ルの 2 次のコホモロジー群が消えるとき、 4 次のコホモロジー群
を張る生成元を全てを提示する。証明の詳細は [A] を参照してほ
しい。
2 深謝
本研究は京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻数理解 析系博士課程在籍中の野坂武史氏に関心を寄せて頂き、結果に至 るまで多くの有用な助言を頂いた。ここに深謝の意を表する。同 専攻・系教授大槻知忠先生には指導教官として結果から研究集会 発表・本報告書まで終始、ご指導を頂いた。ここに深謝の意を表 する。また、日本大学文理学部数学科教授茂手木公彦先生・同学 科准教授市原一裕先生には研究集会「結び目の数学 III 」の発表の 機会を頂いた。ここに感謝の意を表する。
3 復習：カンドルとカンドルコホモロジー
カンドルとは、空でない集合 X と以下の関係式を満たす演算
∗ : X × X → X との組のことである。
(i) 任意の元 a ∈ X に対して、 a ∗ a = a.
(ii) 任意の元 a, b ∈ X に対して、 a = c ∗ b を満たす元 c ∈ X が 一意に存在する。
(iii) 任意の元 a, b, c ∈ X に対して、 (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ c) ∗ (b ∗ c).
F
qを標数 p > 0 かつ q = p
hの有限体とし、 1 でも零元でもない ω ∈ F
qを固定する。 ω の位数は、 p と互いに素であることに注意 する。 x, y ∈ F
qに対して x ∗ y = ωx + (1 − ω)y によって ( F
q, ∗ ) は カンドルとなり、アレクサンダーカンドル という。
カンドル (X, ∗ ), 可換群 A に対して C
nR(X ; A) := A ' X
n( .
n ≥ 2 に対して ∂
n: C
nR(X ; A) −→ C
nR−1(X ; A) を以下で定義する。
∂
n(x
1, . . . , x
n) :=
!
ni=2
( − 1)
i"
(x
1, . . . , x
i−1, x
i+1, . . . , x
n)
− (x
1∗ x
i, . . . , x
i−1∗ x
i, x
i+1, . . . , x
n) # .
∂
n−1◦ ∂
n= 0 は確かめられる。
C
nH(X ; A) := A ' (x
1, . . . , x
n) ∈ X
n| x
i= x
i+1for some i ( .
とすると ,C
nH(X ; A) は C
nR(X ; A) の部分複体となる。すると商複 体 C
nQ(X ; A) = C
nR(X ; A)/C
nH(X ; A) が定義できる。この鎖複体 (C
nQ(X ; A), ∂) に対するホモロジー H
nQ(X ; A) を A 係数カンドル ホモロジーという。 (C
nQ(X ; A), ∂) の余鎖複体によるコホモロジー H
Qn(X ; A) を A 係数カンドルコホモロジーという（ [CJKLS]) 。
一方で、 X が F
q上のアレクサンダーカンドルのとき [M2] で考 察された C
nR(X ; A) の座標変換をする。これにより計算が容易に なる。即ち、
C
nRU(X ; A) := A ' X
n( とし ∂
n+: C
nRU(X ; A) −→ C
nR−U1(X ; A) を
∂
n+(U
1, . . . , U
n) :=
n−1
!
i=1
( − 1)
i"
(ωU
1, . . . , ω U
i−1, ω U
i+U
i+1, U
i+2, . . . , U
n)
− (U
1, . . . , U
i−1, U
i+ U
i+1, U
i+2, . . . , U
n) # とする。すると
X
n, (x
1, . . . , x
n) -−→ (x
1− x
2, x
2− x
3, . . . , x
n−1− x
n, x
n) ∈ X
n. (1) が全単射 C
nR(X ; A) −→ C
nRU(X ; A) を誘導するが、これは鎖同型 となることは確認できる。つまり、 (C
nR(X ; A), ∂
n) ∼ = (C
nRU(X ; A), ∂
n+) となる。また、 H
nQ(X ; A) の元は | X | 倍で消えることが [N2] で示 されている。 X = F
qのとき、 A = F
qを扱うことが残っている。
本原稿の目的は、 H
Q4(X ; F
q) の計算結果を提示することである。
座標変換 (1) をつうじて余鎖複体 (C
Qn(X ; F
q), δ
n) を次の多項式 の集合と同一視する。
C
Qn:= { !
a
i1,...,inU
1i1· · · U
nin∈ F
q[U
1, . . . , U
n] |
1 ≤ i
j≤ q − 1, 0 ≤ i
n≤ q − 1 } . ここで δ
n:= Hom(∂
n+, id
Fq) としている。
4 結果：４次カンドルコホモロジー
まず、主定理 (Theorem4.1) を述べるために F
q上の以下の多項 式を定義する。
F (a, b, c, d) := U
1a· U
2b· U
3c· U
4d,
χ(U
i, U
i+1) :=
p−1
!
j=1
( − 1)
j−1j
−1U
ip−jU
i+1j≡ 1 p
"
(U
i+ U
i+1)
p− U
ip− U
i+1p#
(mod p),
E
0(a · p, b, c) := "
χ(ω · U
1, U
2)
a− χ(U
1, U
2)
a#
· U
3b· U
4c, E
1(a, b · p, c) := U
1a· "
χ(U
2, U
3)
b− ω
aχ(ω · U
2, U
3)
b#
· U
4c, E
2(a, b, c · p) := U
1a· U
2b· "
ω
a+bχ(ω · U
3, U
4)
c− χ(U
3, U
4)
c# . Theorem 4.1. F
qを標数 p > 0 かつ q = p
hの有限体とし、 1 でも 零元でもない ω ∈ F
qを固定する。 X = F
qをアレクサンダーカン ドルとする。また q
iを p の冪に限り q
i< q とする。（ q
i= 1 も含 む。）
(i) (a) ω
q1+q2+q3+q4= 1, ω
q1+q20 = 1, q
1< q
2< q
3< q
4ならば、
F (q
1, q
2, q
3, q
4) は４次コサイクルである。
(b) ω
p·q1+q2+q3= 1, q
1< q
2< q
3ならば、
E
0(p · q
1, q
2, q
3) は４次コサイクルである。
(c) ω
q1+p·q2+q3= 1, q
1≤ q
2< q
3ならば、
E
1(q
1, p · q
2, q
3) は４次コサイクルである。
(d) ω
q1+q2+p·q3= 1, q
1< q
2≤ q
3ならば、
E
2(q
1, q
2, p · q
3) ∈ I
q,ω4,+は４次コサイクルである。
(e) ω
q1+q2+q3= 1, q
1< q
2< q
3ならば、
F (q
1, q
2, q
3, 0) は４次コサイクルである。
(f) ω
q1+q2+q3+q4= 1, ω
q1+q2= ω
q1+q3= 1, q
2≤
(p)q
3, q
1<
q
3, q
2< q
4ならば、
U
1q1U
2q2+q3· "
χ(U
3, ω
−1· U
4) − χ(U
3, U
4) #
q4は４次コサイ クルである。
(g) ω
p·q1+p·q2= 1, q
1≤ q
2ならば、
"
χ(ω · U
1, U
2) − χ(U
1, U
2) #
q1· "
χ(U
3, ω
−1· U
4) − χ(U
3, U
4) #
q2は４次コサイクルである。
(h) ω
q1+q2+q3+q4= 1, ω
q1+q3= 1, ω
q1+q20 = 1, ω
q1= ω
q2, q
2≤
(p)q
1< q
3< q
4ならば、
(U
1q1U
2q2+q3+ U
1q2U
2q1+q3− (ω
q1− 1)
−1(1 − ω
2q1)U
1q1+q2U
2q3)
· "
χ(U
3, ω
−1· U
4) − χ(U
3, U
4) #
q4は４次コサイクルである。
(i) ω
q1+q2+q3+q4+q5= 1, ω
q1+q2= ω
q1+q3= 1, ω
q2+q40 = 1, q
2≤
(p)q
3, q
1< q
3, q
2< q
4< q
5ならば、
U
1q1U
2q2+q3U
3q4U
4q5は４次コサイクルである。
(j) ω
q1+q2+q3+q4+q5= 1, ω
q1+q3= 1, ω
q1+q20 = 1, ω
q2+q40 = 1, ω
q1= ω
q2, q
2≤
(p)q
1< q
3< q
4< q
5ならば、
(U
1q1U
2q2+q3+ U
1q2U
2q1+q3− (ω
q1− 1)
−1(1 − ω
2q1)U
1q1+q2U
2q3) · U
3q4U
4q5は４次コサイクルである。
ここで、
q
i≤
(p)q
j:=
$ q
i≤ q
j(p > 2)
q
i< q
j(p = 2) としている。
(ii) (i) の４次コサイクルは全て H
Q4(X ; F
q) の中で線型独立であ り、かつ非自明な４次コサイクルである。
(iii) (i) の (a) から (e) の４次コサイクルの集合を I
q,ω4,+とする。 ω 0 =
− 1 かつ H
Q2(X ; F
q) ∼ = 0 ならば、 H
Q4(X ; F
q) は代表元 I
q,ω4,+で 張る F
q上ベクトル空間と同型である。
Remark 4.2. ω = − 1 かつ H
Q2(X ; F
q) ∼ = 0 をみたすとき、 p = q しかない。また [N2] で q = p,ω = − 1 のとき、 H
Q4(X ; F
q) ∼ = (F
q)
3が示されている。
Corollary 4.3. ω 0 = − 1 かつ H
Q2(X ; F
q) ∼ = H
Q3(X ; F
q) ∼ = 0 ならば H
Q4(X ; F
q) は代表元 {F (q
1, q
2, q
3, q
4) | ω
q1+q2+q3+q4= 1, ω
q1+q20 = 1 q
1< q
2< q
3< q
4} で張る F
q上ベクトル空間と同型である。
Proof. (iii) と I
q,ω4,+の定義からすぐわかる。
ここで、いくつか例を計算する。
Example 4.4. q = p
2かつ ω 0 = − 1 かつ ω
1+p0 = 1 の場合を考えよ
う。最後の ω
1+p0 = 1 は H
Q2(X ; F
q) ∼ = 0 となるための必要十分条件
である。ただし、この条件はもっと具体的にいえる。：つまり素
数 p は 3m + 1 の形であり、 ω は ω
3= 1 をみたすことと同値であ
る。このとき、 H
Q4(X ; F
q) は代表元 {E
1(1, p, p), E
2(1, p, p
2) } で張
る F
q上ベクトル空間である。
Example 4.5. q = p
3かつ ω 0 = − 1. このとき、素数 p として、
p = 7, ω として、 ω = 114 ∈ Z /342 Z ∼ = F
q×とする。このとき、
H
Q4(X ; F
q) は代表元 {E
0(p, p, p
2), E
1(1, p, p), E
1(1, p, p
2),
E
1(1, p
2, p
2), E
1(p, p
2, p
2), E
2(1, p, p
2), E
2(1, p, p
3), E
2(1, p
2, p
3), E
2(p, p
2, p
3), F (1, p, p
2, 0) } で張る F
q上ベクトル空間である。
参考文献
[A] S.Abe, On quandle 4-cocycle of Alexander quandles on finite fields, in prepartion.
[CJKLS] J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford, M. Saito, Quan-dle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003) 3947–3989.
[CKS] J. S. Carter, S. Kamada, M. Saito,Geometric interpretations of quandle homology, J. Knot Theory Ramifications 10 (2001) 345–386.
[FRS] R. Fenn, C. Rourke, B. Sanderson, Trunks and classifying spaces, Appl.
Categ. Structures3 (1995) 321–356.
[M1] T. Mochizuki,Some calculations of cohomology groups of finite Alexander quandles, J. Pure Appl. Algebra179 (2003) 287–330.
[M2] , The 3-cocycles of the Alexander quandles Fq[T]/(T −ω), Alge-braic and Geometric Topology. 5 (2005) 183–205.
[N1] T. Nosaka, Quandle homotopy invariants of suurface links, preprint.
[N2] , On quandle homology groups of Alexander quandles of prime order, preprint.
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Sakyo-ku, Kyoto, 606-8502, Japan
E-mail address: [email protected]
-knot の unknotting tunnel につ いて
合田 洋 (東京農工大学) 概 要
本研究は林忠一郎氏（日本女子大学）との共同研究です．本講演で
は，unknotting tunnelに関する様々な研究を特に -分解の観点から
検討しました．具体的には，以下の結果と我々の結果の関連を主に報 告しました．
Boileau-Rost-Zieschangによるトーラスknotのunknotting tunnel の決定分類
森元-作間によるsatellite knotのunknotting tunnelの研究 森元-作間-横田knotの発見
ヘガード分解のRubinstein-Scharlemann graphics
小林による2-bridge knotのunknotting tunnelの決定分類
Scharlemann-Tomova, JohnsonによるHeegaard distanceの unknot-ting tunnelへの応用
Cho-McCulloughによるunknotting tunnelのdepth 古宇田によるunknotting tunnelのcomplex 石原によるunknotting tunnelのdepthの計算結果
このレポートは詳細を省き，どういう背景でどういう考察をしたか と いう事を中心に書かせて頂きます．詳細は参考文献をご参照ください．