n≧IXl
＝E［IX12f（IXI）］
≦E㎜1臣1段1）］ （＊）
となり，
（＊） ＝ 五7（21×12；IXI≦1）十・E（21xi；IXi＞1）
≦ E（2；Ω）十E（21Xl；Ω）
＝ 2十2E（IXI）＜○○．
ゆえに，
量yα1〜Yn）＜・Q．
n＝1
□
［定理3．5の証明］琉を補題3．9の（1）のZnと同じように定義すると，補題3．9の（2）より 吉量⊃Yk → μ，α・s・
k＝1 を示せばよい．
れ れ れ
劣Σy・一二ΣE（Yk）＋去Σ｛Y・ 一E（Yk）｝
kニl kニ1 k＝＝1
である．右辺の第一項は
れ れ
去ΣE（Yk）一両Σ｛k一（k−1）｝E（Yk）
k＝1 k＝1
3．L2において有界なマルチンゲール
46
と書けるので，補題3．9の（1）よりE（臨）→μだから，Ceshr・の補題を使うとN i； S．， E（Yk）一 LL，a・s・
となる．次に，第二項は肱＝Yk 一E（Yk）とおくと，E（職）＝0で，
量yα響）一￡珂｛Yn 一 E（Yn n2）｝2］
n＝1 n＝1
−Sli［1（1！ zgi［iarSyn）．．
n＝1
となる．最後の不等式は補題3．9の（3）による．従って，補題3．8より hS．，｛Yk−E（yk）｝ 一 o，a．s．
よって，
鎗耳一μ，一
ゆえに，
Sn
一 一 pa ， a．s．
を得る．
D
この章では，マルチンゲールと一様可積分性が結び付くときに示す特徴的な性質について 述べる．まず4．1節では，一様可積分の定義をして，どのような条件を満たす確率変数の集合 が一様可積分であるを示す．次に4．2節では，一様可積分マルチンゲールに関する定理につ いて述べる．続いて4．3節では，L6vyの上向き定理と下向き定理，4．4節ではDoobのサブマ ルチンゲール不等式，Kolmogolovの不等式， DoobのLP不等式を示す．最後の4．5節では，
角谷の定理について述べる．
4．1 一様可積分性
最初に，次の補題を示す．
補題4．1（絶対連続性）X∈Ll（Ω，F， P）とする．このとき，与えられたε＞0に対し，
一F∈．プ，一P（F）〈δ ならば E（IXI；F）＜ε を満たすδ＞0が存在する．
［証明］結論を否定すると，あるεo＞0に対し
P（Fn）＜2−n カ》つ E（IXI；Fn）≧εo
となるような∫の要素の列（F・）がとれる・H−lim・upFnとおくと，ΣP（F。）＜・。だか れ
れニユら，Borel−Cantelliの第一定理よりP（H）＝0となる．一方，逆Fatouの補題より E（IXIiH）≧ε。
となる．一P（H）＝0だから，これは矛盾である． □ この補題より次の系が得られる．
系4．2X∈が，ε＞0とする．このとき，
E（IXII IXI 〉 K） 〈 E を満たすK∈［0，00）が存在する．
47
4．一様可積分マルチンゲール
48
［証明］補題4．1よりε＞0に対しδ＞0が存在し，
F∈∫，P（F）＜δ ならば E（IXI；F）＜ε
となる．従って，E（lx1）K−i＜δを満たすようにK＞oをとれば， E（IXI；lx1＞K）〈εが 成り立つ， □
定義（一様可積分）
Cを確率変数の集合とする．このとき，与えられたε＞0に対しK∈［0，。○）が存在し，任
意のX∈Cに対し
E（IX 1；IXI＞K）＜ε
が成り立つとき，Cは一様可積分であるという．
定義より，次のことが分かる．ε＝1に対しK、＞0が存在し，
E（IXII IXI＞ K，） 〈 1， （X E e）．
よって，
E（IXI） ＝ E（iXl； IXI g Ki） 十 E（IXI； IXI 〉 Ki） s ls i 十 1
となる．ゆえに，cはしlにおいて有界である．しかし， L1において有界な確率変数の集合が 一様可積分になるとは限らない．
［例］LebをLebesgue測度として，（Ω，∫， P）＝（［0，1］，B（［0，1］），Leb）とする．そして，
En ＝ （O） n−1）） Xn ＝ nlE．
と定義すると，E（1Xnl）＝1（n＝1，2，＿）となる．しかし，どんなK＞0に対してもn＞K となる自然IX nが存在する．従って， n＞Kとなる任意のnに対し
E（1−Xnll IXnl 〉 K） ＝＝ nP（En） ＝ 1
となる．ゆえに，（Xn）は一様可積分ではない．
次に，一様可積分と同値な条件を示す、
定理4．3（Xn）が一様可積分になるための必要十分条件は，次の二つの条件が成り立つ
ことである．
（1）（Xn）はしlにおいて有界である．
（2）任意のε＞0に対しδ＞0が存在し，
F∈．Ji ， P（F）＜δ ならば となる．
E（IX． 1； F） 〈 e （n ＝＝ 1， 2， ． ．．）
［証明］（必要性）（1）が成り立つことは既に示した．（2）が成り立つことを示す．
ε＞0に対しK＞0が存在し，
ど
E（IX・1；1X・1＞K）＜i（n−1，21…）・
どδ一 ﾎとすれば，P（F）＜δであるF∈J7｝こ対し，
E（1Xn l；F）＝ E（IXn l；F∩｛1Xn 1＞K｝）十E（1Xn 1；F∩｛1Xn l≦K｝）
≦ E（1Xnl；IXnl＞K）十KP（F）
ど ど
＜ 一十K一・＝ε 2、K「
2
となる．
（十分性） （1），（2）が成り立ったとする．一M＝supE（lX冗Dとおく． Oebygevの不等式より，
π
K＞0に対し
1 M
P（lx・1＞κ）＜πE（1−x・1）＜＃
となる・よって，（2）のδ〉・に対白くδとなるようにK＞・をと賦
E（IXnli IXnl＞K）＜ε （n＝1，2，．．．）
となる． ロ
一様可積分性を判定するのに，定理4，3の（1），（2）を確かめる方が簡単な場合がある．例え ば，（X。），（Yn）が一様可積分であるとき，その一次結合（aXn＋bY。）も一様可積分であるが，
このとき，条件（1），（2）を満たすことを調べる方が容易である．
次の二つの定理より，どのような条件を満たす確率変数の集合が一様可積分になるか分
かる，
定理4．4
（a）CをLP（p＞1）において有界な確率変数の集合とする．このとき，Cは一様可積分で
ある．
（b）Yを非負で可積分な確率変数，集合Cを
IX（w）1 s｛ Y（tu）
を満たす確率変数Xの集合とする．このとき，Cは一様可積分である
［証明］
（a）仮定よりA≧0が存在し，任意のX∈Cに対しE（lx防＜Aが成り立つ． v≧K＞0
のとき，v≦Kl−PvPだからE（IXI； lxl 〉 K） g E（k i−p lx lp； lxl 〉 K）
S Ki−PE（IX］Pi9）
〈 Ki−PA
4．一様可積分マルチンゲール
50
である．よって，ε＞0に対しA−IKI−P＜εを満たすようにK＞0をとると，E（IXI；IXI＞一κ）＜・
となる．
（b）K＞0と任意のX∈Cに対し，
E（IXIi IXI 〉 K） S E（YIY 〉 K）
が成り立つ．Yに対し系4．2を適用すると，ε＞0に対しK＊＞0が存在し，
E（Y；Y＞ K＊） 〈e
となる．ゆえに，Cは一様可積分である．
o
定理4．5X∈Llとする．このとき，次の集合は一様可積分である．
C＝｛E［XI9］：9は∫の部分σ集合体｝
［証明］補題4．1より，ε＞0に対し
一F∈∫，P（F）＜δ ならば E（1−Xl；F）＜ε
となるδ＞0が存在する．このδに対し，K一iE（IXI）＜δを満たすようにK＞0をとる。 y をeの任意の要素とすると，9を．7 の部分σ集合体として，Y＝E［XI9］，α．s．と書ける．
そして，条件付き期待値に関するJensenの不等式より IYI ：E｛ ll］［IX］ 19］， a．s． （＊）
だから，
k p（lyi 〉 K） s E（IYD 一〈 E（IXI）
となる．よって，P（IYI＞K）＜δで，｛lyl＞K｝∈9であるので，（＊）から
E（IYIj IYI 〉 K） ：ii｛ TE］ （E［IXI 19］； IYI 〉 K）
＝＝ E（IXI； IYI 〉 K） 〈e
となる．ゆえに，Cは一様可積分である． □
有界収束定理が，概収束より弱い確率収束という仮定のもとで成り立つことを示す．その 前に，次の補題を証明する．
補題4．6 （Xn）を確率変数列， Xを確率変数とする．このとき，
Xn→X，α．s． ならば Xn→Xin pr．
である．
［証明］X。はXに概収束しているので，任意のε＞0に対し，
くンつ
｛ω・1im X・（ω）一X（ω）｝⊂U∩｛ω・IXn（ω）一X（ω）1＜・｝
n→oO
m＝1n＝m となる．この両辺の補集合をとれば，
｛ω・lim X・（ω）一X（ω）｝C⊃∩U｛ω・1Xn（ω）一X（ω）≧・｝⊃∩U｛IXn一一Xl＞・｝・
n→Oo
m＝1nニm m＝1n＝m
よって，逆Fatouの補題により
・≧P（∩U｛IXn−Xl＞・｝）≧lim・upP（1Xn−Xl＞・）≧・・
n→Oo m＝1n＝m
ゆえに，
一P（IXバXl＞ε）→0（n→・。）
となる． □
定理4．7 （X。）を確率変数列，Xを確率変数とする． XnがXに確率収束し，ある K∈［0，0。）が存在し，任意のωとnに対し
IX．（w）1 s｛ K が成り立つなら，
E（IXn 一XI） 一 O （n 一〉 cx））
となる．
［証明］最初に，1）（IXI≦K）＝1であることを示す． k∈Nを一つ固定する．このとき，任
意のηに対し
｛IXI＞K十k−1｝⊂｛IX−Xn1＞k−1｝
より，
一P（IX［＞K十k−i）≦P（【X−Xnl＞k−1）
である．仮定よりXn→X in pr．なので，
P（IXI＞K十k−1）＝0．
よって，
P（IXI＞一κ）一P（U｛iXI＞κ＋k 1｝）一〇 k：＝1
となり，PGXI≦K）＝1を得る．
4，一様可積分マルチンゲール 52 そして，ε＞0が与えられたとき，ある番号noがとれ， n≧noに対し
p（Exn 一XI 〉 llE） 〈 iiit17
が成り立つ．従って，n≧noに対し
E（IX 一 Xn 1） ＝ E（IX 一 Xn 1； IX 一 Xnl 〉 ke） ＋ 一E］ （］X 一 X． 1； IX 一 X．1 sl g6）
S E（2K； IX一 X．1＞ ge） ＋E（ge； st）
＝ 2KP （IX 一 X．1 〉 gs） ＋ gE s｛ 6
となる．ゆえに，定理は証明された．
次に，確率変数がが収束するための必要十分条件を述べる，
z
定理4．8 確率変数列（X。）と確率変数Xはともに，X。， X∈L1とする．このとき，
（Xn）がxにし1収束するための必要十分条件は，次の条件を満たすことである．
（1） X． 一一一〉 X in pr．
（2）（Xn）は一様可積分
［証明］（必要性）Xn→X in Liとする．このとき，与えられたε＞0に対し，次のような番 号Nを選ぶことができる．
ど
n）NならばE（IX・ 一・xi）＜E・
補題4．1より，上と同じεに対し，P（F）＜δならば
E（1x・1；F）＜・（1≦n≦N）， E（【Xl；F）＜；・
を満たすようなδ＞0が存在する．また，（X。）はし1において有界だから，
K 1 ・up E（1X。1）＜δ
となるようにK＞0をとる．このとき，n≧Nであるnに対しP（1Xni＞K）〈δで，
E（IXnl； IXnl 〉 K）≦E（IXI； lx。1＞K）＋酬x。一xD〈ε．
n≦Nのときは，P（IXnl＞K）＜δなので，
E（1−x。1；lx。1＞．κ）＜ε．
ゆえに，（Xn）は一様可積分である．（2）は
εP（IX。 一 Xl＞ε）≦E（［X。 一Xl）＝llX。 一 Xll、
より分かる．
（十分性）（Xn−X）は一様可積分だから，任意のε＞0に対しδ＞0が存在し，
ど
F∈∫，P（F）＜δならばE（IXバXl；F）絃
となる．
X。はXに確率収束しているので，Xn−Xは0に確率収束する．よって，δ＞0に対し，あ る番号Nがとれ
P（lx−Xl＞妾）〈δ（・≧N）
となる．ゆえに，n≧Nのとき
E（1Xn−Xl）一E（1・x・ 一Xl；lx・ 一・x1＞雪）＋E（lx・ 一XI；1x・一Xl≦1）
＜茎＋喜P（ EIXn 一Xl S S）＜・
となり，十分性は示された． □
4．2 一様可積分マルチンゲール
次に，一様可積分マルチンゲールに関する重要な定理を示す．
定理4．9 ．M＝（Mn：n≧0）を一様可積分マルチンゲールとする．このとき，
Moo ＝ lim Mn n−oo
は，ほとんど確実に存在し，び収束である．さらに，任意のnに対し
Mn ＝＝ E［Mco l fn］7 a・S・
と書ける．
［証明］M＝（Mn：n≧0）を確率空間（Ω，∫，｛鑑｝，P）上の一様可積分マルチンゲールとす る．Mはし1において有界だから，定理2．9より，極限M。。＝1im Mnはほとんど確実に存 n−oo
在し，Mnは．M。。に概収束している．そして，定理4．8より l
E（IMn 一 Moo 1） 一 O （n ． oo）
である．一F∈．7 ，r≧nとする．マルチンゲールの性質より，
E（ Mr i F） ＝E（Mnl F） （ ）
となる．また
IE（ Mr； F） 一 E（Moo i F）1 g E（IMr 一 Moo l i F）
S E（IMr 一 Moo 1）
4．一様可積分マルチンゲv一一一・ル
54
だから，
lim E（Mr； F） ＝ E（Moo i F）
r−oo
である．一方，（＊）よりlim E（M。；一F）＝E（Mn；一F）だから，
ア→oO
E（Moo； F） ＝ E（Mn l F）
である．ゆえに，
Mn ＝E［Moo lF］， a・s・
を得る．
D
4．3 L6vyの上向き定理と下向き定理
一様可積分マルチンゲールの性質を用いて，次の二つの定理を示す．
定理4．10（：L6vyの上向き定理）ξ∈L1（Ω，∫，一P）とし，一Mπ＝E［ξ1．1 n］，α．s．と定義する．
このとき，一M＝（Mn）は一様可積分マルチンゲールで
Mn→五7［ξ1フ「c（、］
は概収束かつLl収束である。
［証明］条件付き期待値の性質（i）より，Mはマルチンゲールになる．そして，定理4．5より 一様可積分である．よって，M，。。＝lim Mnはほとんど確実に存在し，概収束かつLl収束で アし ある．よって，一M。。＝E［ξ1．1 ．］，α．3．を示せばよい．
ξ≧0としても一般性を失わない．η＝珂ξ1∫司として
9i（F）＝E（η；∬）， 92（F）＝五1（MOO；F）， F∈foo と定義すると，9i，（？2は（Ω，F．）上の測度になる．
一F∈．JEInならば条件付き期待値の性質（i）より，
E［η1鑑］＝＝E［ξ1ろ］＝Mn だから，
E（η；1ア）＝E（MniF） （＊）
となる．一方，定理4．9よりMn＝珂114。。1∫司，α．s．だから E（Mn；F）＝E（M。。；F） （＊＊）
となる．（＊），（＊＊）より，
E（η；1ア）＝E（Moo；1ア）．
ゆえに，9・，9・はπ一システムUfn上で一致するので，為上で一致する．
れη，一M。。はf。。一可測で，F＝｛η＞M。。｝∈毎だから，（？1（F）＝92（F）．よって，
E（η一・Moo；η＞MOo）＝0．
ゆえに，P（η＞M。。）＝0となる． P（M。。〉η）＝0となることも同様に示される．
さて，｛9一。：n∈N｝を次のようなFの部分σ集合体とする．
9一。。＝∩9．k⊂…⊂9一（。＋・）⊂9一。⊂…⊂9一・
鳶
このとき，次の定理が成り立つことが分かる．
cr
定理4．11（L6vyの下向き定理）or∈Ll（Ω，∫， P）とし， M−n＝E［M 9−n］と定義する．こ のとき，
M−oo ＝ liM M−n n−oo
はほとんど確実に存在し，L1収束である．そして，
M一。。＝珂ッlg一。。］，α．s．
である．
［証明］条件付き期待値の性質（i）より，9＿1⊂9−nであることに注意すると E［M＿n19＿n＿i］＝＝E［E（719＿n）lg＿n＿1］＝E囲g＿n＿1］＝Mn＿1
となり，（M一．：n≧0）は｛9−n｝一マルチンゲールになる．さらに，定理4．5より一様可積分で ある．よって，定理4．9より
M＿。。＝lim．M＿n，α．8．かつin Ll n−oo
である．定理4．10と同様にして
M一。。＝珂ッig．。。Lα．s．
となる． □