列ならばXg→X in Liであることを示す．
ここでXg→X in Liであるとは， X∈Li（Ω，∫， P）で，任意のε＞0に対しκ∈Sepが存 在し
κ⊂9∈5εP ならば 1］ズ『q−XIIi＜ε となることである．
（Xg）はCauchy列だか6，nに対し1〈 n∈Sepが存在し
rCn⊂9i∈Sep（i＝1，2）ならば 【［Xg、一Xg、 l11＜2一（n＋1）．
冗（n）＝σ（κ1，κ2，＿，rCn）とおくと
X−lirp． Xπ（n），・．S．かつin・L n一＋oo
となる．実際，m＞nのとき冗（m）⊃冗（n＋1）⊃7t（n）⊃κ。であることに注意すると
IIXH（m） 一 X7 t（n）lli Sl 11XH（m） 一 XH（n＋i）11i 十 llX7t（n＋i） 一 XH（n）lli 〈 2一 ・
Fatouの補題を使うと
E［ll一m． in． f I XH（．） 一 XH（．）1］ s｛ 1！m． in．f．E］［IXH（．） 一 X7t（．）1］ f｛ 2 m
m一一＋oo m−oo
よりllX 一 XH（n）II1≦2−nを得る．X ・limsupXH（n）とする． n（n）⊂9である任意の9に
n−oo
対し，
liX7t（n） 一 Xglli 〈 2一 ．
よって，
llX 一 Xglli f｛ 11X ha XH（n）11i ＋ 11Xq 一 X7t（．）11i 〈 2一 i・
ゆえに，第3段が成り立つ．
（第4段）∫が可分でない場合も定理は成り立つことを証明する．
（第3段）で存在を示したXと任意の一F∈∫に対して
E（Xi ．17） 一 9（F）
5．マルチンゲールの応用 72 が成り立つことを示せばよい．Xg→X in L1より，任意のε＞0に対し，κ∈Sepが存在し
κ⊂9∈Sepならば 11Xg−xlli＜ε．
σ（κ，一F）∈Sepであり，第1段より，X。（κ，F）∈L1（Ω，σ（κ，．F），一P）が存在し （？（F） ＝ E（Xa（rc，F）1 1 ）
と書ける．よって，
IE（Xi 一17） 一 Q（F）1 ＝ IE（Xi lii） N E（Xa （rc ，F）； 17 ）1
＝ E（IX 一 Xa （ua）ll 一F）
s｛1 E（ IX 一 X． （rc，F） l i SM））
＝ llX−Xa（ua）11i〈e・
ゆえに，定理が成り立つことが証明された． □
5．3 最適停止問題
さいころを3回まで投げることができ，止めたときのさいころの目の数が得点となるゲー ムがある．さいころを投げたとき1回目で6の目が出れば，全ての人は1回でゲームを止める であろう．もし5ならばそこで止めるだろうか，あるいは2回目のさいころを投げるだろう か．何回目にどんな数の目が出れば止めるべきだろうか．そこで次の問題を設定し，マルチ ンゲールの理論を応用して考えてみよう．
（Ω，．」［・，｛．1Tn｝，P）をフィルトレーションが指定された確率空間，（Yn：0≦n≦N）をこ の確率空間上で定義された実数値の確率変数，T＝｛T：TはΩ→｛1，2，＿，N｝である
｛鑑｝一停止時間｝とする．このとき，E（YT）が最大になるTを求めよ．
（第1段）Xn＝E［Yn I J 。］，（n＝0，1，，．．，N）と定義すると，X＝（Xn：0≦n≦N）は｛．7 ln｝
適合で，任意のT∈Tに対し
E（XT） ＝ E（YT）
が成り立つ．
［証明］ 定義よりXnは｛JZ n｝適合である．次に，任意のnに対し｛T＝n｝∈鑑より
E（Xn；T＝n）＝E（YniT＝n）であることに注意すれば，任意のT∈Tに対し
ガ
E（x・）一ΣE（x・；T−n）
n万。
一ΣE（Xn；T−n）
niO
一ΣE（Yn；T−n）一E（YT）
n＝0
□
このことよりE（YT）を最大にするT∈Tを見つけるには， E（XT）を最大にするT∈T
を見つければよい．
（第2段）Z＝（Zn ：O≦n≦N）を
ZN＝XN， k ＝O，1，＿，1V−1、に対しZk＝E［Zk＋11fk］ V X，
と定義すると，Zは｛鑑｝一スーパーマルチンゲールとなる．
［証明］定義より任意のnに対しE［Zn＋11鑑］≦znだから， zは｛鑑｝一スーパーマルチン ゲールである． □
（第3段）Zは任意のnに対しXn≦Znとなる最小の優関数である．
［証明］W＝（監：0≦n≦N）をXn≦肌（0≦n≦N）であるような｛鑑｝一スーパーマ
ルチンゲールとするとき，Zn≦肱（0≦n≦バリであることを示せばよい．このことを逆向きの帰納法によって示す．
①VVN≧XN＝ZNより，一Nのとき成立．
②n＋1のときWn＋1≧z。＋1が成り立つと仮定すると，
Wn≧Xn， Wn≧E［Wn＋11Fn］≧E［Zn＋11J ；n］より M Tn≧X． v E［Zn＋i 1．Zn］＝Zn
よって，ηのときも成立する． □
（第4段）To＝min｛n：Xn＝Zn｝と定義すると，To∈Tである．
［証明］任意のηに対し れ
｛To ＝n｝一∪｛乃一た｝
情。
−u｛Xk−z・｝∈．■n k＝＝O
ゆえに，To∈Tである． □
以上のことから次の定理が成り立つ．定理5・4 To＝min｛n：Xn＝Z。｝「とすると
E（XiT，） ＝ ｛pg．x 一E（XT）
となる．Toを最適停止時間という．
［証明］任意のT∈Tに対し，E（XT）≦E（XT。）となることを示せばよい．そのためには，
E（Zo）＝E（ZTe）が成り立つことが分かれば，定理2．4 Doobの任意停止定理より
E（X．） Sl E（ZT） S E（Z，） 一 一E］（ZT，） ＝ E（XT，）
5．マルチンゲールの応用
74
となり，E（XT）≦E（XT。）を得る．
E（Zo）＝ E（Zo；To＝0）十E（Zo； To＞0）
＝E（ZT。；To＝0）十E（珂Zl lろ］；To＞0）
＝ E（ZTo；To＝0）十E（Z，1 To＞0）
＝ E（ZTo；：τb＝o）十E（Z1；To＝1）十E（Zi；To＞1）
＝E（ZT。；To＝0）＋E（ZT。；To＝1）＋一E（E［Z2 1．7 ，］；To＞1）
＝ 五フ（ZTo；Tc）＝0）→一E（ZTo；T，）＝1）十E（Z2；Tc）＝2）一トE（Z2；Tc）＞2）
一E（ZTo；To ＝O）＋E（Z・。；・T・一1）＋E（Z・。；T・一2）＋E（E［Z・IJi T，］；T・＞2）
を繰り返すことによって ガ
E（Zo）一ΣE（z・。；T・一k）一E（z・。）
kニ0
となる． □
さて，この節の最初に述べたさいころ投げの問題を定理5．4を用いて考えてみよう．
悶題］止めた時のさいころの目が得点で，さいころを3回まで投げることのできるゲー ムがある． このとき得点の期待値を最大にするToを求めよ．
［鯛 確率空間（Ω，．7 ，一P）を次のように定義する．
Sl） ＝ ｛Lv ＝ （cvb ca2，co3） ： cvi E ｛1，2，．．． ，6｝｝，
1
∫一叩），P（ω）一奮・
そして，確率変数とフィルトレーションを
Yk （tu） ＝ wh （k ＝ 1，2， 3）， ・1 Tn ＝ a（Yi，… ， Yn）， ・Zo ＝： ｛O， st｝
と定義する．第1段よりXn＝E［Y。 1．1 ；。］（n＝1，2，3）と定義すると，Ynは鑑一可測だから Xn ＝ Ynとなる．第2段よりZを以下のように定義する．
Z3 ＝ X3
Y3はうと独立だから，
Z・＝珂Z・囚＞X、＝E［Y， 1．1 T，］＞Y2＝E（Y3）V｝ろ＝3．5＞Y2
Z2は名と独立だから，
Z， ＝＝ E［Z，1．7 T，］ V X， ＝ E（Z，） V Y， ＝ 4．25 V Y，
そして，To＝㎡n｛n：Z。＝Yn｝とすると次の結果を得る．
Yi＝5，6 ならばTo＝l
Yl＝1， 2， 3， 4， Y2＝4，5，6 ならばTo；2 Yl＝！，2，3，4， Y2＝1，2，3 ならば：τb＝3
すなわち，1回目で5または6の目が出ればそこで止めればよい．1回目が4以下で2回目で
4，5，6のどれかの目が出れば，そこで止めればよい，！回目が4以下，2回目が3以下の目であ れば，3回目に期待すればよいということである．さらに，n＝N（≧5）の場合，この問題の解は次のようになる．確率空間（Ω，．7 ，一P）を
9＝ ｛w ＝ （col）Lv2，．．． ，cvN） ： cvi E ｛！，2，．．． ）6｝｝，
1
f＝ p（st）， p（tu） 一 e．
とする．確率変数Ynとフィルトレーション｛鑑｝は上と同じように定義する． Xn＝
E［Y。 1JPIn］＝Ynとして， Zを以下のように定義する．
ZN ：XN ＝ YN
ZN一， ＝ ．E］［ZN I．」［ N一，］ V XN一， ＝ E（ZN） V YN一， ＝ 3．5 V YN一，
ZN一， ＝ E［ZN一，IJZ IN−2］ V XN一， ＝ ．E］（ZN一，） V YN一， ＝ 4．25 V YNI 一，
同様に
ZN−3 ＝ 4．66… VYNm3 ZN−4 ＝ 4．94 … V YN−4
ZN一， ＝ 5．12 ． ． ． V YN−s
以下
ZN−i ＝（5より大きく6より小さい数）＞YN−i となる．よって
Yl＝6 ならばTo＝1
Yl≦5， Y2＝6 ならば：τb＝2
Yi≦5（i＝1，2，＿，N−6）， YN＿5＝6 ならばTo＝N−5 Yi≦5（i＝＝1，2，＿，1V−5）， YN＿4＝5，6 ならばTo＝N−4
などの結果を得ることができる．
5．マルチンゲールの応用
76
5．4 最良選択問題
1，2，．．．，Nの数字を書いたカードが1枚ずつ入った箱から1枚ずつカードを引いて，
そのカードを見ていく．1＞人の人が1枚ずつカードを引くとき，最大の数字1＞ を書いた カードを引く確率が高いのは何番目に引く場合だろうか．
この問題は最大の数Nを最良のものと考え，最良選択問題といわれる．前節の結果を用い て考えてみよう．
確率空間（Ω，∫，P）を次のように定義する．
S） ＝ ｛Le7 ＝ （LVI，W2，…7WN）：（W17CV27・
．． VωN）は（1，2，．
・・ CN）の順列｝，
1
P（ω）「両，・7 一叩）
そして，フィルトレーション名⊂ろ⊂…⊂㊧＝∫を次のように定義する．
一i ＝ ｛O， st｝， 一k ＝ a（Pk） （2 S k S N）
ここで，7）k＝｛ω：ω21＜Wi2＜…〈臓，（i1，i2，＿，ik）は（1，2，＿，k）の順列｝である．
Yn（ω）＝1｛ωn＝N｝と定義するとき，E（YT）＝P（ωT＝N）が最大になる｛鑑｝一停止時間T を求めればよい．
Ai ＝ st
Ak ＝ ｛w ： wk 〉 max（tub… ， Wk−1）｝
AN ＝ ｛co ： wN 〉 max（wi）．．． ， wN−i）｝ ＝＝ ｛tu ： wN ＝＝ N｝
とおき，（Xn：1≦n≦1＞）を次のように定義する．
X． ＝＝ E［YN I JrN］ ＝＝ E［1｛．．．N｝IJ7N］ ＝ IA．
XN一・＝珂YN一・I」eN．・］＝E［1｛。N．、。N｝1∫挿．・］
一P（｛wN．i ＝ AI｝ n AN−i P（AN−i））偏
N−1
＝ ： 7gr： IANhl ／V−！
＝ ノ＞IAN一・＋0 1魯．・
一般に，
N−k
XN−k ＝ E［YN−kl．JP N−k］ ：
17gfm：一L IAN−k ＋ O IAgTmk