第 9 章 2 次曲線と 2 次曲面 136
12.6 正定値 Hermite 行列
S の存在の一意性を示す. いま, S′ も Hermite 変換で T =S′2 を満すとせよ. S′ の異なる固 有値のすべてを µ1,· · ·, µs とし, 各 1≤i≤s について I′i を W(µi, S′) の恒等変換とすれば, S′ は
S′ =µ1I′1⊕ · · · ⊕µsI′s
と spectrum 分解される. このとき, S′2 = T であることから s = r で, 番号を付け替へれば
µ12 =λ1,· · ·, µr2 =λr となることがわかる. このことから容易に S′ =S がわかる. (十分性)これは明らかである.
問12.6.6 (12.6.5)を証明せよ.
12.6.4 を行列の言葉で述べておく.
命題12.6.7 正方行列Aが (半)正定値 Hermite行列であるためには, Aが Hermite行列
で A=B2 となる (半) 正定値Hermite 行列B が存在することが必要十分である.
定義12.6.8 (半) 正定値 Hermite 変換 T に対して T = S2 となる唯一の (半) 正定値 Hermite 変換S を √
T で表す. 同様に, (半)正定値Hermite 行列 Aに対して A=B2 と なる唯一の (半) 正定値 Hermite行列 B を √
A で表す.
補題12.6.9 ℓ ∈N, 対角化可能な線形変換 H と H の固有値 α に関して次が成り立つ : W(α, H) = W(αℓ, Hℓ).
証明 基を定めておき,H の表現行列をAとすれば正則行列P と H の固有値を対角成分に持 つ行列 B が存在して, A =P BP−1 と書ける. このとき A2 = (P BP−1)(P BP−1) = P B2P−1 となるから, P の任意の列 vector は A のある固有値 α に関する固有 vector であり, 同時に A2 の固有値 α2 に関する固有 vector でもある. 具体的に書けば次の様になる. A の固有値の すべてを,重複も込めて α1,· · ·, αn と書き,B =
" α1 . ..
αn
#
とおいて,P = [p1 · · ·, pn] によつて B =P−1AP となつてゐるものとする. このとき A2 の固有値の全体は, 重複も込め て α12, · · ·, αn2 であり, P−1A2P =B2 となつてゐる. つまり Api = αipi, A2pi = αi2pi で ある. それゆゑ W(αi, A)⊂W(αi2, A2) であるが, 7.7.8 と合はせると
n= Xr
i=1
dimCW(αi, A)≤ Xr
i=1
dimCW(αi2, A2) =n.
よつて W(αi, A) =W(αi2, A2). ℓ >2 の場合も同様に示される.
定理12.6.10 (1) Hermite空間V について,V を単なるvector空間として見たときの任意 の同型変換 T は, Hermite 空間としての V のある正定値Hermite 変換 H とあるunitary 変換 U の積としてT =HU の形に一意的に書かれる. このときHU =U H であるために は T が正規変換であることが必要十分である.
(2) 任意の正則行列 A は, ある正定値Hermite 行列 B とあるunitary 行列 C の積として A=BC の形に一意的に書かれる. このとき BC =CB であるためには A が正規行列で あることが必要十分である.
証明 (1) 仮定より 0 は T の固有値ではない. また T∗ も正則である. よつて u 6=0 のとき, T∗(u)6=0 であり,
T T∗(u),u
= (T∗(u), T∗(u))>0 (u 6=0)
であるから, T T∗ は正定値である. 線形変換 T T∗ は Hermite 変換なので, 結局T T∗ は正定値
Hermite 変換である. ゆゑに, 12.6.4により唯一存在する正定値 Hermite 変換 √
T T∗ を H と おく. H はもちろん正則変換である. さらにU =H−1T とおくと
U U∗ = (H−1T)(H−1T)∗ =H−1T T∗H−1 =H−1H2H−1 =I
であり, U が Unitary 変換であることがわかつた. これで, 所望の表示 T = HU が得られた.
次に, この形の表示の一意性を示さう. いま 2 通りに T = H1U1 = H2U2 と表されたとせよ. このとき
H2 =H1U1U2−1, H2 =H2∗ = (U2−1)∗U1∗U1∗ =U2U1−1H1 であるから,
H22 = (H1U1U2−1)(U2U1−1H1) = H12
となる. H1 も H2 も正定値Hermite 変換であることから,再び 12.6.4を使つて
H1 =p
H12 =p
H22 =H2. これより U1 =U2 が従ふ.
次に T を正規変換とする. T∗T = T T∗ から (HU)∗HU = HU(HU)∗ であるが, これは H2U =U H2 を意味する. しかるに, 12.6.9 と 10.3.3により, これはHU =U H と同値である. 逆に,HU =U H ならば T が正規変換になることは, この議論を逆に辿ればよい.
(2) 同型変換の表現行列は正則行列, Hermite 変換の表現行列は Hermite行列, unitary変換の 表現行列は unitary行列であつて, 変換の合成の表現行列は表現行列の積であるから, (1) より (2) が従ふ.
注意12.6.11 1次元空間の場合, H は正の実数倍であり,それは複素数平面の原点を中心にし
た拡大写像であり, U は絶対値 1 の複素数を掛けること, つまり原点中心の回転を表す. 任意 の正則変換はこれらの合成であるから, 12.6.10 は, この事実の一般化である. 行列の言葉で言 へば,任意の複素数 z が z =reiθ と表示されることの類似である.
演 習 問 題 12.6
12.6.12 12.6.10 の主張のT =HU を T =U H に変へた場合に, 主張は成立するか.
( Hint : 12.4.6, 12.4.16,およびt(HU) =tUtH. )
12.6.13 次の問に答へよ.
(1) U2 =−I となる2 次 unitary 行列 U を 2 つ挙げよ. それらの固有値を求めよ.
(2) U2 =−I となる3 次 unitary 行列 U を 3 つ挙げよ. それらの固有値を求めよ.
(3) 正則な歪 Hermite 行列 S に対し, SU が正定値 Hermite 行列になりSU = U S かつ
U2 =−I となるuniraty 行列U が一意的に存在することを示せ.
あ
跡(trace) 118
1元体 80
1次関係 84
1次結合 84
1次結合 56
1次従属 84
1次独立 84
位置vector 133
一様双曲面 138
一般線形群 102
ideal 142
上三角化 129
上三角行列 14
Hermite行列 170
Hermite空間 164
Hermite内積 164
Hermite変換 170
演算 1
大きさ 51
か
解空間 93
階数 64
階数(行列の) (rank) 88
階数(線形写像の) 97
外積 53
可換 13
可逆的 58
核(Ker) 96
拡大係数行列 55
拡大係数体 71
加法 1
簡約化 64, 71
簡約行列 62, 71
基(基底) 91
奇置換 23
基本行列 75
基本vector 91
基本変形 59
逆行列 44
逆元 80
逆写像 101
逆置換 22
逆vector 81
行vector 8
共役複素数 2
極形式 3
虚軸 3
虚数単位 1
虚部 2
距離 50
空間の向き 53
偶置換 23
Gram-Schmidtの直交化 125, 166
Kronekerのδ 9
群 22
係数行列 54
係数行列(2次形式の) 134
係数行列(2次式の) 135, 137
Cayley-Hamiltonの定理 119
22
固有空間 W(λ, T) 109
固有空間(行列の) W(λ, A) 109 固有多項式(線形変換の) 111 固有多項式(行列の) φA(t) 109
固有値(行列の) 109
固有値(線形変換の) 109
固有vector (行列の) 109
固有vector (線形変換の) 109
さ
差 11
最小多項式(行列の)µA(t) 142 最小多項式(線形変換の) µT(t) 143
最大1次独立数 86
細胞 17
座標 133
三角不等式 122
次元 dimK 91
4元数体 124
次元定理 97
自己準同型 150
実行列 6
実軸 3
実正方行列 6
実対称行列 128
実部 2
始点 133
自明な1次関係 84
自明な解 69
射影行列 148
射影子 148
終点 133
主成分 62
巡回置換 22
準固有空間 151
順列（置換の） 32
乗法 1
Jordan行列 155
Jordan細胞 155
Jordan標準形 157
垂直 122
随伴行列 A∗ 169 随伴変換 T∗ 169
数vector 8
数vector空間 81
scalar行列 7
scalar倍 81
scalar倍(線形写像の) 99
spectrum分解 175
正規化 40
正規行列 173
正規直交基 125
正規直交基(Hermite空間の) 166
正規変換 173
生成される 91
正則 44
正定値Hermite行列 170, 176
正定値Hermite変換 176
成分 6, 51
正方行列 6, 7
積(置換の) 21
た
体 80
対角化 113
対角化可能 113
対角行列 7
対角成分 7
対称行列 10
対称群 22
代数学の基本定理 5
代数的曲線 133
代数的曲面 133
代数的超曲面 133
楕円面 138
互ひに素(置換が) 23
多重線形性 40
単位行列 7
単位元 80
単項ideal整域 142
置換 22
重複度(行列での) 151
重複度(線形変換での) 151
長方形分割 17
直和(部分空間の) 139
直和(行列の) 147
直和(線形変換の) 147
直和因子 139
直和分解 139
直交(Hermite空間での) 165
直交行列 126
直交羃等行列系 150
直交変換 125
直交補空間 123
直交補空間(Hetmite空間) 165
Toeplitzの定理 175
点 133
転倒数（順列の） 32
転倒数（置換の） 32
同型写像 101
同型変換 101
同次形 69
同時対角化 146, 175
同値関係 118
な
内積 121
内積(E3 における) 51
内積空間 121
長さ 51, 122
長さ(Hermite空間での) 165
なす角 51
2次曲線 135
2次形式 134
二葉双曲面 138
norm 122
norm (Hermite空間での) 165
は
掃き出し法 58
半正定値Hermite行列 176
半正定値Hermite変換 176
半単純行列 158
反転置簡約行列 94