・xp（3、φ（・））・xp（3m．、φ（∫鳶（・）））
5％∈x、・∫拠（。）＝ω
となる．従って，もしyが悉の任意の点であれば，（3．4）より，
μ鵬（x韮b）≦exp（5・φω）Σ。xp（3鳳φ（ノ・（∬）））≦，・μ鵬（Xi）
e 5襯 。∈x、，∫狐（。）＝ω
3．熱力学形式論
42
となる．この式を書き換えると，井：照→Xは全単射だから，μml弄）≦禦ω）ぶ幽噛φ￠））≦輔）
となり，（3．9）より，
μ賜1弄）≦寄・xp蜘）≦・・μ隅（X・）
となる．従って，（3．10）よg，
μ書 ）≦exp（蔑φω）≦…μ賜（X・）
となる．このことは，すべてのm≧んに対して成立するので，｛μm嬬＝1の弱収束する部分 列に対しても成立し，μに対しても成立する．従って，
μ髪）≦exp（3たφω5海）≦…μ（瓦）
となり，
藷≦讐絆））≦〜嘱
を得る．ここで各辺の逆数をとり，exp色P（φ））を掛けることで，
exp（んP（φ））＜μ（Xi）exp（んP（φ））〈ε26 exp（んP（φ））
e265ん 一 exp（5鳶φω） 一 5た
となる．従って，（3．11）より，
⊥＜ μ（x・） ＜，・・
e3ら一exp（5「たφ（y）一んP（φ）） ｝
を得る．ここで，αo＝e36とおくことで（3．7）が得られる． ロ
（3．6）で定義した数P（φ）をφの圧力という．また，あるαo＞0に対して（3．7）を満足す る測度μを，φに関するギップス（Gibbs）測度という．この定義よりφに関する任意な2つ のギップス測度は同値となることが分かる．また，クッキー・カッター集合は，ギップス測 度の台となることが分かった．
3．2 次元公式
適当なリプシッツ関数φを選ぶことによって，圧力に関する式を満たす点から，クッキー・
カッター集合Eのハウスドルフ次元に関する次元公式を導くことができる．
いま，8∈Rに対して，
φ（￠）＝一510glノ （￠）1 （3．12）
とする．更に，5を変数とする圧力関数P（一510gl∫ Dを考える．このとき，定理3．1．2の（3．6）
は，任意の￠i∈Xiに対して，（3．2），（2．15），更に（2．17）を利用することで，
P（一bglプD一心去bg黒蜘（・・））
一越g晶晶（た一1Σφ（∫ゴ＠i）ゴ＝0））
一無去bg三論（鳶一1Σ一・1・gl∫ （ノゴ（・・ゴ＝0）） （3・13）
一志lbg黒脚（一bgl（飾・）D
一半玉bg盈1（∫り （必i）1州 （3・14）
一無卦bg愚IX・ド （3ユ5）
となる．
補題3．2．1 5∈B，δ＞0に対して，
0＜m・≡。晶、109げ （勾i≦、，∈緊8x、1091胴1≡㎜・＜。○
とすれば，
一δm、≦P（一（・＋δ）1・91∫ 1）一P（一・1・9げ D≦一δm、 （3．16）
が成り立つ．特に，P（一510gl∫ Dは， lim P（一810gl！ D＝○○，limP（一510gl∫ D＝一〇Q 5→○○
お
となり，βに関して真に減少しかつ連続となる．
【証明】 δ＞0に対して，（3．13）を利用することで
P（一（5十δ）10g11 1）魂1臓卿（慧一圃bgl偽））［）
≦無lbg黒卿（た一1Σ一・1・gげ （∫ゴ（瓢iゴ＝0））1一δ縞）
一回目bg裁鉢P（ん一1Σ一・1・g融∫ゴ＠・）ゴ＝0）瞬一δ編））
一瞬bg黒卿（た一1Σ一・1・gl∫ （ノゴ（・iゴ＝0））1）画
二 ∫）（一510gl∫ノD一δm1
となる．すなわち，
P（一（5十δ）logl∫ D−P（一810gIノ 1）≦一δm1
3．熱力学形式論
44
取一3㎏サ，1）
童092
0 d血HE 8
0
図3．1：クッキー・カッター系における圧力関数一P（一510gl∫ 1）のグラフ を得る．同様にして，
P（一（5十δ）10gl∫ D−P（一5109｝∫ ！）≧一δη②2
もまた得られる。従って，（3．16）が成り立つ．このことは，関数P（一510gi∫ Dの平均変化率 が常に負であるを意味し，その結果，関数P（一510gげ 1）は3に関して常に減少する．また，
（3．16）は，関数P（一810g［∫ 1）が連続になることも示している． ロ
従って，関数P（一510gIノ 1）のグラフは，図3．1で表された形となる．特に，P（一510gl∫ノD＝0 となる唯一の正の数5が存在する．この数sが，クッキー・カッター集合Eのハウスドルフ 次元となることが次の定理から分かる．
定理3．2．2 5を
P（一510glプソ1）＝・0 （3．17）
を満足する唯一の実数とする．このとき，dimH E＝5，0＜籍（E）＜○○が成り立つ．更に，
雑のEへの制限はギップス測度となり，特に，すべてのi∈姦とすべての鳶に対して
阯≦瑠∩溝）≦。、1鶉1・ （3．18）
α1
を満足する数α1＞0が存在する．
【証明】 5は（3．17）によって与えられたものとする．この5に対して，φ（の＝一510giノ ＠）1 とおくと，（2．13＞で見たようにφはりプシッツ関数である．ここで，μを定理3．1．2によって 与えられたギップス測度とする．このとき，P（φ）＝oより，（3．7）は，すべてのi∈1鳶とす べてのんに対して，∬∈X孟ならば
ゐ≦；畿養））≦・・
となる．また，（3．2）より，
ん た ユ
・xp（3・φ＠））一exp（Σφ（∫ゴ（・）））一・xp（Σ一・1・91！ （∫ゴ（・））D ゴ＝0 ゴ＝0
だから，
一とく μ（Xi）
≦αo
・b一・xp（一・Σ1；δ1・gl！ （∫ゴ（勾）1）
となる．更に，連鎖律（2．15）より，
毒≦。xp（ μ（Xi）一510gl（∫和） （￠）1）≦・・
となり，
毒≦i（繍．。≦・・
を得る．この不等式に（2．17）を用いて，α2＝α06δとおけば，
毒≦灘≦・・ （3・19）
となる．従って，μはすべτの区間渇において｝Xi15と同等の評価をもつ測度である．更に，
μはギップス測度より，Eに台をもつ確率測度でもある．
次に，測度μがE上のハウスドルフ測度と関係付けられることを有界歪曲原理を用いて確
かめる．。∈翫く週とする．そして，B團は二曲，長さ2。の区間としてμ（B團）
の評価をおこなう．（2．6）より，
。∈x1−x、1≦。＜凶
Cminとなる熱と凪を見つけることができる（系2・24の証明参照）・従って・λ一
增Em㎞とおけ砂ま（2．23）より，
μ（β（￠，λr））≦μ（x玉）≦μ（β（￠，r））
となり，（3．19）は，
μ（β（￠，λγ））
≦IXi15≦α2μ（β（￠の）
α2
となる．この不等式を変形していくと，
謡矯≦μ（lXi13B＠の）≦・・≦㌘鵠鍔
となり，
α2μ（B＠の）
μ（B（コじ，λγ））
IXiド lXiド≦μ（B（ωの）≦
μ（B（￠，λγ））
α2μ（β（諮，r））
3．熱力学形式論
46 が点る・更に・IX・1≦・＜豊と煮＞1より・
癩農蕩））〆＜μ（β（切）≦篇瓢尉 ＜，煮鴛鴇留））〆
となる．従って，すべての￠∈Eと十分に小さいγに対して，
T3
瓦くμ（B圃）＜6・・3 （3・20）
となるある定数62＞0が存在する．この不等式に命題1．6．3を用いることで，