＝ 一んB
ニ 一んB
蕊｛幅断艶論）｝＋㎏bgz壽
、蕊｛bg團一㍗））断警翻｝＋㎏bgZ￡
蕊｛109（exp（一sE㌃1，ぎ2，．．．，残））鄭象励）｝
夙蕊卵象融））bgz蕉
一一 ?ﾗ呼争論）bg断饗融）
となる・従って・邸ﾛ晶）が・配 唖瞬・，纏率であることに注意すれば
3．4節で定義した力学系のエントロピーと酷似した鳶項列（Z1，Z2，… ，Zん）からなる系のエント ロピー5の式を得る．
クッキー・カッター力学系で扱われる公式や関係のうち，統計力学と対応するものは以 下の通りである．
統計力学 力学系
有限粒子配列 区間Xi
無限粒子配列 Eの点
エネルギーEi 5ゆ（の
温度の逆数 次元8
分配関数Z薙 和Σexp低φ（￠i））
i∈」為
圧力1）、 位相的な圧力P（φ）
配列のギヅプス分布 E上のギップス測度μ．
圧力ゼロを与える反発子の次元（（3．17）参照）が，温度の逆数に対応するというのは不 適当であるが，力学系の多くの特徴は統計力学と類似点をもっている．従って，統計力学と 対比することは，力学系の研究をすすめていく上で有益なものである．
エルゴード理論と呼ばれる数学分野は，19世紀後半にオーストリアの物理学者ボルツマン
（LBoltzmann）が，統計力学を構築する際，その基礎的仮説として提唱したエルゴード仮説 と呼ばれるものを，数学的に厳密に証明しようとした試みから出発している．今日では，統 計力学とは直接関係があるわけではなく，可測力学系を研究の対象とする分野として位置づ けられている．ちなみに，エルゴードとは，ギリシャ語のエルゴンとオードを組み合わせた 造語で，前者が仕事を，後者は路を意味している．
本章では，4．1節で確率論と力学系における最も基本的でかつ重要な結果のひとつである，
エルゴード定理を証明する．4．2節では，エルゴード定理の簡単な応用例として力学系のリア ポノブ（：Liapounov）指数について述べる．これは，力学系における初期条件のわずかな差 が，時間とともに拡大（もしくは縮小）していく度合いを表すものである．このリアポノブ 指数の存在を，エルゴード定理を用いて証明する．更に，4．3節では，1992年にベドフォー
ド（T．Bedford）とフィッシャー（A．Fisher）によって導入された平均密度について述べる．
フラクタル集合に対して一般には密度は存在しないが，平均密度の方はクッキー・カッター 集合を含めた多くのフラクタル集合に対して，その存在が明らかにされている．本節では，
平均密度を定義した後，カントール3進集合とクッキー・カッター集合の平均密度が存在す ることを，エルゴード定理を用いて証明する．
4．1 エルゴード理論
エルゴード定理を定式化するために，次のような設定をおこなっておく．集合X⊂R篇と
写像∫：X→X，更にX上の有限測度μが与えられているものとする．また，すべての可
測集合A⊂Xに対して，逆像∫｝1（A）は可測であるとして，μ（！一1（孟））＝μ（遵） （4ユ）
を仮定する．すなわち，μは∫の下で不変であると仮定する．このような∫を，μに関する保 測写像という．このとき，条件（4．1）は，すべての可測関数g：X→Rに対して
／9（・）姻一／9（∫（・・））4μ（の （4．2）
61
4．エルゴード理論とフラクタル
62
と同値である．
前章で述べた通り，測度μが！に関してエルゴード的であるとは，∫に関して！一1（A）＝A の意味で不変となるすべての可測集合A⊂Xが，μ（助＝0またはμ（X＼、4）＝0のどちらか
になることである．もし，μがエルゴード的であり，関数φ：X→Rがすべての￠∈Xに
対してφ（の＝φ（∫（￠））となる可測関数であるならば，ほとんどすべての￠に対して
φ（∬）＝λ （4．3）
となる数λが存在する（白石謙一，青木統夫［22］第8章第22節注意22．3参照）．
∫：X一→Xを力学系とみなせば，ん回反復∫ん＠）は，時間0で位置ωにあった微粒子の時
間鳶の位置を表すことになる．関数φ：X→Rに対して，微粒子の最初の位置￠から数え て時融までの姻の位置によって与えられるφの時間平均 圏?j）として考
える．エルゴード定理は，ほとんどすべての点￠に対して，これらの時間平均が，た→OQと した極限に近づくことを主張するものである．更に，μがエルゴード的であるならば，この 鰍は・に依存することなく・φの空間平均ゐφ（艸ωに等しくなる・従って・エ・レゴー
ド的である場合には，ほとんどすべての最初の点コじに対して，φの時間平均がφの空間平均 に等しくなる．
定理4．1．1（エルゴード定理）
関数∫：X→Xとする．μをノの下で不変なX上の有限測度とする．更に，可測関数
φ∈双X）とする・このとき・μ一ほとんどすべての灘に対して・極限Φω≡環嵩φ（爾） （44）
は存在する．更に，μがエルゴード的であるならば，μ一ほとんどすべての￠に対して，
Φ（・）一歯ゐφ（艸ω （4・5）
が成り立つ．
【証明】 最初に，簡単のため，ある数Mに対してすべての諮∈Xで1φ（釧≦Mとなるこ
とを前提として証明を与える．また，φの時間平均をψ）一1嵩φ（爾） （46）
と書き，更に，
石＠）＝1玉msupαた（勾 ん・→QO
と書くことにする．証明のポイントは，任意のε＞0に対して，
／δ（脚）≦／φ＠）4μ（・）＋・ （4．7）
を示すことである．これを誕明するために，
γ＠）≡㎡n｛た＞o：α鳶ω≧石（の）一ε｝
を定義する．そうすれば，石の定義からすべての。じに対して丁（のく○。となる．もし，幸いにし てすべての￠に対してτ（勾≦TとなるT＜。。が存在するならば，和（4．6）は各ブロックの中で ゴにわたったφ（∫ゴ（の）の平均が少なくともδ（の一εとなる，長さが高々Tのブロックに分割され
る．より正確にいえば，各∬で，￠＝1，2，．．．に対してん1＝7（の，鳥＝7（ノ南1＋た2＋．● 械一1（￠））に よって帰納的に列（んbん2，＿）を定義する．そうすれば，すべてのんに対して頑勾＝δ（∫筆））
となることより，第傷ブロックでは，
んユキた キ キんユ
Σ φ（！ゴ（の）一島蝋轡鳶2＋ 『＋ん・一1（・））
ゴ＝鳶1十鳶2十…十極一1
≧島（厨（∫婦2＋ ＋鳶洞（・））一・）
＝傷（石（勿一ε）
が成り立つ．よって，ゴにわたって和をとることで，
た1十ゐ2十… 十ん 一1
Σφ（∫」＠））≧（た、＋鳶、＋…＋た∂（ψ）一ε）
ゴ＝0
を得る．だから，ん＝属＋碗＋…＋傷のときはいつでも，
ん ユ
Σφ（∫ゴω）≧晦（・）一・）
ゴ＝0
（4。8）
となる．一般には，任意の整数鳶に対して，紐＋海2＋…＋秘≦たとなる最大の￠を考え，
ん1＋ん2＋…＋傷項の和と比較すれば，0＜ん一（た1十ん2十・…十島）≦7から，
ゐ た キん キ ゆキんぎ ん
Σφ（∫ゴ（・・））＝ Σ φ（∫ゴ＠））＋ Σ φ（∫ゴ（・））
ゴニ0 ゴ＝0 ゴ＝鳶1十た2十…十彪
ん ユ
≧（た1十ん2十… →一傷）（石（の一・）＋Σφ（！ゴ（ω））
ゴ＝：ん1十た2十…十醜 ≧（ん一丁）（石（ω）一ε）一TM を得る．そこで両辺を積分することで，
／舞φ（爾脚）≧／（（た一聯）一・綱卿）
となる．更に（4．2）を用いることで，
ん ユ
／Σφ（・・）卿）≧／（圃（δ（・）一・）一晦（の
4．エルゴード理論とフラクタル
64
となり，
／蜘）帥）≧ノ（（た一丁）（石（・）一・）一盟）鯛 を得る．よって，
／φ（の4μ（∬）≧／剛一・）4μ（・）一去ノ聯）一・脚）一去加姻
において，海→○○を考えることで，
／φ（・）4μ＠）≧価）一・）4μ（勾
となる・μが報測度より・／・卿）を・と置き直すことで・
加州≦ノφ（・卿）＋・
となり，この場合は（4．7）が示される．
次に，7＠）が有界でない場合を考える＿4≡麺：τ（の＞T｝として，μ（A）＜εとなる十分 に大きなT（≧1）を選び，
伽）一｛φ（灘幽
でφ＊：X→Rを定義する．そうすることで，A上のφを修正する．硫は，（4．6）でφをφ＊
でおきかえたもので定義し，更に，
ア＊（￠）＝min｛鳶＞0・α露＠）≧石（勾一ε｝
を定義すれば，∬∈孟に対してT＊（勾＝1より，すべての即に対してτ＊（の≦Tとなる．従っ て・前半と同様にすることで・κ一／4μ（・）とおくと・
／石（卿（躯／（♂（・）＋・）4μ（の 一／岬μ（・）＋κ・
一／φ（・）輌＋ム岡一φ（・））帥）＋κ・
≦／φ（榊）＋五げ（蜘）＋1ゑφ（の4μ（卵κ・
≦／φ（卿（・）＋（2M＋κ）・
となる．εは任意に小さく取れるのだから（4．7）を得る．よって，εは任意だから，（4．7）より
／ψ脚）≦／φ卿・）
が得られる．
また・ψ）一1鴨fα・㈲とおき・同様にしていくことで
／φ＠輌≦ノψ脚）
が得られる．この結果，
／酬μ＠）≦μ）4μ＠）
となり，
／（五（・）一旦＠））帥）≦o
が導かれる．よって，δ（勾一己コじ）≧0より，ほとんどすべてのωに対して石＠）＝藪のとな る．従って，この共通の値が極限（4．4）と等しくなる．
最後に，
聯））…＠）曙φ（齢）））一1嵩φ（飼）
一去（φ幽）一φ（・・））
より，どちらかの極限が存在するときはいつでも，Φげ（￠））＝Φ（勾となる．従って，もしμ がエルゴード的であるならば，（4．3）より，ほとんどすべての￠でΦ＠）＝λとなるある数λ が存在する．収束定理とμの不変性を用いることで，
λμ（x）一義Φω輌
一編嵩φ（爾脚）
一鳳1慧φ（爾）卿）
一ゐφ（卿（勾
が得られ，ほとんどすべての￠に対して（4．5）が成り立つ． ロ
系4．1．2 関数∫：X→Xとし，μを∫の下で不変なX上の有限測度とする．また，η＝
1，2，．．．に対して可測関数φ。∈双X）とする．更に，すべての正の整数んとη並びにすべて のの∈Xに対して，
1φ。（∫た（・））一φ。＋、＠）kεπ （4．9）
を仮定する．ただし，ε．＼0とする．このとき，μ一ほとんどすべての」じに対して，極限
Φ唄蝪慧媚は存在する・更1らμがエルゴード的である蝋Φ￠）はほと
んどいたるところ定数となる．
【証明】 m≧1，η≧1に対して，
m諾1姻コm曙姻 （4・1・）
4．エルゴード理論とフラクタル
66
＋m皆野（φ。＋た（￠）一砺（胴）） （41・）＋野州蜘） （4．12）
となる．ηを固定してm→Ooとすると，（4．10）はほとんどすべてのωに対して0となる．ま
た，（4．11）に（4．9）を用いることで，
癒慧（φ。＋鳶（ω）一森（飼））＜m転替一m寄ηら→砺（m→・・）
と
癒慧（偏・）一砺幽））〉癒冨（一妬）一詣（一砺）＋砺（m→・・）
が得られる．更に，エルゴード定理（定理4．1．1）より，m→oOとすると（4．12）は，ほとん どすべての∬である数に収束する．いま，このある数を軌＠）で表すことにすれば，
m書癖》（畑）→Φ糞（勾（m→・・）
となる．従って，ほとんどすべての￠に対して，
Φ夷＠）一。。くli曲f⊥努φ、（。）≦1玉m，up主努φ、（。，）＜蜘）＋επ 盟→Oo
m鳶＝o m→oo mた＝0
となる．ここで，η→○○とすれば，ほとんどすべての灘に対して
鳳慧姻一編Φ盃￠）≡Φω
が成り立つ．また，μがエルゴード的であるならば，エルゴード定理（定理4．1．1）によって 軌＠）は，ほとんどいたるところ定数となるのだから，Φ（勾もまた，ほとんどいたるとこ ろ定数となる． ロ
4．2 リアポノブ指数
エルゴード定理の簡単な応用に力学系のリアポノブ指数がある．リアポノブ指数とは，初 期条件のわずかな差が，時間オの指数関数exp＠）で増幅するときの係数αのことである．