Jordan 標準形

ゑに,c₁ =· · ·=c_rν = 0. 以上から r_ν ≤ r_ν−1 もわかる. 従つてr_ν−1−r_ν 個の vectors a_rν+1,

· · ·, arν−1 が存在して, W^(ν−2) の基にNa1, · · ·, Narν, arν+1, · · ·, arν−1 を付け加へたものが W^(ν−1) の基になる. すなはち

(11.2.8) W^(ν−1) =hNa₁,· · · , Na_rν,a_rν+1,· · ·,a_rν−1i ⊕W^(ν−2). 従つて, 上と同様にして

N²a₁, · · · , N²a_ν, N²a_rν+1, · · · , Na_rν−1 ∈W^(ν−2) は 1 次独立であり, かつ,

hN²a₁,· · · , N²a_rν, Na_rν+1,· · · , Na_rµ−1i ∩W^(ν−3) ={0}

であることがわかる. よつて r_ν−1 ≤ r_ν−2. 以下同様にして r_ν ≤ r_ν−1 ≤ · · · ≤ r₁ で, vectors a₁, · · ·, a_r1 を適当に選べば

(11.2.9) W⁽ⁱ⁾ =hN^ν−iari+1+1,· · · , N^ν−iarν,· · · ,ari+1+1,· · ·,arii ⊕W⁽ⁱ⁻¹⁾ となることが証明される. これらのvectors の全体

[

1≤i≤ν

{N^j(a_k)|0≤j ≤ν−i, r_ν + 1≤k ≤r_ν−1} は, 10.1.4 と 11.1.5(2) により,V の基を与へる.

W^(ν)の基

W^(ν−1)の基

W⁽²⁾の基

W⁽¹⁾の基 N^ν−1a₁,· · ·, N^ν−1a_rν N^ν−2arν+1,· · ·, N^ν−2arν−1 · · · Na_r3+1,· · ·, Na_r2 a_r2+1,· · ·,a_r1

N^ν−2a₁,· · ·, N^ν−2a_rν N^ν−3a_rν+1,· · ·, N^ν−3a_rν−1 · · · ar3+1,· · ·,ar2

· · · · · ·

Na1,· · ·, Narν a_rν+1,· · ·,a_rν−1

a1,· · ·,arν

さてr_i+1+ 1≤j ≤r_i に対し ha_j, Na_j, · · · , Nⁱ⁻¹a_ji は明らかに N で安定な部分空間であ る. この基の順序を逆にしたものに関して N を行列で表現してみると

N(Nⁱ⁻¹aj, Nⁱ⁻²aj, · · · , aj) = (Nⁱ⁻¹aj, Nⁱ⁻²aj, · · · , aj)







 0 1 0 0 1

. .. ...

0 1 0









となる. 従つて上の図に並んだ vectors のうち最左列にあるもの（ν 個）を下から上の順に並 べ, その次に, 第 2 列にあるものを下から上の順で並べ, これを最右列まで行なつて得られた

vectorsの組を基とすれば,対応する表現行列Aは所望の形になる. このとき,得られたJordan

行列は, 定理の主張の中の条件n1 ≥ · · · ≥nr を満たしてゐる.

（一意性）いま, N が V のある基に関して別の Jordan 行列を表現行列に持つとせよ.^（記号を

節約して）それを (11.2.6)の右辺の形であるとせよ. ここで n₁ ≥ · · · ≥n_r であるとする. この とき, その基をなすvectorsのそれぞれが N により写る様子を見れば,これまでに現れたν,r_i, m_i 等がすべて, (11.2.6)の右辺,特に n₁,· · ·, n_r のみから定まることがわかる. 例へばν =n₁

補題11.2.10 線形変換 T の相異なる固有値のすべてからなる集合を {λ₁, · · · , λ_r} と する. 各 i について T を Wf(λi, T) の線形変換と見做したものを Ti とする. また Ii を Wf(λ_i, T) の単位変換 (恒等写像)とする. このとき T =T₁⊕ · · · ⊕T_r であつて

T −(λ₁I₁ ⊕ · · · ⊕λ_rI_r) は羃零変換である.

証明 前半は 11.1.5に他ならない. 準固有空間の定義から T_i−λ_iI_i は fW(λ_i, T)の羃零変換で, T −(λ₁I₁ ⊕ · · · ⊕λ_rI_r) = (T₁⊕ · · · ⊕T_r)−(λ₁I₁⊕ · · · ⊕λ_rI_r)

= (T₁−λ₁I₁)⊕ · · · ⊕(T_r−λ_rI_r) となつてゐるから, 結論を得る.

定理11.2.11 V の線形変換T の相異なる固有値のすべてを{λ₁, · · · , λ_r} とする. T は 適当な基に関して次の形の行列により, 直和の順序を無視すれば一意的に, 表現される

A=J(λ1, n11)⊕ · · · ⊕J(λ1, n1m1)

| {z }

固有値がλ₁

⊕ · · · ⊕J(λr, nr1)⊕ · · · ⊕J(λr, nrmr)

| {z }

固有値がλ_r

. またT の最小多項式は N_i = max{n_ij|1≤j ≤r}として, 次式で与へられる :

µ_T(t) = Yr i=1

(t−λ_i)^Ni.

証明 11.2.10 の証明により, V の直和分解 V =

Mr i=1

Wf(λ_i, T)に応じて, T −(λ₁I₁⊕ · · · ⊕λ_rI_r) =

Mr i=1

(T_i−λ_iI_i) (ここに I_i は Wf(λ_i, T) の単位変換) であり, この直和因子のそれぞれが羃零変換であるから, 11.2.5 により, 適当な基に関して T −(λ₁I₁⊕ · · · ⊕λ_rI_r) の表現行列は J(0, n_i1)⊕ · · · ⊕J(0, n_imi) の形で表される. ゆゑに T_i =λ_iI_i+ (T_i−λ_iI_i) の表現行列は, I_k を k 次単位行列として,

λ_iI+ J(0, n_i1)⊕ · · · ⊕J(0, n_imi)

= λ_iI_ni1+J(0, n_i1)

⊕ · · · ⊕ λ_iI_nimi+J(0, n_imi)

=J(λ_i, n_i1)⊕ · · · ⊕J(λ_i, n_imi)

と相似になる. これから所望の主張が従ふ. 一意性は 11.2.5 の一意性からの帰結である. 定義11.2.12 11.2.11 の一意性に鑑み, 線形変換T の表現行列 が Jordan 行列 B に相似 であれば, B を T のJordan 標準形と称する. また正方行列 A について T_A の Jordan 標

準形が B のとき,B を A のJordan 標準形と称する.

最後に 11.2.11を行列の言葉で述べておく.

定理11.2.13 (1) 任意の正方行列AはあるJordan行列 B と相似である. しかも, Jordan 細胞の順序を無視すれば B は一意的に定まる.

(2) µ_A(t) = µ_TA(t) ( 10.2.10を見よ) であり, それは Jordan 標準形を構成する Jordan 細胞 の様子から 11.2.11 の様に与へられる.

定義11.2.14 正方行列 A が対角化可能であるとき A は半単純行列であるといはれる.

補題11.2.15 任意の行列 A は次の様な和に一意的に表される.

(11.2.16) A=S+N, S は半単純行列, N は羃零行列, SN =N S.

このとき, S,N は A の K 係数多項式として表される. 証明 いま A の異る固有値の全体をα1, · · ·, αr とし,

φ_A(t) = Yr

i=1

(t−α_i)ⁿⁱ, f_i(t) =Y

j̸=i

(t−α_j)^nj

とおく. このとき 11.1.5 の証明と同様に

1 = Xr

i

g_i(t)f_i(t) となる g_i(t)∈K[t] が存在する. いま,

S =X

i

α_ig_i(A)f_i(A) (これは A の K 係数多項式である )

とおき, fW(α₁, A), · · ·, fW(α_r, A) のそれぞれの基 (列 vectors) を取り, それらを順に並べてで きる正方行列を P とすれば Aj ∈Mat(nj,K) が存在して

AP =P



 A₁

. ..

A_s



 と書け, また(11.1.12) から SP =P



 α₁I_n1

. ..

α_sI_ns





となることがわかる. つまり B =P⁻¹SP が対角行列となる. よつてS は半単純である. また N =A−S とおけば

P⁻¹N P =P⁻¹AP −B =





 N₁

N2

. ..

Ns





, N_j =A_j−α_jI_nj.

各 N_i が羃零であるから,N も羃零である. 次に一意性を証明する. A=S+N =S^′+N^′ と 2 通りに分解されたとせよ. 仮定により S^′N^′ =N^′S^′ であるから, S^′ と N^′ は A と可換であり, さらに A の多項式であるS や N とも可換である. 10.3.6 より S と S^′ は同時に対角化される から S−S^′ は半単純であり, 10.5.7 によりN−N^′ は羃零行列である. いま S−S^′ =N^′−N で あるから10.5.12により S−S^′ =N^′−N =O,即ち S^′ =S, N^′ =N でなければならない. 演 習 問 題 11.2

11.2.17 上の 11.2.15 において, A の Jordan 標準形を J とし, J =P⁻¹AP なる正則行列 P を取り, さらにJ の対角成分の1 つ上の 1を（存在すれば）すべて 0 に置き換へてできる対 角行列を B とするとき,

S =P BP⁻¹, N =P(J−B)P⁻¹

ドキュメント内 線 形 代 数 学 (ページ 164-168)