計算例

ch-ダイアグラムは曲面絡み目Kの向きから導かれる向きを持っている. 定理 2.5 (主定理) Kを有向曲面絡み目. ΓをKのch-ダイアグラムとする. 集 合Γから交点を取り除いた集合の各連結成分にa1,· · · , anとラベルを付けて, 各 交点にc1, c2,· · ·, cmと名前を付け, 交点Ci毎に次の図10の様にして関係式を入 れ, Γ のバイカンドルをBQ(Γ) =)a₁,· · · , a_n|r₁(c₁), r₂(c₁)· · · , r₁(c_m), r₂(c_m)*で 定める. このときBQ(K)∼=BQ(Γ)である.

a b

d c

f e

g h

r1(ci) :c=a^b r1(ci) :g =e^f¯ r2(ci) :d=ba r2(ci) :h=f¯e

図 10:

Γ a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9 a10

a11

r1 :a2 =a1a7, r2 :a8 =a7a1

r3 :a3 =a2a8, r4 :a9 =a8a2

r₅ :a₄ =a₃^a9, r₆ :a₁ =a_9a3 r7 :a5 =a4a1, r8 :a10 =a1a₄

r9 :a6 =a5a10, r10:a11=a10a5

r11 :a1 =a6a11, r12:a7 =a11a₆

BQ(F(Γ)) =)a1,· · · , a11|r1,· · · , r12*

図 12:

参考文献

[1] Tim Carrell, The surface biquandle, Pomona College, April 3, 2009.

[2] Katsuyuki Yoshikawa, An enumeration of surfaces in four-space, Osaka J. Math.

31 (1994), 497-522

[3] D. Roseman, Reidemeister-type moves for surfaces in four-dimensional space. Knot theory (Warsaw, 1995), 347-380, Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci., War-saw, 1998

[4] A. Kawauchi, T. Shibuya, S. suzuki, Descriptions on surfaces in four-space, I Normal forms, Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10 (1982), 75-125.

レギュラーアレクサンダーカンドルについて

野坂 武史 (京都大学 数理解析研究所 博士課程)

概要

有限なカンドルに対し,まず曲面結び目のカンドルホモトピー不変量を定式化した. ^{その不変量は},^{カンドルの} 分類空間の３次ホモトピー群に値を持ち,またカンドルコサイクル不変量の普遍不変量である. ^{本研究ではまず} その空間の有理ホモトピー群を決定した. 次に,レギュラーアレクサンダーカンドルに対し,或る条件下で３次 ホモトピー群を決定付けた. ^系として,カンドルコサイクル不変量やカンドルホモロジー群に応用を得た. ^また この手法を使い,２次ホモトピー群をも計算した. この報告書の詳細はプレプリント[N3]^{をご参照ください}.

1 Introduction ：古典的結び目のカンドルホモトピー不変量

カンドルとは, 分配側を満たす或る代数系の事である. ^{カンドルとはおおよそ}, ^{群より弱い演} 算で, 「等質空間」に入る二項演算のことであって, カンドルは結び目理論への応用が多い. ^今

回はFenn-Rourke-Sanderson[FRS]によって導入されたカンドルホモトピー不変量という古典

的絡み目の不変量に注目する. ^{その不変量は}, ^{ラック空間}BX ^{の２次ホモトピー群}π₂(BX)^に 値を持つのであった. ^以前, 筆者はその不変量を調べていた[N1].

一方で, ^論文[CJKLS]^において, ^その空間BX ^の(^コ)ホモロジー群を改良したカンドル

(^コ)ホモロジー群が導入された. ^{さらにその}3-^{コサイクルを使い}, 曲面結び目のカンドルコサ イクル不変量が導入された. ^{この不変量は},任意の局所系係数の３次コホモロジー群に対しても 拡張された[CEGS]. そのカンドルコサイクル不変量は, いくつかの論文で計算されている.

本講演の趣旨の1^つは, 古典絡み目のカンドルホモトピー不変量を曲面絡み目へ拡張・適用 させ, その基でのカンドルコサイクル不変量を研究していくものである.

2 ^{復習：カンドルと} X - ^{カラリング}

まずはカンドルから復習する. ^{カンドルとは}, ^集合 X ^{と二項演算} ∗ : X² → X ^の組で,

∀x, y, z ∈X, x∗x=x, (x∗z)∗(y∗z) = (x∗y)∗z ^を満たし,∀x, y ∈X, ^∃!w∈X,w∗x=y を満たすものである. ^例えば, Z[T^±]-^加群に, ^{二項演算を}x∗y =T x+ (1−T)y^{と入れたもの} をアレクサンダーカンドルという.

カラリングを復習する. 有向古典的絡み目に対し, ^{その１つの絡み目図式}D^を選ぶ. ^カンド ルX^に対し,D^のX-^{カラリングとは}D^{のアークの集合から}X^{への写像であり},^{各交点で左下} 図のような関係式を満たすものとする. ^{また同様に}, ^{有向曲面結び目}Σg "→ S^4に対し, ^その１ つの結び目図式をD ⊂S^{3 をとる}. D^のX-^{カラリングとは}, D^{のシートの集合から}X ^への写 像であり,各々の二重線で右下図のような関係を満たすものとする.

曲面絡み目の図式D^に関して, Col_X(D)^をX-カラリングの集合とかく. ^{同じ絡み目の別の}

図式D^{" をとると}, ^{自然な一対一対応} ColX(D) ←→^1:1 ColX(D^")がある事はよく知られている.

(^これは1次元絡み目においても同様である). ^よって, ColX(D)は絡み目不変量になるが, ^古 典的な対象物である. ^例えば D ^{を結び目図式とし}X をアレクサンダーカンドルとするとき, Col_X(D)はアレクサンダー加群で表される事が知られている[Ino]. ^そこで, ^{次にこの不変量} Col_X(D)に重みを課して細かい不変量を作っていく.

α β

γ

C(α)∗C(β) =C(γ)

α

β

γ

3 定義：曲面結び目のカンドルホモトピー不変量

この節では, 曲面結び目のカンドルホモトピー不変量の定義 [N2, §2.2]^{を解説する}. ^この為に, カンドルX ^に関し, ^{ラック空間}BX^{を或るコーン}(^錐)^{を取る事で改良し}, ^{カンドル空間}B^QX を紹介する. テクニカルな議論のため定義3.1 ^を一瞥し, 次節を先に読まれても支障はない.

まず準備としてラック空間BX の３スケルトンを説明する. ^まず, ^{１スケルトンは}, a ∈ X でラベルされた円達の一点和である. ^{次に２スケルトンは}, ^{左下図のように}, 1^{スケルトン}

に(a, b) ∈ X² でラベルした正方形らを貼り付けたものである; ここで各辺のラベルに適合

するように, ^{正方形を貼合せている}. ^{次に３スケルトンは}, ^{下中図のように}, ^{２スケルトンに}

(a, b, c)∈X²でラベルした立方体らを張り合わせたものである.

次に, ^{カンドル空間}B^QX^{の３スケルトンは}, ^{ラック空間}BX^{の３スケルトンに}, (a, a)-^セル のコーンをとったもの達を貼り付けたものとして定義する(^右下図).

a

b b

a∗b

a b

b a∗b

c c c c

a∗c b∗c

b∗c

(a∗b)∗c a a

a a

図1 (a, a)^{でラベルされた}2-^セルと, (a, b, c)^{でラベルされた}3-^セルと,^コーン.

次に, ^{有向曲面絡み目}L^に対し, ^{不変量を構成する}. ^{その為にセル写像} S³ → BX ^を構成 していこう. ^まずD^{を図式とし}, D^{を有向曲面から}S³への正則横断的な嵌め込みと見なすこ とで, ^{その双対分割を}S^{3 が得られる}. ^先ず, a ∈ X でカラーされたシートを横断する 1-^セル を, BX ^のa ∈ X ^{でラベルされた}1-^{セルに送る}. ^次に, (a, b) ∈ X² でカラーされた２重線に 双対な2-^セルを, BX ^の(a, b) ∈ X ^{でラベルされた}2-^{セルに送る}. ^次に, (a, b, c) ∈ X^{3 でカ} ラーされた３重点付近の3-^セルを, BX ^の(a, b, c) ∈X ^{でラベルされた}3-^{セルに送る}(^図2^を 見よ). ^最後に, (a, a) ∈ X^{2 でカラーされた} branch point^の周りを B^QX ^の(a, a) ∈ X^{2 付の} コーンへ移すことにする (^ただし, ^厳密にはbranch point の周りのセル分割を改良する必要が あり詳細は[N3, §2.2]^にまわす). ^{とにもかくにも},これらの構成は全体的に貼り合い, ^セル写像 ξD,C : S³ → B^QX^{が構成される}. ^{そのホモトピー類を}ΞX(D;C)∈π₃^Q(BX)^とおく, ^実は, ^カ ンドル空間の4-cell^{の定義から}, Ξ_X(D;C)^は図式D^{の取り方に因らない}(^詳細[N3, §2.2]).

ここで, ^実は, Ξ (D;C)∈π (B^QX)^が, 或る部分群に入る事を見よう. ^それには, ^我々はD

∗ b

c

ξD,C

(a∗b)∗c b∗c

a∗c

a b a∗b

b

c

c

c

c b∗c

a∗c (a∗b)∗c b∗c

図2 (a, b, c)でカラーされた３重点から, (a, b, c)^{でラベルされた}3-^セルへ

としてbranch pointを持たない図式として取る [CS]. ^{すると上のセル写像は}ξD,C :S³ →BX

へと制限される. ^入射ι : BX → B^QX^をおき, ^部分群π₃^Q(BX) ⊂π3(B^QX)^{をその誘導射}ι_∗ による像とする. ^すると,^結論はΞ_X(D;C)∈π^Q₃(BX)^となる.

定義 3.1. L⊂ S^{4 を曲面絡み目とし}, D⊂ S^{3 をその図式とする}. X^{を有限カンドルとする}. カンドルホモトピー不変量とは

ΞX(L) = !

C∈ColX(D)

ΞX(D;C) ∈Z[π₃^Q(BX)]. (1)

この不変量はホモトピー群に値を持つので,^{一見解り辛い}. そこでこの不変量の「ココロ」を 節8^{で簡単に述べておいた}. 然しながら次のように定量的な話に還元できる.

注意 3.2. ^{この不変量は}, generalizedカンドルコサイクル不変量に普遍的である事を見よう(^下 式(2)^{がそれを意味する}). ^{これを見る為に}, ^{まず局所系係数の}3-^{コサイクル}ψ ∈H³(B^QX;A) を固定する. HA :π3(B^QX)→ H3(B^QX;A)^を, その局所系のフルヴィッツ準同型とする. ^す

るとψ^の generalized カンドルコサイクル不変量とは次で定義される:

Ψψ(L) = !

C∈ColX(D)

(ψ,HA

"

ΞX(D;C)#

) ∈Z[A]. (2)

この空間のホモロジー群 H3(B^QX;A) ^は, [CJKLS, CEGS] で定義されたカンドルコホモロ ジー群H₃^Q(X;A)と一致する事を注記する. するとフルヴィッツ準同型の定義より, [CEGS]^で 導入されたΨψ(L)^{の組合せ的定義と}(2)とは一致する事がわかる. ^この式(2)^{の意義を述べる}: 即ち, カンドルホモトピー不変量は定義からほぼ計算不可能なものであるが,^もし3-^{コサイクル} ψ ^{の具体的表示が解れば}, カンドルコサイクル不変量を通じて計算可能にするともいえる. 注意 3.3. 重要な局所系の一例を述べる. ^{まず随伴群}As(X)^{の定義を思い出す}: ^即ちAs(X) = ( x ∈ X | a·b = b·(a∗b) )という群表示で定義する. ここで上のセル分割よりAs(X) = π₁(BX) = π₁(B^QX)^{に留意する}. ^任意のa ∈X ^に対して,^全単写(• ∗a) :X →X (x*→x∗a) を考える. ^全ての a ∈ X ^{を考えると}, ^{これは作用}π1(BX) ! X ^{を誘導する}. ^そこで X ^で 貼る自由加群 Z(X) ^を, Z[π1(BX)]-^{加群と見なす}. ^{すると複体の形から} H3(BX;Z(X)) ^は 自明係数のH4(BX;Z)^{に同型となる} [FRS2, Prop. 5.1]. ^{するとこの同型を通じ}, 4-cocycle φ ∈ H⁴(B^QX;A)^{を局所系係数の}3-cocycle^{と見なす事が出来る}. これによるカンドルコサイ クル不変量は, [CKS]で導入されたシャドーコサイクル不変量と呼ばれる.

4 ^結果： π

₃^Q

(BX) ^と π

2

(BX ) ^の計算

我々は定義3.1^で, Abel^群π₃^Q(BX)を使った不変量を構成した. そこで２つ問題を考えよう: 問題(i)^{不変量の器である}π₃^Q(BX)^を調べ,カンドルホモトピー不変量を計算できるか？

(ii) π^Q₃(BX)^{を調べる暁に},^非自明なgeneralized カンドルコサイクル不変量を 抽出する局所系係数を決定せよ.

(i)^{に応えるために}, ^まずπ₃^Q(BX)^{の自由部分群} (^{有理ホモトピー群})^{を決定した：}

定理 4.1. X ^を“^連結成分”^がlである有限カンドルとするとき, π₃^Q(BX)^{は有限生成である}. さらに, π^Q₃(BX)⊗Q∼=Q^{l(l−1)(l3 −2)}. ^特に, l = 1^の時, π^Q₃(BX)^{は有限である}.

注意 4.2. l-成分絡み目のボルディズム群を有理数でテンソルしたものはQ^{l(l−1)(l3 −2) である事が} 知られている. π₃^Q(BX)⊗Q^は自然に, その群へ同型を作れる事がわかった. ^{これの云わんと} する事は,この自由部分群はカンドルXから連結成分の情報しか取り出せない事を意味する.

次に, ^{連結成分が}l = 1^のとき, π₃^Q(BX)の捩れ部分群を決定しよう. ^{だが一般の空間では} ホモトピー群の計算が難しいため, ^定理4.3では条件を課し議論した. ^まず, ^{アレクサンダー} カンドルX ^{がレギュラーとは}, Z[T^±]-^{加群として} (1−T)X = X ^を満たし, (T^e−1)X = 0 を満たす最小数e^が|X|と互いに素となる事をいう. ^例として, ^有限体F^{q と}ω ∈ F^{q に対し}, x∗y:=ωx+ (1−ω)y^としたF^{q上のカンドル構造は},^{レギュラーである}, ^但しω-= 0,1^とする. 定 理 4.3. X を レ ギ ュ ラ ー ア レ ク サ ン ダ ー カ ン ド ル と す る. ^{ま た} |X| が 奇 数 で あ り, H₂^Q(X;Z)∼= 0^{と仮定する}. ^このとき, π^Q₃(BX)∼=H₄^Q(X;Z)^となる.

注意 4.4. この定理で多くの仮定をおいたが, そこそこ広いクラスである. ^例えば, ^{奇数次の拡} 大体F^qに入る上述のカンドルではこの条件を見たす,^{ただし標数は２を除く}.

証明は§7^{で解説する}. ^ここでは, ^問題(ii)に応える系を紹介したい：

系 4.5. ^定理4.3^内のX ^に対し, 任意のカンドルコサイクル不変量は, H_Q⁴(X;A)^{のコサイクル} によるカンドルコサイクル不変量の線形和となる. ^{ここで注意}3.3^より H_Q⁴(X;A)^{を局所系係} 数コホモロジー群と思っている.

Proof. ^定理4.3^{での同型が}, Hurewicz 準同型を通じて得られる事による. ^詳細略.

さらに,奇素数位数の連結なカンドルに関して, カンドルコサイクル不変量を決定した：

系 4.6. X = Z[T]/(p, T −ω) ^とする. ω -= ±1 ^のとき, π₃^Q(BX) ∼= 0. ω = −1 ^のとき π₃^Q(BX)∼=Z/pZ^であり, ^{さらにその}Xの任意のカンドルコサイクルは, ^{望月３コサイクル不} 変量の定数倍である. ここで望月３コサイクルとはH³(B^QX;F^p)∼=Z^{p の生成元をいう}. Proof. H₂^Q(X;Z) = 0^{は知られている}. ^またω -= ±1^のとき, H₄^Q(X;Z) = 0^であり, ω =−1 のとき, H₄^Q(X;Z) =Z/pZとなる事を著者は示した([N2]). また望月３コサイクルを使った不 変量は, 非自明である事が知られている. ^後は定理4.3^{から得られる}.

5 ^結果： π

₂

(BX) ^の計算

さらに今回の計算手法を使い, π2(B^QX)^{を計算した}. これは一次元結び目のカンドルホモト ピー不変量の容れ物であった(^定義は[N1, §2]^を見よ). ^或るX^{のクラスに関し}, π2(B^QX)^を 次のように決定付けた：

定理 5.1. 奇数位数のレギュラーアレクサンダーカンドルX^に対し, 次の分裂完全列を与える：

0−→π2(B^QX)−→H₃^Q(X;Z)−→H₂^Q(X;Z)∧ZH₂^Q(X;Z)−→0.

この定理の証明は§7^{で後述する}. ^以下,この定理の完全列がどう強力であるかを述べたい. ^ま ずH₂^Q(X;Z)^とH₃^Q(X;Z)^から,^位数の9以下のレギュラーアレクサンダーカンドルX^に関し, 捩れ込みでπ2(B^QX)^{をすべて決定した}. ^位数の6^以下は, [N1]^{で調べたので}, 7≤ |X| ≤ 9^の 場合に下表のようにまとめた. ^ここでH₂^Q(X;Z)^とH₃^Q(X;Z)^の計算はLitherland-Nelson[LN]

による. 

X H₂^Q(X;Z) H₃^Q(X;Z) π2(B^QX)

Z[T]/(7, T + 1) 0 Z/7Z Z/7Z

Z[T]/(7, T −ω) 0 0 0

Z[T]/(2, T³+T²+ 1) 0 Z/2Z Z/2Z

Z[T]/(9, T + 1) 0 Z/9Z Z/9Z

Z[T]/(3, T²+ 1) Z/3Z (Z/3Z)³ (Z/3Z)³

Z[T]/(3, T²+T−1) 0 0 0

Z[T]/(3, T²−T−1) 0 0 0

表1 H₂^Q(X;Z)^とH₃^Q(X;Z)^{から得られる}π2(B^QX)^たち. ^ここでω!=−1^とした.

さらに有限体上に入るアレクサンダーカンドルに関しては, ^そのF^{q 係数}2,3^{次コホモロジー} 群は, 望月拓郎先生に決定されている[M1]. ^{であるので}, ^{上の完全列を使い},^{有限体上のアレク} サンダーカンドルのπ2(B^QX)⊗Z/pZは厳密に計算できるようにした. 3^{次拡大までの有限体} に関してはπ2(B^QX)⊗Z/pZ^{全てを決定した} (^詳細は[N3, §6]^を見よ). ^{その計算結果の中で}, 注目に値するものを紹介しよう:

系 5.2. X を 二 面 体 カ ン ド ル の h 個 直 積 と す る: X = "

Z[T]/(p, T + 1)#h

. ^{こ の 時}, dim(π2(B^QX)⊗F^p) =h²(h²+ 11)/12.

h = 1^のとき, ^以前, ^{畠中英里氏と著者は}π2(BX)^{と群ホモロジー}H3(Z/pZ;Z)^{との自然な} 同型を作った[HN]. ^{この同型は}Dijkgraaf-Witten 不変量とカンドルコサイクル不変量を繋げ る有効な同型であった. ^しかしh >1^の時, dim(π₂(B^QX)⊗Fp) は４次の割合で増加するので, (^{３次的に増加する})群ホモロジーより豊富な量と期待される.

さらに応用として, ^{次のように或る}3次カンドルホモロジー群を決定した:

系 5.3. X を奇数位数の二面体カンドルとする. ^即ち, X = Z[T]/(m, T + 1). ^この時, H₃^Q(X;Z)∼=Z/mZ^である.

Proof. ^{畠中氏と著者}[HN]^は, π2(B^QX)∼=Z/mZ^を示した. ^またH₂^Q(X;Z)∼= 0^{は知られてい}

でm^{が奇素数のとき}, [NP, §3]でホモロジー代数の手法で解決された. ^{今回はホモトピー群か} ら接近し,^{捩れ部分群こみで}mの一般化を得る事が出来た事になる.

また一方で,一次元結び目における問題(ii)^{の答えとして}, ^{強い主張が得られた}:

系 5.5. X を奇数位数のレギュラーアレクサンダーカンドルとする. ^{任意のカンドル}(^ホモト ピー)^{コサイクル不変量は}, H_Q³(X;A)の３コサイクルによるシャドーコサイクル不変量の線形 和とかける.

この事より, H_Q³(X;A)によるシャドーコサイクル不変量が, レギュラーアレクサンダーカ ンドルから出来上がる不変量の限界ともいえる. ^{逆に言えば}, ^{今後の課題として}, H_Q³(X;A)^の シャドーコサイクル不変量を調べれば, 不変量の意味が解っていくだろうと期待している.

6 ^定理 4.1 ^{の証明方針：} π

₃^Q

(BX) ⊗ Q ^と π

₂

(BX ) ⊗ Q ^の計算

定理らの証明で一番鍵となるのは, Clauwens[Cla]により発見されたラック空間上の位相モ ノイド構造である.

この構造を説明する為に, [FRS, FRS2]によるラック空間の抽象的な定義を思いおこそう. まずY ^をX-set^とする, ^即ちAs(X)^{の作用付き集合とする}. ^そのときB_YX^{を思い出そう}. ^定 義は次である：X ^とY ^{に離散位相をいれて}, ^空間$

n≥0

"

Y ×([0,1]×X)ⁿ#_を考える

. ^そして

次の同値関係を考える:

(y;t₁, x₁, . . . , x_j−1,1, x_j, . . . , t_n, x_n)∼(y·x_j;t₁, x₁∗x_j, . . . , x_j−1∗x_j, t_j+1, x_j+1, . . . , t_n, x_n).

(y;t₁, x₁, . . . , x_j−1,0, x_j, t_j+1, . . . , t_n, x_n)∼(y;t₁, x₁, . . . t_j−1, x_j−1, t_j+1, x_j+1, . . . , t_n, x_n), (3) この商空間をBYXとかきラック空間と呼ぶ. Y ^{が一点の時}, §2^のBX^{と一致する事がわかる}.

また次に, ^{カンドル空間}B_Y^QX^{を定義しよう}. まず次の部分空間を考える:

%

n≥2

&

(y;t1, x1, . . . , tn, xn)∈Y ×([0,1]×X)ⁿ|xi =xi+1 for somei∈Z, i≤n−1}. (4)

これをX_Y^{D と書き},^合成写像: X_Y^D "→$

n≥0

"

Y ×([0,1]×X)ⁿ#proj.

→ BYX ^を考える. ^そこでカ ンドル空間を合成写像の錐 (^コーン)^と定義し, B_Y^QX ^とかく. Y ^{が一点のとき}, §2^でのB^QX と一致する事がわかる.

Xをレギュラーなアレクサンダーカンドルとする. Y =Z/eZ"X^とする. (+, y)∈Z/eZ"X に対し,^全単写∗(+, y) :X →X; x*→T^"y+ (1−T)x^をとると,Y ^のX^{への作用を誘導する} .

[Cla]^{に基づいて},BYXに位相モノイド構造を入れよう：

µ: (G×[0,1]ⁿ×Xⁿ)×(G×[0,1]^m×X^m)→G×[0,1]^n+m×X^n+m, µ([g;t1, . . . , tn, x1, . . . , xn],[h;t^"₁, . . . , t^"_m, x^"₁, . . . , x^"_m]) :=

[gh;t1, . . . , tn, t^"₁, . . . , t^"_m, x1·h, . . . , xn·h, x^"₁, . . . , x^"_m], BYX は弧状連結となる事も注記する. ^{さらに写像} BYX → BX ^は主 Y ^{束になるので}

∼

定理4.1^の概証 Y =Z/eZ "X^とする. ^まずB_YX^{のモノイド構造から}, H_∗(B_YX;Q)^にホッ プ代数構造を入れる. ^また, B_YX は或る基点付ループ空間になる事も注意しよう. ^定義より, BYX ^{は有限型の}CW^{複体だから}, ミルナー・ムーアの定理が適用できる: ^即ち, Hurewicz^準 同型 π_∗(BX)⊗Q → H_∗(BYX;Q)^{は単写であり}, なおかつその像は原始的元の貼る部分空間 に同型となる事になった( [FHT] ^を見よ). ^被覆BYX → BX のトランスファーを使う事で，

H_∗(BYX;Q) ∼= H_∗(BX;Q) ^{がすぐ解る}. ^また H_∗(BX;Q) の構造はよく知られている[EG]

ので，すぐ原始的元が何かわかる. ^とくにπ3(BX)⊗Q ∼= Ql(l+1)(l+2)

3 がわかる. ^{さらに入射} BX →B^QX^{による誘導射}H_∗(BX;Q)→H_∗(B^QX;Q)^{に着目する}. この射による原始的元の 行き先を確認する事(^詳細略)^で, ^目的のπ₃^Q(BX)⊗Q∼=Ql(l−1)(l−2)

3 が得られる.

7 ^{証明の方針：} π

₃^Q

(BX) ^と π

2

(BX) ^の計算

定理5.2^の概証 Y =Z/eZ "X^とする. ^まずBYXは或る基点付ループ空間になるので, ^知ら れている事に, 一次ポストニコフ不変量k3 ∈ H³(π1(BYX);π2(BYX)) ^{は二倍で消える} [AP].

π1(BYX)^{の捩れ部分群の位数は}|X|^{で割り切れるので} k3 = 0^となる (^下の補題7.1 ^を見よ).

これは次を即座に意味する: ^即ち, Hurewicz^準同型H :π₂(B_YX) →H₂(B_YX;Z)^{が単写であ} り, 次の分裂完全列がある：

0→π2(BX)−→^H H2(BYX;Z)−→H2(π1(BYX);Z)−→0.

π2(BX) ∼= π2(B^QX)⊕Z^{を思い起こす}([N1, Proposition 3.12]). そこで右ふたつの項を計算 しよう. ^その際に, 次の二つ補題を示す必要がある (^{これの証明は}[N3, §4^と5]^を見よ)^： 補題 7.1. Xをレギュラーアレクサンダーカンドルとする. π1(BYX)∼=Z⊕H₂^Q(X;Z).

補題 7.2. X^{を同様とする}. ^このとき H2(BYX;Z)∼=Z⊕H₂^Q(X;Z)⊕H₃^Q(X;Z).

π2(BX)∼=Z⊕π2(B^QX)^より, 補題らを上の完全系列に代入すれば, ^{定理の結果が得られる} ! 定理4.3 ^{の概証 次に}H₂^Q(X;Z) ∼= 0^{の仮定の基で}π₃(BX) ^{を計算しよう}. ^{普遍被覆空間} BX' →B_YX ^をおく. BX' に位相モノイド構造を入れると, ^再び[AP]^{の結果より}, ^{２次ポスト} ニコフ不変量k4 ∈H⁴(π2(BX);' π3(BX))' ^{は二倍で消える}. ^よって, Hurewicz ^{準同型を奇素数} p^{で局所化することで},次の分裂完全系列を得る事になる:

0−→π3(BX)' (p)

−→H H3(BX;' Z)(p)−→H3(π2(BX);' Z)(p)−→0. (5) ここで定理5.2^{から右項が}π2(BX) ∼=H₃^Q(X;Z)^{が即座にわかる}. 次に真ん中の項を計算す るために,BX' ^{を見ていこう}. 次のホモトピー同値を与える簡単な補題が有用である:

補題 7.3. M^を, ^{弧状連結で}π1(M)∼=Z^{な位相モノイドとする}. ^このとき M ×S¹ 3M(.

Proof. f :S¹ → Mを基本群の生成元として取る. M^{の二項演算}µ^と, ^被覆g :M → M( ^を

取ると, µ◦(f ×g) :S¹×M → M( は弱ホモトピー同値を与える.

また次に, Y =Z/eZ "X ^として, B_YX ^を考える. ^補題 7.1^により, π₁(B_YX)∼= Z^である. よって, BX' ×S¹ 3BYX^である.

ドキュメント内 2011 年 1 月 III 」報告集 研究集会「結び目の数学 (ページ 95-106)