Problem 5.2 How about S and L equivalence classes?
⇒ Is there a pair of homeomorphic 4-manifolds, on one of which there exists a map which belongs to a given class and on the other not.
References
[1] M.Golubitsky V.Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities, Graduate Texts in Mathematics(14), Springer-Verlag(1974).
[2] O.Saeki,Topology of Singular Fibers of Differentiable Maps, Lecture Notes in Math-ematics(1854), Springer(2004).
[3] N.Kitazawa, Notes on the constructions of manifolds and maps by operations, in preparation.
[4] N.Kitazawa, Surgeries on maps, in preparation.
[5] H.I.Levine, Elimination of cusps, Topology 3, suppl. 2 (1965), 263-296.
[6] Y.Ando, On the elimination of Morin singularities, J. Math. soc. Japan 37(1985), 471-487.
[7] O.Saeki,Simple stable maps of 3-manifolds into surfaces, Topology 35 (1996), 671-698
[8] O.Saeki,Topology of special generic maps of manifolds into Euclidean spaces, Topol-ogy Appl.49(1993), 265-293.
[9] O.Saeki,Fold maps on 4-manifolds, Comment. Math. Helv. 78 (2003), 627-647.
[10] K.Sakuma, On the Topology of Simple Fold Maps, Tokyo J. Math. Vol.17, No.1(1994) 21-31.
[11] S.Izumiya T.Sano O.Saeki K.Sakuma,Geometry and singular points, Mathematics of singular points(1), Kyoritsu Publish, Kyoritsu(2001.5), for
primitive stable の判定アルゴリズムとその応用
谷口 里奈
奈良女子大学大学院 人間文化研究科 情報科学専攻
概 要
メビウス変換群に対して、Minskyはprimitive stableと呼ばれる条件を定義している。またMinsky は、Moriahと共にprimitive stableと結び目の関係性について研究を行っている。primitive stable の性質を調べるにあたって、与えられた変換群がprimitive stableかどうかを判定するアルゴリズム は非常に重要となってくるが、それはまだ知られていない。そこで今回、primitive stableの判定アル ゴリズムを2元生成の場合において提案するとともに、それを使用してprimitive stableの性質につ いて計算機実験を行った結果を報告する。
1 研究背景
1.1 メビウス変換
与えられた4つの複素数a, b, c, dがad−bc= 1を満たす時、複素数zから以下の式への変換をメ ビウス変換といい、
T(z) =az+b cz+d
と表される。このメビウス変換を2×2行列に対応させ、T全体からなる集合を SL(2,C) =
„ a b c d
« ˛˛˛˛ a, b, c, d∈C ad−bc= 1
ff
と定義する。
1.2 2元生成メビウス変換群
a, b∈SL(2,C)で生成される群を2元生成メビウス変換群という。
F2=< a, b >からSL(2,C)への準同型写像全体の集合をMと表す。MにはSL(2,C)が共役に より作用する。
ここで共役による作用とは、c∈SL(2,C)において、ρ(a)∈SL(2,C)をcρ(a)c−1とすることである。
この作用による商空間Xをcharacter varietyと呼び、以下のように表す。
X = M//SL(2,C)
= (tr(a), tr(b), tr(ab))
= {(x, y, z)|x, y, z∈C}
1.3 Farey triangulationとMarkov写像
Farey triangulationとは、単位円板を無限個の三角形で分割する方法の1つである。
(x, y, z) ∈ X が与えられた時、":V → C(V:Farey triangulationの頂点全体の集合) を以下で定義 する。
"(v1) =x,"(v2) =y,"(v3) =z その他の頂点については次の規則で定義する。
"(w4) ="(w1)"(w2)−"(w3)
図1: 左図:Markov写像、右図:Farey triangulation
"を(x, y, z)から定まるMarkov写像と呼ぶ。
1.4 BowditchのQ条件(BQ条件)
BQ条件はFarey triangulationとMarkov写像を用いて考えることができる。
定義(Bowditch [6])
(x, y, z)∈ X に対し、"が以下の2つを満たす時、BQ条件を満たすという。
• 任意の頂点v∈V に対して"(v)∈/[−2,2]
• |"(v)| ≤2となる頂点v∈V は有限個
1.5 Schottky群
n元生成メビウス変換群{g1,· · ·, gn}と2n個の互いに交わらないclosed diskD1, D!1,· · ·, Dn, D!n が存在して、giがDiをD!iの外に移す時、n元生成メビウス変換群{g1,· · ·, gn}はSchottky群であ ると定義される。
1.6 primitive stable
メビウス変換群に対して、Minskyはprimitive stableと呼ばれる条件を定義している。これから primitive stableの定義について述べる。
F=Fn:{x1, x2,· · ·, xn}で生成される自由群 Γ:F=< x1,· · ·, xn>のCayley graph(Word tree)
B:{x1,· · ·, xn, x−11 ,· · ·, x−1n }からなる両側無限既約文字列全体
˜
ω:primitive wordω∈Fを繰り返した両側無限文字列
ここでω∈Fがprimitive wordとは、f ∈Aut(F)とxi∈ {x1,· · ·, xn, x−11 ,· · ·, x−1n }が存在して 以下を満たす時である。
f(xi) =ω
primitive stableを定義するにあたって、以下のことに注意する。
m∈SL(2,C)はメビウス変換のポアンカレ拡張によりH3に作用する。
メビウス変換のポアンカレ拡張の説明は以下のとおりである。
メビウス変換のポアンカレ拡張 L=
„ 1 0 0 1
« ,I=
„ i 0 0 −i
« ,J=
„ 0 1
−1 0
« ,K=
„ 0 i i 0
«
T(z) = az+bcz+dのポアンカレ拡張はT(ξ) = (Aξ+B)(Cξ+D)−1である。
(1). 基点x= (x, y, t)∈H3、ρ(ω) =
„ a b c d
«
を代入する。
(2). 基点xを2×2行列型に変換する。
(x, y, t)∈H3→xL+yI+tJ=ξ (3). ρ(ω) =
„ a b c d
«
の各要素a, b, c, d∈Cをそれぞれ2×2行列型に変換する。
a = ar+aii A = arL+aiI=
„ ar+aii 0 0 ar−aii
«
(b, c, dも同様に計算する。)
(4). T(ξ)を計算し、xL+yI+tJを使って2×2行列型から(x, y, t)型に変換する。
つまり、ω→ρ(ω)(x)(∈H3)により、τρ,x:Γ→H3が定まる。
(H3内の点をx、ρ∈Mとする。また、Fの要素ωはΓの点に対応する。) P={ω˜|ωはprimitive word}(⊂ B)はΓ内の両側無限道を定める。
以上を踏まえて、primitive stableを定義する。
定義(primitive stable)(Minsky [1]) ρ:Fn→SL(2,C)がprimitive stableとは、
定数K,δ、H3内の点xが存在して、
τρ,xがPの全ての道(∈Γ)を(K,δ)-quasi-geodesicに移す時である。
(K,δ)-quasi-geodesic
h:R→H3が(K,δ)-quasi-geodesicとは、
任意のm, n∈Rに対して以下が成り立つ時である。
1
Kd(m, n)−δ≤d(h(m), h(n))≤Kd(m, n) +δ
つまり、2点h(m), h(n)間の双曲距離は2点m, n間の距離d(m, n)の数倍程度に収まる。
よって、1からi番目までの文字列をω(i)˜ とすると、双曲距離d(τρ,x(˜ω(m)), τρ,x(˜ω(n)))は|m−n| の数倍程度に収まるとき、ρはprimitive stableである。
primitive stableの例として、参考文献[3]において、MinskyとMoriahは以下のようなメビウス 変換の列{ρn}を構成した。
MinskyとMoriahが構成したメビウス変換の列{ρn} ρn:Fn→SL(2,C)
ρn∈ D ∩ PS
n→ ∞の時、ρnは結び目の双曲構造に収束する。
このことから、primitive stableと結び目の関連性が期待される。
2 primitive stable について
primitive stableの未解決問題
参考文献[1]において、Yair N.Minskyは以下の未解決問題を挙げている。
Question(1)
(x, y, z)∈ Xがprimitive stableかどうかを判定するアルゴリズムはあるか？
D ⊂ X:離散群に対応するXの集合 Question(2)
Xの3つの部分集合BQ,PS,Dの関係性は？
2.1 研究目的
先程述べたprimitive stableの未解決問題を踏まえて、研究目的を述べる。
研究目的!1
primitive stableの判定アルゴリズムを2元生成の場合において提案する。
S ⊂ X:Schottky群に対応するXの集合(⊂ D)
Minskyはあるρ∈ PSについて、ρ /∈ Sを示すことによって(X − D)∩ PS )=φを示したが、具体 的なパラメータは示していない。
研究目的!2
離散的でないprimitive stableρを発見することによって、(X − D)∩ PSの具体的なパラメー タを求め、primitive stableと離散群の関係性を調べる。
P S⊂BQが成り立つことは判明しているが、P S=BQが成り立つかどうかはまだわからない。
研究目的!3
primitive stableとBQ条件の関係性を調べる。
2.2 primitive stableの判定アルゴリズム
補題(Minsky [1])
1. ρがSchottky→ρはprimitive stable 2. primitive stableはopen condition
3. ρがprimitive stable→Fの全てのproper free factorAにおいて、ρ|AはSchottky
今回はこの補題の*2 の証明で述べられているMinskyが示したquasi-geodesicの条件を使用して、
primitive stableの判定アルゴリズムを考える。
Minskyが示したquasi-geodesicの条件について、以下で述べる。
H3内の点をx、ρ∈Mとする。
τ=τρ,x: Γ→H3 ω=primitive word
˜
ω:ωを繰り返した両側無限文字列
L∈Γ:˜ωに対応した道(primitive leaf)={· · ·, v−2, v−1, v0, v1, v2,· · · } pi=τ(vi)(∈H3)
τ|Lがquasi-geodesicであるための必要十分条件(Minsky)
c >0とk∈Nが存在して、以下を満たす時である。
Pi:[pi, pi+k]の垂直2等分面とする。
全てのjに対して、
• PjkはP(j+1)kをP(j−1)kから引き離す
• d(Pjk, P(j+1)k)> c
また、primitive word作成に、参考文献[2]でJane GilmanとLinda Keenが示した2元生成におい てprimitive wordを数え上げる方法を使用した。
primitive wordの作成方法(Jane Gilman,Linda Keen [2]) F2=< A, B >
Enumeration Scheme for positive rationals E0
1 =A−1, E1
0 =B, E1
1 =A−1B
p
q= m+rn+s(mn < pq <rs)
1. もしp×q=奇数 ⇒ Ep
q =ErsEmn 2. もしp×q=偶数 ⇒ Epq =EmnErs Enumeration Scheme for negative rationals
E0
1 =A, E1
0 =B, E−1
1 =BA
p
q= m+rn+s(rs <pq< mn)
1. もしp×q=奇数 ⇒ Epq =ErsEmn 2. もしp×q=偶数 ⇒ Ep
q =EmnErs
この方法を用いて作成したprimitive wordの性質によって以下のことがいえる。
長さ3k以下の全てのprimitive wordにおいて、τ|Lがquasi-geodesicである条件が成立する と、全てのprimitive wordにおいて、τ|Lがquasi-geodesicである条件が成立する。
以上のことが成立すると、primitive stableの定義よりρ∈Mはprimitive stableであるといえる。
よって、有限個のprimitive wordでquasi-geodesicの判定をすることによって、primitive stable の判定アルゴリズムを考えることが可能となる。
アルゴリズム概要
step(1) まず、(x, y, z)∈ Xを代入し、(x, y, z)を2×2行列a, b(∈SL(2,C))型に変換する。なお、
2×2行列a, b(∈SL(2,C))型に変換するにあたって、参考文献[4]に記載されている以下の方
法を使用した。
(1)、まず、(ta, tb, tab)∈ Xを代入する。
(2)、(ta, tb, tab)から、tC=t2a+t2b+t2ab−tatbtab−2を計算する。
(3)、Q=√
2−tCを計算する。
(4)、R=±√
tC+ 2と定義する。
(5)、z0= t(tab−2)(tb+R)
btab−2ta+iQtab を計算する。
(6)、以下の計算から、2元生成群を2×2行列型に変換する。
a=
ta 2
tatab−2tb+2iQ (2tab+4)z0 (tatab−2tb−2iQ)z0
2tab−4 ta
2
! , b=
tb−iQ 2
tbtab−2ta−iQtab (2tab+4)z0 (tbtab−2ta+iQtab)z0
(2tab−4)
tb+iQ 2
!
step(2) 次にkの値を設定し、3k以下の長さのprimitive wordをリストアップ(=ω)し、そのリス トアップしたwordを繰り返して長さ3kの文字列にする。(= ˜ω)
step(3) 基点p1= (0,0,1)(∈H3)とする。文字列ω˜をa, b(∈SL(2,C))によって、行列型ρ0, ρ1, ρ2
に変換する。
step(4) 基点p1と先程求めた行列型ρ0, ρ1, ρ2から、メビウス変換のポアンカレ拡張よりH3内の点 p0, p2, p3を求め、垂直2等分面P0, P1, P2を計算する。
• P0:[p0, p1]の垂直2等分面
• P1:[p1, p2]の垂直2等分面
• P2:[p2, p3]の垂直2等分面
step(5) 求めたP0, P1, P2からquasi-geodesicの判定を行う。
もしP1がP0をP2から引き離していたら、quasi-geodesicである。
step(6) 長さ3k以下のprimitive wordにおけるquasi-geodesicの判定結果より、(x, y, z)∈ X は primitive stableであるかを判定する。
• もし長さ3k以下の全てのprimitive wordにおいてquasi-geodesicの条件を満たしていた ら、(x, y, z)はprimitive stableと判定。
• 逆に、長さ3k以下の全てのprimitive wordにおいて1つでもquasi-geodesicの条件を満 たさなかったら、step(2)のkの値を変更して3k以下の長さのprimitive wordをリスト アップするところから始める。この動作をprimitive stableと判定されるまで繰り返す。
なお、今回の実験では、あらかじめkの限界値を定めておき、kの限界値の時点でprimitive stableと判定されなかった場合、(x, y, z)はprimitive stableでないとみなす。
3 primitive stable の判定アルゴリズムの実装
primitive stableの判定アルゴリズムの実装をすることによって、研究目的*2、*3 について調べる。
3.1 primitive stableと離散群
離散的でないprimitive stableρを発見することによって、(X − D)∩ PSの具体的なパラメータ を求める。
方法：
離散的でないパラメータを求めて、primitive stableの判定アルゴリズムを使用してprimitive stable を探していく。
離散的でないパラメータ
まず離散的でないパラメータを求めるにあたって、参考文献[7]の以下の命題を使用する。
命題(Jørgensen [7]) a, b∈SL(2,C) tr(a) =tr(b)
< a, b >が離散的ならば、以下の式を満たす。
|tr(aba−1b−1)−2|> 1 8 ここで、tr(aba−1b−1) =x2+y2+z2−xyz−2である。
よって、以下の条件を満たすと< a, b >は離散的でないといえる。
• |(x2+y2+z2−xyz−2)−2| ≤18
• x=y
この条件を満たすパラメータを使用して、実験を行う。
3.2 研究結果!1
k= 30まで計算した時、離散群でないパラメータ(x, y, z) = (x, x, z|x2+y2+z2−xyz−4 =161), (x, x, z|x2+y2+z2−xyz−4 =201)において、primitive stableの存在が確認された。
赤:P S満たす
(x軸:複素数xの実部、y軸:複素数xの虚部)
図2: (x, y, z) = (x, x, z|x2+y2+z2−xyz−4 = 161) 図3: (x, y, z) = (x, x, z|x2+y2+z2−xyz−4 = 201)
3.3 primitive stableとBQ条件
primitive stableとBQ条件の関係性を調べる。
方法：
既存のBQ条件を判別するアルゴリズムを使用して、primitive stableとBQ条件の描画結果を比較 することによって、関係性を調べていく。
3.4 研究結果!2
3.4.1 パラメータ(x, y, z) = (x, x, x)
緑:P SとBQ両方満たす、赤:BQのみ満たす、白:BQを満たさない (x軸:複素数xの実部、y軸:複素数xの虚部)
図4: k= 10まで計算した場合 図5: k= 30まで計算した場合
図6: k= 50まで計算した場合 図7: k= 80まで計算した場合
図8: k= 100まで計算した場合 図9: k= 130まで計算した場合
以上の結果から、kの値を増やすごとに緑色のprimitive stableを満たす部分がBQ条件を満たす部 分と満たさない部分の境界線に近付いていくことが観察された。
3.4.2 パラメータ(x, y, z) = (x,x−1x ,x−1x )
(x, y, z) = (x,x−1x ,x−1x )はx= 3±√2−3とした時、8の字結び目の双曲構造を表す 緑:P SとBQ両方満たす、赤:BQのみ満たす、白:BQを満たさない
(x軸:複素数xの実部、y軸:複素数xの虚部)
図10: k= 10まで計算した場合 図11: k= 20まで計算した場合
図12: k= 30まで計算した場合 図13: k= 50まで計算した場合
図14: k= 80まで計算した場合 以上の結果から、このパラメータもkの値を増やす ごとに、緑色のprimitive stableを満たす部分がBQ 条件を満たす部分と満たさない部分の境界線に近付 いていくことが観察された。
また、このパラメータはx= 3±√2−3の時、primitive
stableであることが観察された。よって、8の字結
び目の双曲構造はprimitive stableであることがわ かった。
4 まとめと今後の課題
4.1 まとめ