コサイン・サイン変調フィルタバンク - ウェーブレット変換・フィルタバンクの高次元化と画像処理への応用

(a)第1フィルタバンク

(b)第2フィルタバンク図6.7 4分割DTCWT

割M間引きECMFBを考える．サブバンドフィルタを{Hm⁽¹⁾(z), Hm⁽²⁾(z), G⁽¹⁾m(z), G⁽²⁾m(z)}^とすると











H₀⁽¹⁾(z) :=√¹ 2U0(z)

Hm⁽¹⁾(z) :=¹₂(Um(z) +U₋m(z)) H_M⁽¹⁾(z) :=√¹

2UM(z)

Hm⁽²⁾(z) :=−^j₂z⁻^M(U_m(z)−U₋_m(z)) {

G⁽¹⁾m(z) :=z⁻^(N^+M⁾H˜m⁽¹⁾(z)

G⁽²⁾m(z) :=z⁻^(N^+M⁾H˜m⁽²⁾(z) . (6.16)

と表せる．X(z)とY(z)を冗長ECMFBの入力と出力とするとY(z)は Y(z) =

M∑−1 ℓ=0

1 M

( _M

∑

m=0

H_m⁽¹⁾(zW_M^ℓ )G⁽¹⁾_m(z) +

M∑−1 m=1

H_m⁽²⁾(zW_M^ℓ )G⁽²⁾_m(z) )

X(zW_M^ℓ )

M∑−1 ℓ=0

Yℓ(z)X(zW_M^ℓ ). (6.17)

のように書き表すことができる．式(6.16)を式(6.17)に代入し，(W_M^ℓ )^M = 1の関係を使うと, Y₀(z)とY₁(z)は

Y0(z) =2z⁻^(L+M) M

2M∑−1 m=0

Um(z) ˜Um(z)

Yℓ(z) =2z⁻^(L+M) M

2M∑−1 m=0

Um(zW_M^ℓ ) ˜Um(z) (ℓ̸= 0) (6.18)

と書ける．{Hm⁽¹⁾(z), Hm⁽²⁾(z), G⁽¹⁾m(z), G⁽²⁾m(z)}は交換条件から完全再構成フィルタバンクを与えるから,Y0(z) =z⁻^p (∃p∈Z)，Yℓ(z) = 0(ℓ̸= 0)となる．

次に, {Hm⁽¹⁾(z), Hm^′⁽²⁾(z), G^′m⁽¹⁾(z), G^′m⁽²⁾(z)}^をz⁻^M を{Hm⁽²⁾(z), G⁽¹⁾m(z), G⁽²⁾m(z)}^{から取り除} いたフィルタ群とする:











H₀⁽¹⁾(z) := √¹ 2U0(z)

Hm⁽¹⁾(z) := ¹₂(Uk(z) +U₋k(z)) H_M⁽¹⁾(z) := √¹

2UM(z)

Hm^′⁽²⁾(z) :=−^j₂(U_k(z)−U₋_k(z)) {

G^′m⁽¹⁾(z) :=z⁻^NH˜m⁽¹⁾(z)

G^′m⁽²⁾(z) :=z⁻^NH˜m^′⁽²⁾(z) , (6.19)

このとき，このシステムが完全再構成を満たすことを示せばよい．Y^′(z)を{Hm⁽¹⁾(z), Hm^′⁽²⁾(z), G^′m⁽¹⁾(z), G^′m⁽²⁾(z)} によって復元された信号とすると，前述と同様に:

Y^′(z) =

M∑−1 ℓ=0

1 M

( _M

∑

m=0

H_m⁽¹⁾(zW_M^ℓ )G^′_m⁽¹⁾(z) +

M∑−1 m=1

H_m^′⁽²⁾(zW_M^ℓ )G^′_m⁽²⁾(z) )

X(zW_M^ℓ )

M∑−1 ℓ=0

Y_ℓ^′(z)X(zW_M^ℓ ). (6.20)

と書ける．式(6.19)を代入し，Y₀^′(z) =z⁻^MYℓ(z) =z⁻^p，Y_ℓ^′(z) =Yℓ(z) = 0 (∀ℓ)と導かれる．

即ち{Hm⁽¹⁾(z), Hm^′⁽²⁾(z), G^′m⁽¹⁾(z), G^′m⁽²⁾(z)}^{は遅延要素}z⁻^M を取り除いて完全再構成を満たすことが示された．

図6.8 OCSMFBのシステム構造

{Hm⁽¹⁾(z), Hm⁽²⁾(z)}^を，式(6.19)のように，











H₀⁽¹⁾(z) := √¹ 2U0(z)

Hm⁽¹⁾(z) := ¹₂(U_k(z) +U₋_k(z)) H_M⁽¹⁾(z) := √¹

2UM(z)

Hm⁽²⁾(z) :=−^j₂(U_k(z)−U₋_k(z))

(6.21)

と置く．対応するフィルタ係数{h⁽¹⁾m(n), h⁽²⁾m(z)}を時間領域において表現すると，











h⁽¹⁾₀ (n) := √¹ 2p(n) h⁽¹⁾m(n) :=√

2p(n) cos(_π

Mmn) h⁽¹⁾_M(n) := √¹

2(−1)ⁿp(n) h⁽²⁾m(n) :=√

2p(n) sin(_π

Mmn)

(6.22)

となり，プロトタイプフィルタp(n)とcos項の積，またはプロトタイプフィルタp(n)とsin項の積によって，すべてのサブバンドフィルタが設計できることが分かる．本論文では，このフィルタバンクのクラスを偶数型コサイン・サイン変調フィルタバンク（Even-type Cosine-Sine Modulated Filter Bank：ECSMFB）と呼ぶ．

6.3.2 奇数型コサイン・サイン変調フィルタバンク

前節では偶数型のコサイン・サイン変調フィルタバンクを構成した．同様に奇数型変調方式に基づく奇数型コサイン・サイン変調フィルタバンク（Odd-type CSMFB：OCSMFB）を構成することができる．

式（6.7）のcosをsinとしたものを並列に配したフィルタバンクを図6.8に示す．

{

h⁽¹⁾m(n) := 2p(n) cos(

(2m+ 1)_2M^π (

n−^N₂⁻¹) +θm

) h⁽²⁾m(n) := 2p(n) sin(

(2m+ 1)_2M^π (

n−^N⁻₂¹) +θ_m) {

gm⁽¹⁾(n) := 2p(n) cos(

(2m+ 1)_2M^π (

n−^N₂⁻¹)

−θm

) gm⁽²⁾(n) := 2p(n) sin(

(2m+ 1)_2M^π (

n−^N⁻₂¹)

−θm

) (6.23)

ただしm= 0, . . . , M−1，θ_m= (−1)^{m π}₄，p(n)はプロトタイプフィルタである. 同様に，z領域では

{

Hm⁽¹⁾(z) :=c_mU_m(z) +c_mV_m(z) Hm⁽²⁾(z) :=−j(c_mU_m(z)−c_mV_m(z)) Um(z) =P

( zW^m+

1 2

)

, Vm(z) =P (

zW⁻^(m+

1 2) 2M

)

G⁽¹⁾_m(z) =z^N⁻¹H_m⁽¹⁾(z), G⁽²⁾_m(z) =z^N⁻¹H_m⁽²⁾(z). (6.24) と書ける．ここでcm = e^jθ^mW(^m+¹₂)^N−1₂

2M ．ここでE⁽¹⁾(z)とE⁽²⁾(z) を第1 フィルタバンクと第2フィルタバンクのポリフェーズ行列とすると，式(6.24)より， E⁽²⁾(z) = ΛE˜⁽¹⁾(z)を満たす（Λ := diag((−1)^m) (0 ≤ m ≤ M −1)）．よって第 1 フィルタバンクが完全再構成 E˜⁽¹⁾(z)E⁽¹⁾(z) =Iを満たしているとき，第2フィルタバンクも自動的に完全再構成を満たす．

6.3.3 コサイン・サイン変調フィルタバンクのシフト不変性

本章では提案法として導かれた2つのクラスOCSMFBとECSMFBのシフト不変性について議論する．一般にシフト不変性とは入力X(z)がシフトしたサンプル数だけ出力もシフトするシステムの性質をいう．z領域では

Y_r(z) =z⁻^rY(z), (6.25)

と定式化される．ただしr∈Z^{はシフト量，}Yr(z)はrサンプルシフトされた入力に対する出力を示す．

M 分割DTCWTにおいてはシフト不変性が以下の意味で成り立つ [108]．図6.9のように，

原信号をrサンプルシフトさせた信号 Xr(z)をM 分割DTCWTに入力し，指定されたレベル数分の変換を行う（ただし，図6.9では2レベルの変換を行っている）．更に，第1フィルタバンク及び第2フィルタバンクの，J レベルにおけるm番目のサブバンドを通過した信号を Sm,r⁽¹⁾(z)，Sm,r⁽²⁾(z)とし，2つの信号の和をとる(Sm,r⁽¹⁾(z) +Sm,r⁽²⁾(z))．この時，M 分割DTCWT は，S_m,0⁽¹⁾(z) +S_m,0⁽²⁾(z)とSm,r⁽¹⁾(z) +Sm,r⁽²⁾(z)に関して，

S⁽¹⁾_m,r(z) +S_m,r⁽²⁾(z) =z⁻^r(S_m,0⁽¹⁾(z) +S_m,0⁽²⁾(z)) (6.26) が成立する．また図6.9に示されているJ レベルm番目の帯域のみに着目し，2.2.2節で述べたフィルタとダウンサンプリングまたはアップサンプリングの等価交換を行うと，図6.10のように表すことができる．ここでHm^(1,J)(z)，Hm^(2,J)(z)，G^(1,J)m (z)そしてG^(2,J)m (z)はJ 分割レベルの m番目の帯域に対応するフィルタであると仮定すると，次のように表される[5]:

H_m^(1,J)(z) = (_J₋₂

∏

n=0

H₀⁽¹⁾(z^Mⁿ) )

H_m⁽¹⁾(z^M^J−1) H_m^(2,J)(z) =H₀^(2,J⁻¹⁾(z)H_m⁽²⁾(z^M^J−1)

G^(1,J)_m (z) = (_J₋₂

∏

n=0

G⁽¹⁾₀ (z^Mⁿ) )

G⁽¹⁾_m(z^M^J⁻¹)

G^(2,J)_m (z) =G^(2,J₀ ⁻¹⁾(z)G⁽²⁾_m(z^M^J−1). (6.27)

図6.9 シフト不変性に関する信号の入力出力図．Xr(z)をrサンプルシフトされた入力信号

（r= 0は原信号を表すとする．）とする．Xr(z)を入力する時，任意の分割レベルJにおける，

任意の帯域m∈[0,· · ·, M−1]（図において，濃色の実線で示されている帯域）において，第 1フィルタバンクからの出力Sm,r^(1,J)(z)及び第2フィルタバンクからの出力Sm,r^(2,J)(z)の和で生成されたS^(1,J)m,r (z) +Sm,r^(2,J)(z)はシフト不変となる．（ただし図ではJ = 2，m= 1の場合が示されている．）

Sm^(1,J)とSm^(2,J)を第1フィルタバンク及び第2フィルタバンクにおけるJレベルm番目のサブバ

ンド信号とすると

S_m^(1,J)(z) = 1 M^J

M∑^J−1 ℓ=0

P_m,ℓ^(J)(z)X(zW_M^ℓJ) (6.28)

S_m^(2,J)(z) = 1 M^J

M∑^J−1 ℓ=0

Q^(J)_m,ℓ(z)X(zW_M^ℓ J), (6.29)

と書き表せる．ここでP_m,ℓ^(J)(z) =Hm^(1,J)(zW_M^ℓ J)G^(1,J)m (z)，Q^(J)_m,ℓ(z) =Hm^(2,J⁾(zW_M^ℓJ)G^(2,J)m (z) である. この表現を用いると，M 分割DTCWTのシフト不変性のための条件は

H_m^(1,J)(zW_M^ℓJ)G^(2,J_m ⁾(z) +H_m^(2,J)(zW_M^ℓJ)G^(2,J_m ⁾(z)≈0 (6.30) の形に書き表すことができる[108]．

以下では，ECSMFB及びOCSMFBに関して，M 分割DTCWTと同様にしてシフト不変性が成立することを示す．

偶数型

ECSMFBのシフト不変性に関しては次の定理が成立する．

図6.10 図6.9の分割レベルJ・帯域m∈(0,· · ·, M−1)におけるサブバンドフィルタ・ダウンサンプリング・アップサンプリングを等価変換したシステム

定理7. ECSMFBのプロトタイプフィルタの周波数応答がP(

e^jω)

⊂[−_M^π,_M^π]と制限されているならば，シフト不変性が成り立つ．

証明. まず，m= 1,· · · , M−1のサブバンドに関して考える．この場合のシフト不変性は次式で定式化される．

S_m,r^(1,J⁾(z) +S_m,r^(2,J)(z) =z⁻^r(S_m,0^(1,J)(z) +S_m,0^(2,J)(z)), (6.31) ここで∀r∈Z^，Sm,r^(1,J)(z)及びSm,r^(2,J)(z)はrサンプルシフトした入力に対する第一システム・第二システムのm番目のサブバンド信号である．あるℓでW_M^ℓ _J ̸= 1となるからSm^(1,J)(z) +Sm^(2,J)(z) がシフト不変性を持つならば，以下の式が成り立つことが必要十分である．

H_m^(1,J)(zW_M^ℓ J)G^(2,J)_m (z) +H_m^(2,J)(zW_M^ℓ J)G^(2,J)_m (z)≈0 (6.32) Um^(J)(z)とU₋^(J)_m(z)を

U_m^(J)(z) :=H₀^(1,J⁻¹⁾(z)Um(z^M^J−1)

U₋^(J)_m(z) :=H₀^(1,J⁻¹⁾(z)U₋m(z^M^J⁻¹) (6.33) のようにおくと式(6.27)は以下となる．

H_m^(1,J)(z) =U_m^(J)(z) +U₋^(J)_m(z),

H_m^(2,J)(z) =j(U_m^(J)(z)−U₋^(J)_m(z)). (6.34)

式(6.34)を式(6.32)に代入すれば，シフト不変性に対する必要十分条件は

U_m^(J)(zW_M^ℓ J) ˜U_m^(J)(z) +U₋^(J)_m(zW_M^ℓ J) ˜U₋^(J)_m(z)≈0. (6.35) となる．プロトタイプフィルタの周波数応答に関する仮定(supp[

P(e^jω)]

⊂ [−_M^π,_M^π])より，

Um^(J)(zW_M^ℓJ)とU˜m^(J)(z)の台は supp

[ U_m^(J)(

e^jωW_M^ℓJ

)]⊂[ π

M^J(m−1 + 2ℓ), π

M^J(m+ 1 + 2ℓ) ]

, supp

[U˜_m^(J)( e^jω)]

⊂[ π

M^J(m−1), π

M^J(m+ 1) ]

. (6.36)

となる．よって式(6.36)より，式(6.35)の左辺第1項“Um^(J)(zW_M^ℓJ) ˜Um^(J)(z)”は1≤m≤M^J−1 の時に0となる．同様に(6.35)の左辺第2項も1≤ℓ≤M^J−1の時に0となる．したがって, (6.32)が示された．

図6.11 分割レベルJ 番目における帯域m = 0 or M 番目の入力出力の関係図．ただし，

Xr(z)はrサンプルシフトされた入力信号(r= 0は原信号を表すとする．)，Sm,r^(1,J)(z)は入力信号Xr(z)に対する出力信号．

m= 0, Mの場合，H₀(z)とH_M(z)はm= 1,· · ·, M−1の場合のように，対となるフィルタを持たない．よってこの場合のシフト不変性は，図6.11のようにサブバンド信号Sm^(1,J)(z)のみで成立する．この場合のシフト不変性の条件(6.32)は次式の通りになる．

H_m^(1,J)(zW_M^ℓ J)G^(1,J)_m (z)≈0. (6.37) 同様の議論で，Hm^(1,J)(zW_M^ℓ J)G^(1,J)m (z)≈0 (1≤ℓ≤M^J−1)が示される. よってECSMFBはシフト不変性を有することが証明された．

奇数型

次にOCSMFBについても議論する．この場合もやはり

S_m,r^(1,J)(z) +S_m,r^(2,J)(z) =z⁻^r(S_m,0^(1,J)(z) +S^(2,J)_m,0 (z)), (6.38) が成り立つことがシフト不変性のための必要十分条件である．ただし∀r∈Z^{はシフト量，}Sm,r^(1,J)(z)

とSm,r^(2,J)(z)はrサンプルシフトされた入力信号に対する，第1フィルタバンク，第2フィルタバ

ンクのJ レベル・帯域m番目のサブバンド信号を示す（図6.10）．あるℓに対してW_M^ℓ _J ̸= 1であるから，Sm^(1,J)(z) +Sm^(2,J⁾(z)がシフト不変となるための必要十分条件は

H_m^(1,J)(zW_M^ℓJ)G^(1,J_m ⁾(z) +H_m^(2,J)(zW_M^ℓJ)G^(2,J_m ⁾(z)≈0 (6.39) である．式(6.24)から，シフト不変性のための必要十分条件(6.39)は以下のように変形することができる．

U_m(zW_M^ℓJ) ˜U_m(z) +V_m(zW_M^ℓJ) ˜V_m(z)≈0. (6.40) プロトタイプフィルタの周波数応答に関する仮定supp [P(ω)]⊂[−_M^π,_M^π]より, U_m(zW_M^ℓJ)と U˜m(z)の台は，

supp[ Um

(e^jωW_M^ℓ J

)]⊂ [ π

M^J (

m−1 2 + 2ℓ

) , π

M^J (

m+3 2+ 2ℓ

)]

, supp

[U˜m

(e^jω)]

⊂ [ π

M^J(m−1 2), π

M^J(m+3 2)

]

. (6.41)

となる．式(6.41)より,式(6.40)の左辺第1項“U_m(zW_M^ℓ_J) ˜U_m(z)”は1≤m≤M^J−1の時0 となる. 同様に,式(6.40)の左辺第2項“V_m(zW_M^ℓJ) ˜V_m(z)”も1≤ℓ≤M^J−1の時0となる. ゆ

えに式(6.39)が成り立つことが証明された．

以上より以下の定理が証明された．

定理 8. OCSMFBのプロトタイプフィルタの周波数応答P(

e^jω)

が[−_M^π,_M^π]に制限されるときシフト不変性を満たす．

6.3.4 コサイン・サイン変調フィルタバンクの方向分解能

本節では提案法として導かれた2つのクラスOCSMFBとECSMFBの方向分解能について議論する．

偶数型

始めにECSMFBの方向分解能について議論する．2M 分割M 間引きECSMFBを考える．

m∈ {1. . . M −1}^に対して, Hm⁽¹⁾(e^jω)とHm⁽²⁾(e^jω)を式(6.15)のように定義する．このとき Um(e^jω)及びU₋m(e^jω)は次式で表される．

U_m(e^jω) =2(H_m⁽¹⁾(e^jω) +jH_m⁽²⁾(e^jω)),

U₋_m(e^jω) =2(H_m⁽¹⁾(e^jω)−jH_m⁽²⁾(e^jω)). (6.42) U_m(e^jω)とU₋_m(e^jω)は共に正または負の領域にのみ周波数応答を持つフィルタとなる．

ここで入力 X(e^jω¹, e^jω²)Y_±_p,_±_q(e^jω¹, e^jω²)を(±p,±q)番目のサブバンド信号とする．更に U_±p,±q(e^jω¹, e^jω²) := U_±p(e^jω¹)U_±q(e^jω²)を(±p,±q)番目のサブバンドに対応するフィルタとする．ただし，p, q= 1, . . . M−1．このときYp,q(e^jω¹, e^jω²)は以下のように表すことができる．

Yp,q(e^jω¹, e^jω²)

=Up(e^jω¹)Uq(e^jω²)X(e^jω¹, e^jω²)

=4(H_p,q^R (e^jω¹, e^jω²) +jH_p,q^I (e^jω¹, e^jω²))X(e^jω¹, e^jω²),

H_p,q^R (e^jω¹, e^jω²) =H_p⁽¹⁾(e^jω¹)H_q⁽¹⁾(e^jω²)−H_p⁽²⁾(e^jω¹)H_q⁽²⁾(e^jω²),

H_p,q^I (e^jω¹, e^jω²) =H_p⁽¹⁾(e^jω¹)H_q⁽²⁾(e^jω²) +H_p⁽²⁾(e^jω¹)H_q⁽¹⁾(e^jω²). (6.43) Yp,−q(e^jω¹, e^jω²)も同様に表すことができる．Yp,q(e^jω¹, e^jω²)とYp,−q(e^jω¹, e^jω²)は唯一つの象限にのみ周波数応答を持つ信号となる．実際に信号yp,q(n1, n2)とyp,−q(n1, n2) は図6.12(a)が示す変換によって取得される．この信号の実部をとれば(図6.12(b): 左), その周波数応答は原点対称となる(図6.12(b): 右)．これはDTCWTと同様に水平・鉛直方向以外の斜め成分を抽出できるということを意味しECSMFBが高い方向分解能を持つことが分かる．

ただしH₀(z)とH_M(z)は対となるフィルタを持たないのでM + 1分割ECSMFBは0^◦, 90^◦ 及び2(M −1)²の方向成分を取得できることになる．

奇数型

次に OCSMFB の場合を考える．同様に M 分割 OCSMFB が与えられたとする．m ∈ {0. . . M−1}^に対してHm⁽¹⁾(e^jω)とHm⁽²⁾(e^jω)を式(6.24)のように定義する. このときUm(e^jω) とVm(e^jω)は

Um(e^jω) =1

2(H_m⁽¹⁾(e^jω) +jH_m⁽²⁾(e^jω)), Vm(e^jω) =1

2(H_m⁽¹⁾(e^jω)−jH_m⁽²⁾(e^jω)). (6.44) と書ける．Um(e^jω)とVm(e^jω)は先ほどと同様，正または負の領域にのみ周波数応答を持つフィルタである．

再び，Y_±_p,_±_q(e^jω) := Y_±_p,_±_q(e^jω¹, e^jω²)を入力X(e^jω)に対する(±p,±q)番目のサブバンド信号とし，U_±_p,_±_q(e^jω) :=U_±_p(e^jω¹)U_±_q(e^jω²)を(±p,±q)番目のサブバンドに対応するフィルタとする．ただし，p, q= 0, . . . M−1である．このときY_p,q(e^jω)は

Yp,q(e^jω) =Up(e^jω¹)Uq(e^jω²)X(e^jω)

=4(H_p,q^R (e^jω) +jH_p,q^I (e^jω))X(e^jω),

H_p,q^R (e^jω) =H_p⁽¹⁾(e^jω¹)H_q⁽¹⁾(e^jω²)−H_p⁽²⁾(e^jω¹)H_q⁽²⁾(e^jω²),

H_p,q^I (e^jω) =H_p⁽¹⁾(e^jω¹)H_q⁽²⁾(e^jω²) +H_p⁽²⁾(e^jω¹)H_q⁽¹⁾(e^jω²). (6.45) と表される．Y_p,₋_q(e^jω)も同様に表される．Y_p,q(e^jω)とY_p,₋_q(e^jω)はやはり唯一つの象限に周波数応答を持つ．サブバンド信号y_p,q(n₁, n₂)とy_p,₋_q(n₁, n₂)は図6.13のように取得される．実部を取ることで(図6.13: 左), 周波数応答は原点対称となり(Fig. 6.13: 右)やはりOCSMFBも高い方向分解能を持つことが分かる．

ドキュメント内ウェーブレット変換・フィルタバンクの高次元化と画像処理への応用 (ページ 106-114)