のときに限られる．
Σ舞、eq・
【証明】 関数ψ：［0，00）→Rを，ψ（勾＝・耐09￠（￠＞0），ψ（0）＝0と定義すると，連続 1
な狭義の凸関数となる．簡単のために，5「駕 とおく．
Σ雛、θq
命題A・1・3の（A・4）において・α・一5・・い・一葺とみなすことにより・
れ
ψ（5）一ψ（3ΣP・）一ψ（碁3・鴨）
れ
≦Σ脚（P茗εq ） （A・7）
ゴニ1
となる．従って，ψ（勾＝耐og￠より，
3b93≦茎鴫bg舞一書3勉（bg勉一q∂
1
を得る．更に，3＝
より，
Σ盤、e9・
bg（ 1Σ⊃牲1θq ）≦茎醜圃
となり，
れ れ
1・9（Σ・qう≧ΣP・（一1・9P・＋q∂
乞＝1 盛＝1 が得られる．
次に，関数ψ（￠）は狭義の凸関数だから，命題A．1．3より（A．7）において，等号が成立する のは，すべての込が定数むに等しいときである．よって，
εqゴ
れ
1一ΣPゴー暑鴫一・穀♂ゴ
となる・従って・・一
ｰ云凶より・等号条件｝隔Σ毒となる・ ・
A．2 定理3．3．2の補足
本節は，3．3節定理3．3．2の証明で詳しく述べなかった内容を補足することを目的とする．
なお，本節で使用される記号等はすべて定理3．3．2で扱ったものと同じものとする．
Xをバナッハ空間とする．Xの部分集合κが相対コンパクト集合であるとは，κの閉包
πがコンパクト集合となるものをいう．最初に，アスコリーアルツェラ（Ascoli−Arzela）の定 理を思い起こす．定理A．2．1 （アスコリーアルツェラの定理）
［α，司⊂Rを有界閉区間とする．0（［α，6Dの集合Bが相対コンパクトであるための必要十 分条件は次の2つの条件が成立することである．
1）（一様有界性） ある定数ん≧0が存在して，すべてのg∈Bに対してllgll。。≦んが成り
立つ．
2）（同程度連続性） 任意のε＞0に対して，あるδ＞0が存在して，どのg∈Bに対して
も，1オー閃くδを満たす任意の孟，オ ∈［α，6］に対してlg（オ）一g（のkεが成り立つ．
【証明】 〉大石進一［15］第2章第2節定理2．11参女 口
まず，定理3．3．2の1）の証明において
B＝｛g∈0（E）：任意の￠，y∈Eに対して，β≦g＠）≦1かつg＠）≦gωeαiτ瑚｝
と定義した際，この集合βが凸集合で，アスコリーアルツェラの定理の条件を満たすことを
見る．
一様有界性については集合βの定義から明らかに成り立つ．次に，Bが同程度連続性を
満足することを示す．βの定義から任意の∬，シ∈Eに対して，g（の≦gωθα1￠副が成り立 つ．この各辺からg（のを減ずることで，g（④一g（の≦g（ッ）｛eα1砂畷一1｝を得る．ところが，0＜β≦g（ッ）≦1であるからg＠）一g（の≦｛θα1￠一雪L1｝となる．￠とッは任意だから，￠とッ を入れ換えることで，g（勾一9ω≧一｛εα1卯一・1−1｝となる．従って，この2つの不等式から 19＠）一9ωi≦eα1￠一・L1
を得る．ここで，臆の，〉。に対してδ一lo9（ε＋1）とおくと，どの9∈Bに対しても
α1￠一甥くδを満足する任意の￠，ッ∈Eに対して，lg＠）一g（ッ）1＜εが成り立つ．よって， Bは 同程度連続性を満足する．更に，Bはその定義から閉集合となる．従って，集合Bは0（E）
のlI・il。。一コンパクト部分集合となる．
．8が凸集合であることを示す．任意のg1，g2∈Bと0≦孟≦1に対して，オg1＋（1一のg2∈
o（E）であることは明らかである・また，βの条件から塀≦オ91（の≦オが成り立つ．同様に
（1一オ）β≦（1一オ）g2（勾≦（1 彫）も成り立つ．この2つの不等式の辺々を加えあわせることで β≦オg1（の＋（レオ）g2＠）≦1となる．更に， Bのもう1つの条件から，孟g1＠）≦オg1（ッ）eα1 一M と（1一舌）92（の≦（1一加2ωeα1￠矧が成り立つ・そこで，この2つの不等式の辺々を加え あわせることで，孟g1＠）十（1一オ）g2（￠）≦（軌（の十（1一加2ω））eα1増1となる．従って，
孟g1十（1一オ）g2∈Bとなり， Bは凸集合である．
定理3．3．2の2）の証明の補足をおこなう．まず，用語について説明しておく．
A．
82 Xを線形空間として，写像∫：X→Rが線形性をもっているとき，すなわち
∫（賜十 ）＝∫（賜）十ノ（u） （賜，u∈x）
∫（α賜）＝α∫（賜） （α∈R，鴛∈x）
が成り立つとき，∫はXにおける線形汎関数という．更に，Xを線形位相空間とするとき，
X上の連続な線形汎関数の全体をX＊で表し，Xの共役空間あるいは双対空間という．
また，Xをノルム空間， X＊をその共役空間とするとき，0の基本近傍系として，任意に有 限個のXの要素銑，￠2，．．．，賜およびε＞0に対して，
｛∫∈X ＊：げ（ωのi＜ε，々＝1，2，．．．，η｝
で得られる集合全体を考える．これによって導入されるX＊の位相を＊弱位相という．
補足すべき内容を確認しておく．ωは1）で扱ったものとして，測度の集合瀕を 躍≡｛μ：5μ（μ）⊂E，／卿一1｝
で定義する．ル1を0（E）＊の部分集合とみなす，このとき，躍が凸集合で，＊弱位相で0（E）＊
のコンパクト部分集合であることを示す．
コンパクト性については，1）と同様にアスコリーアルツェラの定理を利用して証明をおこ なう．一様有界性については，ω∈βであるから，Bの条件より0＜β≦ω＠）≦1が成り 立つ・また・μ∈洞より／二一1となる・よって・llμII・・≦んを齪するん≧・1ま明らか に存在する．従って，ル1は一様有界性を満足する．次に，同程度連続性については，コン パクト集合E上の連続関数であるμ∈ル｛⊂0（E）＊は一様連続であり，明らかに同程度連続 性を満足する．また，潮はその作り方より閉集合でもある．従って，瀕は＊弱位相で0（E）＊
のコンパクト部分集合となる．
次に，ルfが凸集合であることは，0≦オ≦1と任意のμ1，μ2∈Mに対して，診μ1＋（1一オ）μ2∈
洞が調できればよい・可測関数の積分の定義に立ち返ることで／ω嘔＋（1一オ）μ・）一1
が成り立ち，オμ1＋（1一オ）μ2∈ル｛が得られる．
A．3 定理4．3．4の補足
本節では，4．3節定理4．3．4の証明において，煩雑となるために省略した式変形を述べる．
なお，本節で使用される記号等はすべて定理4。3．4で扱ったものと同じものとする．
残された内容は，不等式
鵜ご1鵬il卵＠剃
（∫ん）（∫鳶） （￠＋）・（の⇒面≦∠驚1鵬1卵＠の脚＋妬
を示すことである．いま，（4．31）より，￠＋，飢∈瓦・、o君・、 o…o瓦・ん（β（∫鳶（勾，e一f・））に対し て，（4．28）を用いることで，
1・gl鍔；i紹15≦ん・・（i畑一一1＋1飼一匹1）
となり，
iil箸；i紹18≦・xp｛ん・・（陶一飼i脚）一ノ・＠⇒1）｝ （A・8）
を得る．従って，∫鳶（勾，∫た（￠＋）∈β（井（∬），e噸）より，忌無げた（餌）一！た（剛＝0となるこ とに注意すれば，
無・xp｛ん・・（1！ん叫）イ鳶（勾1＋1飼一ハ・一）D｝一1 となる．そこで，ε夷＞0として，
・xp｛鳶・・（げ鳶（・＋）一∫鳶＠）田飼一茄．）D｝一・＋・傷
とおけば，η→○。で￠とんに依存することなく一様にε夷＼0となる．従って，（A．8）より，
lll；；1紹［≦1＋・夷 （A・9）
を得る．また，
鵜ご1糊1♂聯，e一つ）llli；紹r面 （A・1・）
≦1蕉購1！μ（β（剛ll箸；i紹r4・1（Aユ1）
＋馬飼1♂獅，・一・））ll寡；i紹r磁（Aユ2）
＋i烈灘．）1♂・μ（B圃）lilli；i紹154・1（A・13）
となる．ここで，（A．11）と（A．13）は，η→oOでたと￠に依存することなく一様に0に収束 することに注意しておく．更に，（A．12）は（A．9）を用いることで，
二二1鵬11げ聯，・一つ）lll；二割≦∠緊二ご鵬1げ・μ（恥一・））（1＋・傷）畝
一∠瓢ご瞬時1ゲ・μ（β（￠，e一つ）伽
＋・夷鵜頴鵬げ・μ（B（・，・一w
となる．従って，上式の後ろの項と（A．11），（A．13）をまとめてε。とおけば，（A．10）は
濫凝糊1〜聯・・一つ）lll；1紹1ε面≦ゐ案即下1♂・μ（四一・））帆
となる．
A．
84
附記
本論文に使用した図の出典は次の通りである。
1）図1．2：文献κ訊Fα1coηer［6］より引用
2）図12を除くすべての図．：文献κJFαJcoηeγ［71より引用
なお，図2．1に関しては，筆者の判断により，文献κ．」∴FαJcoηεd7］の原図に補助線を書 き加えたものを用いた．
［1］Tim Bed表）rd and Albert M． Fisher：Analogues of the Lebesgue density theorem fbr fract翫l sets of reals and integers， Proc． Londoll Math． Soc．，（3）64ラ（1992），95−124
［2］Rufus Bowen：Equilibrium States alld the Ergodic Theory of Anosov Differmorphisms，
Lecture Noもes ill Mathematics，470， Springer−V6rlag，1975
［3］Colleen D． Cutler：Strong aRd weak duality p血ciples fbr fractal dimension in Euclidean space， Math． Proc． Camb． PhiL Soc．，118，（1995），393−410
［4】RoberもL． Devaney： AF三rst Course in Chaosもic Dynamical Systems：Theory and Experiment， Addison−W6sley PubHshing Company，1992．：ロバート・L・デバニー：
カオス力学系の基礎（重本和泰他一訳），星雲社，1997
［5］：Kenneth J． Falconer：The Geometry of Fr翫ctal Sets， Cambridge University Press，1985：
：K．J．ファルコナー：フラクタル集合の幾何学（畑 政義訳），近代科学社，1989
［6］Kenneth J． Falconer：Fractal Geometry〈Mathe皿atical Fbundations and ApPlicat三〇ns＞，
John Wiley＆Sons，1990
［7】K：enneもh J． Falconer：艶chniques in Fractal Geometry， John Wiley＆Sons，1996
［8］Edward N． Lorenz： Deterministic Nonperiodic Flow， J．Atmospheric Sciences，20，
（1963），130−14！
［9］Benoit B。Mandelbrot：The丘actal Geometry of Nature， W．H．Freeman and Company，
N．Y．，1982：B．B。マンデルブロー：フラクタル幾何学（広中平祐監訳），日経サイエンス，
1985
［10］David Ruelle：Thermodynamic Formalism：the M翫thematical Structures of C1翫ssical Equilibrium Statistical Mechanics， Addison−Wesley，1978
［111猪狩 慢：実解析入門，岩波書店，1996
［12］石村貞夫，石村園子：フラクタル数学，東京図書，1990
［13］伊藤清三：ルベーグ積分入門，裳華房，1963
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