Dual-Tree 複素ウェーブレット変換

DTCWTとは，図5.7に示すような，2つの2分割フィルタバンクを並列に配置した構造をと

る．この変換は複素変換であり，まず上のツリーにおいて構成される離散ウェーブレット変換より 実部を出力し，下のツリーより虚部を出力する構造になっている．DTCWTには２組のフィルタ を用いており，それぞれにおいて完全再構成が満たされている．h0(n)，h1(n)はそれぞれ上のツ リーの低域通過フィルタと高域通過フィルタであり，g0(n)とg1(n)はそれぞれ下のツリーの低域 通過フィルタと高域通過フィルタである．フィルタがぞれぞれ実数であるので，DTCWTを実行 する際には複素数の計算は必要としない．また，DTCWTは最大間引きフィルタバンクを2つ持 つため，全体のフィルタバンクとしては最大間引き変換ではなく，入力信号に対し２倍のサンプル

図5.7 DTCWTのフィルタバンク．上のツリー：複素数の実部を出力するフィルタバンク，

下のツリー：複素数の虚部を出力するフィルタバンク．

数の信号を出力する．つまり２倍の冗長度を持つことになる．ここでDTCWTを設計するにあた り，重要なヒルベルト変換と解析信号（または解析関数）を説明しておく．

ヒルベルト変換

定義7. 実時間信号x(t)に対して

x_H(t) = 1 π

∫ _∞

−∞

x(τ)

t−τdτ (5.6)

のようにx_H(t)を得ることをx(t)のヒルベルト変換と呼び，x(t)とx_H(t)はヒルベルト変換対の 関係にあるという．

フィルタh_H(t)を

h_H(t) = 1

πt (5.7)

とすると，上式は

x_H(t) = 1

πh_H(t)∗x(t) (5.8)

の畳み込み演算で表現できる．また周波数領域では式（5.8）は ˆ

x_H(ω) =−jsgn(ω)ˆx(ω) sgn(ω) =







1 (ω >0) 0 (ω= 0)

−1 (ω <0)

(5.9)

となる．

解析信号

ヒルベルト変換には，信号処理において有効かつ興味深い性質がある．まず，第一に，x(t) = a(t) cos(ρ(t))とするとき，x_H(t) =a(t) sin(ρ(t))となることから，x(t)とx_H(t)は同じ振幅項

a(t)を持ち，位相項には^π₂ のずれがある．第二に，ヒルベルト変換器の周波数応答をH_H(ω)とす ると，式(5.8)より，

H_H(ω) =





−j, (ω >0) 0, (ω= 0) j, (ω <0)

(5.10)

とすることができる．ここで，実時間信号x(t)を実部，x(t)にヒルベルト変換をかけた信号x_H(t) を虚部に用いて，複素数信号xa(t)として表現すると

xa(t) =x(t) +jx_H(t)

=a(t) cos(ρ(t)) +ja(t) sin(ρ(t))

=a(t)e^jρ(t) (5.11)

と表すことができる．したがって，x(t)→xa(t)を生成するフィルタをHa(ω) := 1 +jH_H(ω) とすると，以下に示すように，Ha(ω)によって入力信号の負の周波数成分の振幅が抑制され0と なる．

H_a(ω) = 1 +jH_H(ω)

=





2, (ω >0) 1, (ω= 0) 0, (ω <0)

(5.12)

このような，ヒルベルト変換の関係にある2つの関数x(t)とx_H(t)の複素数合成x(t) +jx_H(t)を 解析信号（関数）と呼び，DTCWTの理論において重要な役割を果たす．x(t)は実数であるので，

それをフーリエ変換したx(ω)ˆ は複素共役対称である．すなわち，フィルタH_a(ω)を用いることに より，ω >0においては，xˆ_a(ω) = 2ˆx(ω)，ω <0においては，xˆ_a(ω) = 0とすることができる．

そして，位相項がρ(t) =ωtとして線形位相で表されるときは，その実信号を時間シフトさせた信 号は，その振幅の時間シフトと位相シフトさせたものによって表される．つまり，y(t) =x(t−t0) のとき，

ya(t) =xa(t−t0)

=a(t−t0)e^ρ(t)e^−jω0t0 (5.13) となる．ヒルベルト変換と解析信号の定義は離散時間信号においても同様に扱うことができる．

半サンプル遅延条件

DTCWTが複素ウェーブレット変換となるためにはh₁(n)及びg₁(n)に対応するウェーブレッ

ト関数ψh(t)とψg(t)がヒルベルト変換対の関係（ψh(t)≈ H{ψh(t)}）を満たしていることが必 要となる[27]．この時ψ(t) :=ψh(t) +jψg(t)は解析関数であり，周波数正領域にのみスペクトル を持つ関数となる．ここでψh(t)とψg(t)がヒルベルト変換対となる時のDTCWTが持つフィル

タh₀(n)，h₁(n)，g₀(n)，g₁(n)の条件を示す．ψ_h(t)とψ_g(t)はh₀(n)とg₀(n)によって ψ_h(t) =√

2∑

n

h₁(n)ϕ_h(2t−n) (5.14)

ϕh(t) =√ 2∑

n

h0(n)ϕh(2t−n) (5.15)

ψg(t) =√ 2∑

n

g1(n)ϕg(2t−n) (5.16)

ϕ_g(t) =√ 2∑

n

g₀(n)ϕ_g(2t−n) (5.17)

と 表 さ れ る ．た だ し 簡 単 の た め ，両 方 の 実DWT は 直 交 で あ る も の と 仮 定 す る と h₁(t) = (−1)ⁿh0(−n)，g1(n) = (−1)ⁿg0(−n)である（2.2.3 項参照）．式（5.9）に代入し，式を整理 すると次式の条件が得られる．

g₀(n)≈h₀(n−0.5) ⇐⇒ ψ_g(t)≈ H{ψ_h(t)} (5.18) この条件を半サンプル遅延条件と呼ぶ[27]．更に，周波数領域における半サンプル遅延条件を絶対 値と位相部分を分けて書き直すと，

|G₀(e^jω)|=|H₀(e^jω)| (5.19)

∠G₀(e^jω) =∠H₀(e^jω)−0.5ω (5.20) となる．

Dual-tree複素ウェーブレット変換のシフト不変性

従来のDWTではダウンサンプリングの際に情報が失われてしまい，シフト不変性を満たすこ とができない問題があった．しかしDTCWTでは半サンプル遅延条件を満たした2つのフィルタ バンクが，片方のフィルタバンクで失われたサンプルを他方のフィルタバンクが保持できる構造に なっている．よって2つのツリーの同帯域（低域または高域）から出力される2つの信号を加算す ることによって得られる信号は，入力信号のシフトに依らずに形状はほぼ一定となる．(図5.8，図 5.9参照)

2次元Dual-Tree複素ウェーブレット変換と高い方向分解能について

本節では1次元DTCWTの2次元への拡張である，2次元DTCWTの方向分解能について議

論する．前項の2次元DWTと同様に，DTCWTから得られるウェーブレット関数の方向を考察 する．ウェーブレット関数ψ(x)をψ(x) =ψh(x) +jψg(x)のような複素ウェーブレット関数とし て与え，2次元のウェーブレット関数について考える．前節の可分型2次元DWTの場合と同様に してψ₁(x, y)は次のように表される．

ψ1(x, y) =ψ(x)ψ(y)

=[ψ_h(x) +jψ_g(x)][ψ_h(y) +jψ_g(y)]

=[ψ_h(x)ψ_h(y)−ψ_g(x)ψ_g(y)] +j[ψ_g(x)ψ_h(y) +ψ_h(x)ψ_g(y)]

1次元複素ウェーブレット関数ψ(x)の解析関数の性質から，スペクトルは正の周波数領域（また は負の周波数領域）のみに表れるので，2次元複素ウェーブレット関数ψ1(x, y)の周波数領域に

図5.8 16サンプルの入力信号に対するDTCWTの出力信号

おけるスペクトルは図5.10のように表される．原点に対して右上の領域から反時計回りに第1象 限〜第4象限とすると，2次元の複素ウェーブレット関数ψ1(x, y)のスペクトルは第1象限に存 在しているのが分かる．よって，この複素ウェーブレット関数の実部をとると，2つの分離可能な ウェーブレット関数の和を得ることができる．2次元実関数の2次元フーリエ変換スペクトルは原 点に関して対称に表れる性質を持つので，2次元の複素ウェーブレット関数ψ1(x, y)の実部をとっ て得られる実ウェーブレット関数，

RealPart{ψ₁(x, y)}=ψ_h(x)ψ_h(y)−ψ_g(x)ψ_g(y)

のスペクトルは，図5.11で示されるように 2次元周波数領域の2 つの象限において表れるこ とになる．2次元DWTのウェーブレット関数のスペクトルは4つの象限で対称に現れていた が，DTCWT の実ウェーブレット関数RealPart{ψ1(x, y)} ^{では，原点を中心に}2 象限対称な スペクトルを持つ．このスペクトルを逆フーリエ変換することによって，ウェーブレット関数 RealPart{ψ1(x, y)}^{の形状は図}5.12の第2図で示されているような−45^◦の方向性をもつ形状を 持つことが分かる．

次に，+45^◦の方向成分を持つ2次元実ウェーブレット関数を得るために複素係数2次元ウェー ブレット関数ψ2(x, y) =ψ(x)ψ(y)を考える．ここで，ψ(y)はウェーブレット関数ψ(y)の複素共

図5.9 1サンプルシフトされた16サンプルの入力信号に対するDTCWTの出力信号

図5.10 ψ1(x, y)(=ψ(x)ψ(y))のスペクトル

役である．このときψ₂(x, y)は次のように表される．

ψ2(x, y) = [ψh(x) +jψg(x)][ψh(y) +jψg(y)]

= [ψh(x) +jψg(x)][ψh(y)−jψg(y)]

=ψh(x)ψh(y) +ψg(x)ψg(y) +j[ψg(x)ψh(y)−ψh(x)ψg(y)]

上式から，ψ₂(x, y)は図5.13に示されるように，第2象限のみにスペクトルを持つ．そして，

Real Part{ }=

図5.11 RealPart{ψ1(x, y)}のスペクトル

図5.12 DTCWTにおける２次元ウェーブレット関数

図5.13 ψ2(x, y)(=ψ(x)ψ(y))のスペクトル

ψ2(x, y)の実部をとると，

RealPart{ψ2(x, y)}=ψh(x)ψh(y) +ψg(x)ψg(y)

となる．このスペクトルを図5.14に示す．図が示すように，RealPart{ψ2(x, y)}^{のスペクトル} も原点を中心に2象限対称なスペクトルとなる．この2 象限対称なスペクトルを逆フーリエ変 換することによって，図5.12の第5図で示されるように，RealPart{ψ₂(x, y)}^は+45^◦ の方向 成分をもつ2次元ウェーブレット関数であることが分かる．同様に，ψ(x) = ψ_h(x) +jψ_g(x)と ϕ(x) =ϕ_h(x) +jϕ_g(x)としてϕ(x)ψ(y)，ψ(x)ϕ(y)，ϕ(x)ψ(y)，ψ(x)ϕ(y)の組み合わせを考える ことで，計6つの異なる方向性を持った2次元実ウェーブレット関数を次式のように得ることがで

Real Part{ }=

図5.14 Real Part{ψ2(x, y)}のスペクトル

きる．

ψ_i(x, y) = 1

√2(ψ_1,i(x, y)−ψ_2,i(x, y)) (5.21) ψi+3(x, y) = 1

√2(ψ1,i(x, y) +ψ2,i(x, y)) (5.22) ここで，i= 1,2,3であり，2次元ウェーブレット基底は同様にして定義される．

ψ_1,1(x, y) =ϕ_h(x)ψ_h(y) , ψ_2,1(x, y) =ϕ_g(x)ψ_g(y) ψ1,2(x, y) =ψh(x)ϕh(y) , ψ2,2(x, y) =ψg(x)ϕg(y)

ψ1,3(x, y) =ψh(x)ψh(y) , ψ2,3(x, y) =ψg(x)ψg(y) (5.23) ここで √¹

2 により，正規化を行っている．

以上より，2次元DTCWTは，図5.12に示されるような，6つの方向を持つ2次元ウェーブ レット関数を持つことが分かった．これはDWTよりも多方向のエッジ成分を分離して取り扱う ことができることを示しており，画像処理を行う上で非常に有効である．

DWTと同様，テスト画像Zone plate にDTCWTを用いて変換した結果画像を図5.15に示 す．DWTとは異なりDTCWTは高い方向分解能を持つため，Zone plateを6方向のエッジ成分 +15^◦，+45^◦，+75^◦，−15^◦，−45^◦，−75^◦に分解できていることが分かる．

5.3 従来法：全域通過フィルタを用いた Dual-Tree 複素ウェーブ

ドキュメント内 ウェーブレット変換・フィルタバンクの 高次元化と画像処理への応用 (ページ 78-85)