主定理

x= (x1, . . . , xm)とx^% = (x^%₁, . . . , x^%_m)について、(x1, . . . , xm, x^%₁, . . . , x^%_m)をxx^%で 表すことにする。

4.1.主定理

ˆbのQ-カラリングについて、m-ブレイド bの ith initial arc のカラーをxi とす る(i= 1,2, . . . , m)。x= (x1, . . . , xm)と置き、さらにy=x1x2· · ·xnと置く。但 し、x1 = x, xj = R^xj−1(x_j−1) (j > 1)である。任意の C ∈ ColQ(ˆb)について、

R^y = idQと仮定する。このとき、3-コサイクル f に関するS^m(b,∆²ⁿ)のカンド

ルコサイクル不変量 は Φf(S^m(b,∆²ⁿ)) = !

C∈ColQ(ˆb)

Φfˆy(ˆb;C)·

"m i=1

"n j=1

Ψ^∗_f(ˆb;R^j−1x (C),R^j−1x (xi))⁻¹

で表される。ここで、Φfˆy(ˆb;C)はˆbのカンドルコサイクル不変量であり、Ψ^∗_f(ˆb;C, x) はˆbのシャドウコサイクル不変量である。x は C と bから定まり、fˆy はf と y から(1)によって定まる2-コサイクルである。

位数pのdihedral カンドルとは、集合{0,1, . . . , p−1}であって、２項演算が x∗y = 2y−x (mod p)で定められているもののことである。Rpで表すことにす る。R³_p からZ/pZへの写像

θp(s, t, u) =v(s−t)((2u−t)^p+t^p−2u^p)/p

∈ )v |v^p = 1*=Z/pZ

は3-コサイクルであり、Mochizuki の3-コサイクルと呼ばれる。Z[Z/pZ] を

Z[v, v⁻¹]/(v^p−1)と同一視する。このとき、主定理から次の定理が導かれる。

4.2.定理

Mochizukiの3-コサイクルθpについて、

Φθp(S⁴(σ1σ^p₂σ3,∆²ⁿ)) =p+ 2

!p−1 i=1

(p−i)t²ⁿⁱ² ∈Z[t, t⁻¹]/)t^p = 1*

である。但しここでpは3以上の素数である。

向きづけられた曲面結び目Fが（−）もろて型であるとは、鏡像を取って向き を逆にして得られる曲面結び目−F^∗とFが同値であることをいう。 曲面結び目 Fのコサイクル不変量がΦf(F) = #

aigi ∈ Z[G] (ai ∈ Z, gi ∈ G) であるとき、

−F^∗のコサイクル不変量はΦf(−F^∗) = #aig⁻_i ¹であることから([3])、以下の系 が得られる。

4.3.系

p≡3 (mod 4)である素数pと、pの倍数でない正整数nについて、S4(σ1σ^p₂σ3,∆²ⁿ) は（−）もろて型ではない。

4.4.主定理の証明の概略

ブレイド∆²は図5のような形をしているとみなすことができる。よって、Sm(b,∆²ⁿ) の基底ブレイド∆²ⁿは図5のような形をしている∆²がn個連なっているとみなせ る。各三重点は、bを∆²ⁿに沿って滑らせて、b·∆²ⁿから∆²ⁿ·bの形に変形する ときに起こるタイプIIIのライデマイスタームーブに対応する。bは∆²に沿って 一回滑るとき、まずm本のアークの上を通り、それからm本のアークの下を通る ので、bの各交差点に対し、タイプIIIのライデマイスタームーブが2m回起こる。

x¹ x2

xm

x1*x1

x²*x¹ x^m*x¹

(x(x¹²*x*x¹¹)*x)*x²² (xm*x1)*x2

Rx(y)=(...((y*x¹)*x²)...)*x^m

R^x(xm) R^x(x2) Rx(x1) y

R^x(y)

y

図 5:∆ ².

すなわち、bの各交差点に対し、三重点が2m個現れる。よって、S^m(b,∆²ⁿ)の三 重点はbの交差点の個数かける2mn個あることがわかる。個々の三重点のウェイ トを調べることで、主定理が導かれる。

証明は、以下のような流れで示される。

• S^m(b,∆²ⁿ)のQ-カラリングとˆbのQ-カラリングが、任意の C ∈ColQ(ˆb)に ついてR^y= idQという仮定の下で１対１に対応する。

• アークの上を滑るときに出てくる三重点のウェイト全体の積は

$m i=1

$n

j=1Ψ^∗_f(ˆb;R^j−1x (C),R^j−1x (xi))⁻¹ になる。

• アークの下を滑るときに出てくる三重点のウェイト全体の積はΦfˆy(ˆb;C)に なる。

参考文献

[1] S. Asami and S. Satoh, An infinite family of non-invertible surfaces in 4-space, Bull. London Math. Soc.37(2005), 285–296.

[2] J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, L. Langford and M. Saito,Quandle cohomol-ogy and state-sum invariants of knotted curves and surfaces, Trans. Amer. Math.

Soc.355(2003), 3947–3989.

[3] J. S. Carter, D. Jelsovsky, S. Kamada, and M. Saito, Computations of quandle cocycle invariants of knotted curves and surfaces, Adv. in Math.157 (2001), 36–

94.

[4] J. S. Carter, S. Kamada, and M. Saito,Geometric interpretations of quandle homol-ogy and cocycle knot invariant, J. Knot Theory Ramificartions10(2001), 345–358.

[5] I. Nakamura, Surface links which are coverings over the standard torus, arXiv:math.GT/0905.0048.

Infinite type invariant of surface braids with 4 branch points

矢口 義朗 (広島大学)^∗

概 要

Hurwitz^{同値とは，群}G^のn^個の直積Gⁿの中で定義されるもので あり，トポロジーや代数幾何などの分野への応用がある。本講演では，

GがS_mとZ^mの半直積のときのG⁴におけるHurwitz軌道分解につい て，得られた結果を報告する。但し，Smはm^{次対称群であり，}Z^mは 無限巡回群Z^のm個の直積とする。さらに，４つの分岐点をもつ曲面 ブレイドへの応用について述べる。