レンズ空間についての不変量の計算 - 2011 年 1 月 III 」報告集研究集会「結び目の数学

この節では,レンズ空間に対する精密化不変量の値を実際に計算し, 定理1の証明の概略を与える. また系2の証明を与える.

定理1の証明の概略. 整数a, b, pは定理の仮定の通りとする. 以下のようにa/bの連分数展開を一つとり固定する:

b =m1− 1

m2− . ..

− 1 mN

(|mk| ≥2).

このとき, L(a, b)のKirby図式はL =

m₁ m₂ mN

で与えられることが知られている. ここで図のmiは各成分のframingを表す. Lの絡み数行列は

B =







m1 1 1 m2 . ..

. .. ... 1 1 mN







で与えられる. また, detB =aであることがわかる.

Bd=0をみたす, 0でない元_d ∈(Z/2Z)^Nがただ一つ存在する. この_dはL(a, b) の非自明な(Z/2Z)係数1次コホモロジー類に対応している.

式(4)を使うと, c+= $

0≤i<4p i:odd

∆i*

+= 2ζ_16p⁻³ ζ8p−ζ_8p⁻¹

j∈Z/2Z

ζ₄^p^∗^j² $

k∈Z/pZ

ζ_p^k² (6) となることがわかる. 一方c₋がc+の複素共役であることは定義より明らかであるから,

c₋ =−!−1 p

" 2ζ_16p³ ζ8p−ζ_8p⁻¹

j∈Z/2Z

ζ₄^−p^∗^j² $

k∈Z/pZ

ζ_p^k² (7)

となる. さて, L(a, b)のスピン構造Θに対して, 前述の意味でΘに対応する元 x∈(Z/2Z)^Nがとれ, これはBx≡(m1, . . . , mN)^T (mod 2) をみたす.このとき定義より,

1 m₂ m_N

ωx1ω

x2 ω_x_N

+= $

0≤i"<4p i"−x": even

∆i1. . .∆iN*

i₁ i₂ i_N

m1 m₂ m_N

である. 式(4)を繰り返し用いて計算を進めることにより,

1 m₂ m_N

ωx1ω

x2 ωx_N

+=δ C ζ_16p^t^yBy+2^t^v^δ^y $

j∈(Z/2Z)^N

ζ₄^p(^t^jBj+2^t^u^δ^j) $

k∈(Z/pZ)^N

ζ_p^t^kBk+^t^u^δ^k (8) がわかる. ただし

δ =√

−1^(Bx+^t^(m¹^,...,m^N⁾⁾^·^d, (9)

C = 2^Nζ_16p^−trB (ζ_8p−ζ_8p⁻¹)^N⁺¹,

y=x+^t(1, . . . ,1), v_δ =^t(1,0, . . . , δ), u_δ = 1

2(By+v_δ).

式(6)–(8)及び関係式

3(σ+−σ₋)−trB =^tv_δB⁻¹v_δ−2δa⁻¹−12s(b, a) により,

τ4p(L(a, b),Θ) =δ!a p

"ζ₈^p^∗−ζ₈⁻^p^∗

ζ8p−ζ_8p⁻¹ ζp⁻⁽³⁴^s(b,a)+^8a^δ⁾^∨τ4(L(a, b),Θ)++

ζ^p∗₁₆ . がわかる. ここでτ4(L(a, b),Θ)++

ζ^p∗₁₆ は, 不変量の定義式(5)の右辺においてr = 4 かつ, 1の16乗根としてζ16の代わりにζ₁₆^p^∗ にとったものである. [4]の計算と同じようにして,

τ4(M,Θ)++

ζ₁₆^p∗ =ζ₁₆⁻^3µ(M,Θ) が得られるので, 結局定理1の式を得る.

最後に, 系2の証明について述べよう.

Lemma 3 (Roberts[11]). pを正の奇数, Mを閉有向3次元多様体, ΘをMのスピン構造, y∈H1(M,Z/2Z) とする. このときMの精密化Turaev-Viro SU(2)不変量について以下が成り立つ.

T V4p

,M,Θ, y

-=τ4p(M,Θ)τ4p(M,Θ +D(y)).

ここにD(y)はyのPoincar´e双対である. この補題から, 系2は直ちに導かれる.

参考文献

[1] C. Blanchet, Invariants on three-manifolds with spin structure. Comment. Math.

Helv. 67(1992), No. 3, 406–427.

[2] L. Jeffrey,Chern-Simons-Witten Invariants of Lens Spaces and Torus Bundles and the Semiclassical Approximation. Commun. Math. Phys.147(1992), pp. 563–604.

[3] R. Kirby, A calculus for framed links in S³.. Invent. Math.45 (1978), pp. 35–56.

[4] R. Kirby, P. Melvin,The3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2,C). Invent. Math.105 (1991), No. 3, pp. 473–545.

[5] B. H. Li, T. J. Li, Generalized Gaussian sums: Chern-Simons-Witten-Jones in-variants of lens-spaces. J. Knot Theory Ramifications5(1996), No. 2, pp. 183–224.

[6] W. Lickorish,Invariants for 3-manifolds from the combinatorics of the Jones poly-nomial. Pacific J. Math. 149(1991), No.2, 337–347

[7] ,Three-manifolds and the Temperley-Lieb algebra. Math. Ann.290(1991), 657–670.

[8] ,Calculations with the Temperley-Lieb algebra. Comment. Math. Helvetici 67 (1992), 571–591.

[9] , The skein method for three-manifold invariants J. Knot Theory Ramifi-cations 2 (1993), no. 2, 171–194.

[10] N. Reshetikhin, V. G. Turaev, Invariants of3-manifolds via link polynomials and quantum groups. Invent. Math.103 (1991), No. 3, pp. 547–597.

[11] J. Roberts, Refined state-sum invariants of 3- and 4- manifolds. In Geometric topology, Amer. Math. Soc. (1997), pp. 217–234.

[12] C. Sato,Perturbative Invariants of lens spaces associated with cohomology classes J. Knot Theory Ramifications 15(2006), No. 7, pp. 913–929.

[13] E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Comm. Math. Phys.

121 (1989), No. 3, pp. 351–399.

[14] S. Yamada, The absolute value of the Chern-Simons-Witten invariants of lens spaces. J. Knot Theory Ramifications4 (1995), No. 2, pp. 319–327.

Homotopy classification of monoliteral phrases with four or less letters

福永知則 ^∗

北海道大学理学院数学専攻 D3

1 序文

この論文では, V.Turaevにより導入された語のホモトピー理論に関する著者の結果について述べる. V.Turaev^は2005^年頃,^論文[12]において語のトポロジー理論を導入した. ^さらに, Turaev^は論文[13]

において, 語やフレーズのホモトピー理論の特殊化を考えると, 仮想結び目の理論や仮想糸の理論などの,既存の理論と同値なものになるということを示した. ^また,語のホモトピーの理論はfree knot^の理論とも関わりがあることがA.Gibson ^やV.O.Mantrovによって述べられている（[7], [11]^）. ^したがっ

て,Turaevの語のホモトピー理論の研究の進展は,これらの結び目理論からの幾何学的対象の研究の進展

につながり,さらに語の理論によりこれらの幾何学的な対象を統一的に理解することにも役に立つと思われる. ^今回は,語のホモトピー理論の研究の一例として、語およびフレーズのホモトピーによる分類に関する結果と,^{その曲面上の順序},^基点,向き付き多成分曲線の安定同値による分類への応用について紹介したいと思う.

2 nanoword, nanophrase とその homotopy

このsection^では,^論文[12], [13]^において, Turaev^{によって導入された}nanoword^及びnanophrase^について述べる.^{詳しいことは}, [12], [13]^及び[14]^{を参照してほしい}.

本論文では,alphabetとは有限集合のこととし,^その元をletter^{と呼ぶことにする}. alphabetA^上の

長さがkのword^とは,^写像w:{1,2,· · ·, k} → A^{の事とする（これを}w(1)w(2)· · ·w(k)^と記す）.

以下ではα をinvolutionτ :α→α 付きのalphabet^とする. alphabetαに対して α- alphabet ^とは, alphabet A^とmap | · |:A →α ^の組(A,| · |)^{のことである}. さて、ここでこのレポートの主役である, ´etale word, ´etale phrase, nanoword^そしてnanophrase^{を定義する}. ^まずは, ´etale word^と´etale phrase^{を定義する}.

定義 2.1. α上の長さnの´etale word ^とはα-alphabetA^と,A^上のword^の組(A, w)^{のことである}. また α 上の長さkの´etale phrase^とは, α-alphabet A^とk個の word (w1|w2|. . .|wk)^{の組のことで} ある.

∗日本学術振興会特別研究員(DC2), This work was supported by Grant-in-Aid for JSPS Fellows.

αがA^と等しく,τ が恒等写像のときは,^{これは通常の}word^及びphrase^{とみなせることから、}´etale word^及び´etale phrsae^は,^通常のword^及びphrase の一般化と思うことができる. ´etale phrase^の中で,^特に1^{つの文字からなる}´etale phrase^をmonoliteral phrase ^とよぶ.

さて、語の理論を曲面上の曲線に応用するためには、次に定義するnanoword^及びnanophrase^というものを考えると都合が良い.

定義2.2. α上の長さnのnanoword^とはα-alphabetA^と,A^上のwordw:{1,2,· · ·, n} → A^でA のletter^{がもれなく}2^{回現れるものの組}(A, w)^{のことである}. ^またα^上の長さk^のnanophrase^とは, α-alphabetA^とk^個のword (w1|w2|. . .|wk)^の組で, (A, w1w2· · ·wk)^がnanoword^{となるもののこと} である.

なお, word^及びphrase^{ですべての}letter^{がもれなく}2^{回現れるものは},^それぞれGauss word ^及び Gauss phrse ^{と呼ばれている}. C.F.Gauss^は,^今日では Gauss word^{と呼ばれている}word^を用いて,^平面曲線のトポロジーを研究していた（[5]^を参照）. Turaev^は, ^論文[12], [13] ^において,^{結び目理論に} おけるReidemeister move^{のアナロジーで}, nanoword^及びnanophrase^に対して,S-homotopy ^と呼ばれる同値関係を導入した. homotopy ^{を定義する為に},^まずはisomorhic^と,S-homotopy move^を定義する.

定義2.3. ２つのα上のnanophrase (A¹,(w1|w2| · · · |wk))^と(A²,(v1|v2| · · · |vk))^がisomorphic^であるとは,^全単射f :A1→ A2で,|A|=|f(A)|for allA∈ A1かつf◦wj =vj for allj∈ {1,2,· · ·, k} をみたすものが存在することである. ^また,^{この全単射}fを, isomorphism^と呼ぶ.

定義2.4. Sをα×α×αの任意の部分集合とする. α上のnanophrase^のS-homotopy move (1) - (3) とは,^{次のような}nanophrase^{の変形のことである}: (1) (A,(xAAy))^を(A \ {A},(xy))^{に置き換える}. (2) |A|=τ(|B|)^{をみたすとき} (A,(xAByBAz))^を(A \ {A, B},(xyz))^{に置き換える}.

(3) (|A|,|B|,|C|)∈S をみたすとき(A,(xAByACzBCt))^を(A,(xBAyCAzCBt))^{に置き換える}. ここで,x, y, z, tはそれぞれ A^上のword^で,^記号|が含まれていてもよいものとする.

以上の準備のもと,S-homotopicという同値関係の定義をする.

定義 2.5. ^２つのα^上のnanophrase (A1,(w1|w2| · · · |wk))^と(A2,(v1|v2| · · · |vk))^がS-homotopic^であるとは,^有限回のisomorphism^とS-homotopy move^{及びその逆}move^によって,^{互いに移りあえる} ときのことをいう.

特にSが α×α×αの対角線集合のとき,S-homotopy^を単にhomotopy^{と呼ぶことにする}. Turaev は論文[12]^において,^文字数が6^以下のnanoword^のhomotopy^{による分類を行った}. ^ここでは,^この本論文の内容と関係する文字数が4^以下のnanoword^{の分類のみ紹介する}.

定理2.6(Turaev [12]). w^をα^{上の文字数が}4^以下のnanoword^とする. ^このときw^は∅^とhomotopic であるか,^またはw_a,b:= (A={A, B}, ABAB)^で|A|=a,|B|=b∈αかつa&=τ(b)^の形のnanoword とisomrphic^である. ^さらにa&=τ(b),^のときnanowordwa,bは∅^とhomotopic^でなく,^かつnanoword wa,bとwa^!,b^! がhomotopicであるための必要十分条件は, a=a^! ^かつb=b^! ^{が成り立つことである}.

このレポートでは,^{著者の定義した}nanophrase^{の不変量を用いて},^文字数が4^以下のnanophrase^を長さの制限を付けずに homotopyにより分類した結果を紹介する. ^更に, ´etale phrase^に関して,^長さが 4^以下のmonoliteral phrase^のhomotopyによる分類結果を紹介する.

3 nanophrase の homotopy 不変量

このセクションでは, nanophase^のhomotopy不変量について紹介する. ^{本論文の主結果である}, letter の数が4^以下のnanophrase^分類と, letter^の数が4^以下のmonoliteral phrase^{の分類には},^{いくつかの} nanophrase^のhomotopy^{不変量を用いるが},本論文では今回新しく定義したhomotopy^{不変量である}, Ro不変量のみ紹介する. ^また,^{この不変量は},^任意のα^{に対して定義できるが},^{今回は簡単のため},α^が 1点集合の場合の定義のみ紹介する(分類を完成させるためには,αが1^{点集合のときの}R_o不変量の定義を知っていれば,^{十分である}). ^その他のnanophase^のhomotopy^{不変量については}, [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8], [9], [12], [13]^及び[14]^{などを参照してほしい}.

3.1 R_o不変量

nanophrase over the one-element set (A, P) ^を考える. ^記号 Al で, A^の letter ^のうち, l番目の component^に2^回現れるletterからなる集合をあらわすとする. ^このとき, letterX∈ Al1 及びY ∈ Al2

に対して,dl_P(X, Y)∈Z/2Z^を

dlP(X, Y) =Card{Z∈ Al1l2|n(X, Z) = 1, n(Y, Z) =−1}mod2 で定義し,^{さらにに整数}l1 とl2に対して,deP(l1, l2)∈Z/2Z^を

deP(l1, l2) =Card{(X, Y)∈ A^l1× A^l2|dl(X, Y) = 1}mod2 と定義する. ^そしてR_o(P)^{を次のように定義する}

R_o(P) = (de(l1, l₂))l1<l2. このとき,^{次のことが成立する}.

命題 3.1. R_oは, nanophrase over the one-element set^のhomotopy^{不変量である}.

計算例は,^{以下の通りである}. 例 3.2. nanophrase

(P_a^2,2;l¹^,l²)^d= (∅| · · · |∅|A12A13A14A12A23A24|∅| · · · |∅|A13A23A34A14A24A34|∅| · · · |∅)

に対して,Ro不変量を計算する. ^{以下この例では},P_a^2,2;l¹^,l² のdesingularization (P_a^2,2;l¹^,l²)^d ^をP と記すことにする. ^まず,

dl_P(A12, A₃₄) =Card{A₁₄}= 1 であることがわかり, ^更に

de_P(i, j) =





1if(i, j) = (l1, l2), 0otherwise となる.^故に

Ro(P) =e(l₁,l₂).

であることがわかる. ^なお, empty phrase ^{に対しては}, Ro((∅)k)^は 0 ^{と等しいことがわかる}. ^従って, この計算例から,P_a^2,2;l¹^,l² はempty phrase^とhomotopic^{ではないことがわかる}.

4 文字数が 4 以下の nanophrase の homotopy による分類

最初に, ^文字数が2^以下の nanophrase ^{の分類結果を述べる}. P_a^1,1;l¹^,l² := (∅| · · · |∅| A^lˇ¹ |∅| · · · |∅|

Aˇ

|∅| · · · |∅) with|A|=afor 1≤l1< l₂≤kとおく.

定理 4.1 ([3]). P ^を長さk^{で文字数が}2^以下の nanophrase ^とする. ^このとき P ^は (∅| · · · |∅) ^に homotopic^かまたはP_a^1,1;l¹^,l² for somel₁, l₂∈ {1,· · ·k}, a∈αにisomorphic^{のいずれかである}. ^さらに, P_a^1,1;l¹^,l² とP_a^1,1;l! ^!¹^,l^!² が homotopicであるための必要十分条件はl1=l^!₁, l2=l^!₂ かつa=a^! が成り立つことである.

次に文字数が4^以下のnanophrase分類定理を述べるために、いくつかの記号を準備する. P_a,b^4;l:= (∅| · · · |∅|

ˇl

ABAB|∅| · · · |∅), P_a,b^3,1;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

ABAˇ |∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅), P_a,b^2,2I;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^2,2II;l¹^,l²:= (∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅|

BAˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^1,3;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

BABˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^2,1,1I;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅), P_a,b^2,1,1II;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

BAˇ |∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^1,2,1I;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅), P_a,b^1,2,1II;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

BAˇ |∅| · · · |∅|

Bˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^1,1,2I;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅|

ABˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^1,1,2II;l¹^,l²^,l³:= (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅|

BAˇ |∅| · · · |∅), P_a,b^1,1,1,1I;l¹^,l²^,l³^,l⁴:= (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅), P1,1,1,1II;l1,l2,l3,l4

a,b := (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅), P1,1,1,1III;l1,l2,l3,l4

a,b := (∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ|∅| · · · |∅|

Bˇ |∅| · · · |∅|

Aˇ|∅| · · · |∅),

with |A| = a, |B| = b. ^ただし, ^もし a = τ(b) ^ならば, P_a,b^4;l, P_a,b^2,2I;l¹^,l² 及び P_a,b^2,2II;l¹^,l² は(∅| · · · |∅) と homotopic になることが容易にわかる. ^そこで, P_a,b^4;l, P_a,b^2,2I;l¹^,l², P_a,b^2,2II;l¹^,l² ^{と書いたときは}, ^常に

a&=τ(b)^{を仮定することにする}.

以上の準備のもと,^文字数が4^以下のnanophraseの分類結果について述べる.

定理 4.2 ([3]). P を長さkで文字数が 4 ^以下の nanophrase ^とする. ^このとき P は文字数が 2 以下の nanophrase ^に homotopic ^かまたはP_a,b^X;Y for some X ∈ {4,(3,1),· · ·,(1,1,1,1III)}, Y ∈ {1,· · ·, k,(1,2),· · ·,(k−3, k−2, k−1, k)}^にisomorphic^{のいずれかである}. ^さらにP_a,b^X;Y とP_a^X_!_,b^!^;Y_! ^! が homotopic であるための必要十分条件はX =X^!, Y = Y^!, a=a^! かつ b= b^! が成り立つことである.

5 letter の数が 4 以下の monoliteral phrase の分類

このletter^の数が4^以下のmonoliteral phraseの分類について紹介する

Turaev ^は論文[12]^において, ´etale word ^のdesingularization^{という操作を通して}, ´etale word^にも homotopyという同値関係を定義した. ^{この定義は、}´etale phraseに対しても自然に拡張できる. 定義5.1. ´etale phrase (A, P)^に対してA^d^をα-alphabet{A_i,j := (A, i, j)|A∈ A,1≤i < j≤m_P(A)} with the projection|Ai,j|:=|A|for allAi,j とし, phraseP^dをP から次のようにして得られるphrase とする: ^{まず重複度が}1^以下のletter^{を全て消去する}. ^そして,^各A∈ A^で重複度mP(A)^が2^以上のものに対して,i番目に出てくるAを次で置き換える:

A_1,iA_2,i. . . A_i−1,iA_i,i+1A_i,i+2. . . A_i,m_P_(A).

得られたnanophrase (A^d, P^d)^をdesingularization of (A, P)^と呼ぶ.

定義 5.2. 2^つの ´etale phrase ^が互いに S-homotopic ^{であるとは}, ^それらのdesingularization ^が nanophrase^{として互いに}S-homotopic^{であることと定義する}.

Turaev^は,^論文[12]^において,^文字数が5^以下のword^に対して, (word^{を自然な方法で}´etale word^とみなして) homotopy^{による分類を行った}. ^ここでは,^文字数が4^以下のmonoliteral phrase^のhomotopy による分類結果を述べる. ^{そのために},^{次の記号を用意する}: P_a^4;l:= (∅| · · · |∅|

ˇl

a⁴|∅| · · · |∅), P_a^3,1;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

aˇ³|∅| · · · |∅|^lˇa²|∅| · · · |∅), P_a^2,2;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |∅), P_a^1,3;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |∅|

aˇ³|∅| · · · |∅), P_a^2,1,1;l¹^,l²^,l³ := (∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |^laˇ²|∅| · · · |∅|^lˇa³|∅| · · · |∅), P_a^1,2,1;l¹^,l²^,l³ := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |

aˇ²|∅| · · · |∅|^lˇa³|∅| · · · |∅), P_a^1,1,2;l¹^,l²^,l³ := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |^lˇa²|∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |∅),

P_a^1,1,1,1;l¹^,l²^,l³^,l⁴:= (∅| · · · |∅|^lˇa¹|∅| · · · |∅|^lˇa²|∅| · · · |∅|^lˇa³|∅| · · · |∅|^lˇa⁴|∅| · · · |∅), P_a^1,1;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |∅|^lˇa²|∅| · · · |∅),

P_a^3;l:= (∅| · · · |∅|

ˇl

a³|∅| · · · |∅), P_a^2,1;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |∅|^lˇa²|∅| · · · |∅), P_a^1,2;l¹^,l² := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |∅|

aˇ²|∅| · · · |∅),

P_a^1,1,1;l¹^,l²^,l³ := (∅| · · · |∅|^laˇ¹|∅| · · · |^lˇa²|∅| · · · |∅|^lˇa³|∅| · · · |∅),

但しa∈α^であり,l,l1,l2,l3,l4∈ {1,· · ·, k}^はl1< l2< l3< l4をみたすとする. ^ここで,a=τ(a)^の

ときはP_a^4;l及びP_a^3;l は(∅| · · · |∅)^とhomotopicであることが容易に示せるので,P_a^4;l,P_a^3;lという記号

を用いたときは,^常にa&=τ(a)^{を仮定することにする}.

また,a=τ(a)^のとき,P_a^3,1;l¹^,l² とP_a^1,3;l¹^,l² はP_a^1,1;l¹^,l² にhomotopic^{であることもわかる}. ^実際 (P_a^3,1;l¹^,l²)^d = (∅| · · · |∅|A₁₂A₁₃A₁₄A₁₂A₂₃A₂₄A₁₃A₂₃A₃₄|∅| · · · |∅|A₁₄A₂₄A₃₄|∅| · · · |∅)

) (∅| · · · |∅|A₁₃A₁₂A₁₄A₂₃A₁₂A₂₄A₂₃A₁₃A₃₄|∅| · · · |∅|A₁₄A₂₄A₃₄|∅| · · · |∅) ) (∅| · · · |∅|A₁₃A₁₂A₂₃A₁₄A₁₂A₂₃A₂₄A₁₃A₃₄|∅| · · · |∅|A₂₄A₁₄A₃₄|∅| · · · |∅) ) (∅| · · · |∅|A₁₃A₁₄A₂₄A₁₃A₃₄|∅| · · · |∅|A₂₄A₁₄A₃₄|∅| · · · |∅)

) (∅| · · · |∅|A₁₃A₁₃A₃₄|∅| · · · |∅|A₃₄|∅| · · · |∅) ) (∅| · · · |∅|A₃₄|∅| · · · |∅|A₃₄|∅| · · · |∅) ) (P_a^1,1;l¹^,l²)^d.

そこで,P_a^3,1;l¹^,l²,P_a^1,3;l¹^,l² ^{と書いたときも},a&=τ(a)^{を仮定することにする}. 以上の準備の下,^{次の定理が成立する}.

定理 5.3. P を重複度1^{の文字を含まない}monoliteral phrase over αで, ^文字数が4^{以下のものとす}

る. ^このとき,P は(∅| · · · |∅)^とisomorphic^{であるか以下の}´etale phrase^{のいずれかと} homotopic^で

ある: P_a^1,1;l¹^,l²,P_a^3;l, P_a^2,1;l¹^,l²,P_a^1,2;l¹^,l²,P_a^1,1,1;l¹^,l²^,l³, P_a^4;l, P_a^3,1:l¹^,l²,P_a^1,3;l¹^,l²,P_a^2,2;l¹^,l², P_a^2,1,1;l¹^,l²^,l³ P_a^1,2,1;l¹^,l²^,l³,P_a^1,1,2;l¹^,l²^,l³ ,P_a^1,1,1,1;l¹^,l²^,l³^,l⁴ for somel₁, l₂, l₃l₄∈ {1,· · ·, k}anda∈α. ^さらに, ´etale phrase ^これらの monoliteral phrase^たちが homotopicであるための必要十分条件は, ^{それらが互いに} 等しいことである.

6 曲面上の曲線のトポロジーへの応用

このsection ^では, nanophrase^のhomotopy^{による分類結果を}, 曲面上の曲線論へ応用した結果の一例を述べる. 曲線の安定同値に関する用語などは[3]^や[13]^{などを参照してほしい}.

V. Turaev ^は論文 [13] ^において,α₀= {a, b} ^とinvolutionτ :a*→ b上の長さkのnanophrase^の homotopy^類は,^曲面上のk成分の基点,^順序,向き付き曲線の安定同値類とone-to-one^かつonto^に対応することを示した. ^{したがって},^上記のnanophrase^{の分類結果を}α^がα0の場合に適用し同値類の個数を数え上げると,^{次の結果を得る}.

系 6.1 ([1]). ^{最小交点数が}2^{以下の曲面上の}2^{成分の基点}, ^順序, 向き付き曲線の安定同値類は19^個

ある.

より一般に、次を示すことができる.

系 6.2([2]). k^{を正の整数とする}. ^{このとき最小交点数が}2^{以下の曲面上の}k^{成分の基点}, ^順序, ^向き付き曲線のstable equvalence^類は1 +¹₂k²+k³+¹₂k⁴個

注意 6.3. Turaev^は,^曲線と nanophraseの対応を具体的に与えている. ^{したがって}, nanophrase^が与えられれば,そこから対応する曲線を求めることも可能である.

他の応用結果については,^例えば[2], [3], [13]^{を参照してほしい}. ^また, ´etale phrase^のhomotopy^による分類結果の応用については,^{今後の課題である}.

ドキュメント内 2011 年 1 月 III 」報告集研究集会「結び目の数学 (ページ 136-155)