3．熱力学形式論
46 が点る・更に・IX・1≦・＜豊と煮＞1より・
癩農蕩））〆＜μ（β（切）≦篇瓢尉 ＜，煮鴛鴇留））〆
となる．従って，すべての￠∈Eと十分に小さいγに対して，
T3
瓦くμ（B圃）＜6・・3 （3・20）
となるある定数62＞0が存在する．この不等式に命題1．6．3を用いることで，
3．3 不変測度と移送作用素
クッキー・カッター集合Eに台をもつ測度μが，クッキー・カッター関数ずの下で不変で あるとは，すべての連続関数g：E→Rに対して，
／9（！（・））卿）一／9（の4μ＠） （3・21）
を満足するときにいう．このことは，すべてのボレル集合Aに対して，μ（∫一1（A））＝μ（A）
と同値である．
φ：E→Rを（3．12）で定義したリプシッツ関数とする．また，0（E）はE上の実数値連続 関数のなすベクトル空間とする．このとき，移送作用素（transfer operator）Lφ：σ（E）→
0（E）を，
（Lφ9）ω一9（凡＠））・φ（荊（卯））＋9（乃（・））・φ（乃（ ）） （322）
＝Σ9ω・φω （3．23）
写：∫（Ψ）＝￠
で定義する．ここで，F1，瑞は2章で定義した∫の2つの逆対応である．この作用素五φは線 形かつ正である．ここで言う，作用素ゐφが正であるとは，すべての∬∈Eに対してg（の＞0 ならば，すべての∬∈Eに対して（五φg）（勾＞0になっていることである．五φをん回反復す ることを雌で表すことにすれば，（3．22）の置換を繰り返すことで，
（L＄9）＠）一 Σ9（瓦1・瓦、・…・馳））・xp（φ（瓦1・君、・・一・へ（勾）
（ゴ1，歪2，＿，勉）∈1鳶
＋φ（1弓20∫弓、o… 01㌃ん（ω））＋… ＋φ（瓦k（認）））
＝ Σ 9（瓦、。昂・2・…・へ（∬））・xp（3・φ（瓦、・罵、・…・へ（の））
（づ1，ゴ2，＿，秘）∈1「ん
（3．24）
となる．
∫と五φを関係付ける次の式は役立つことが多い．いま，g1，g2∈σ（E）とする．このとき，
（Lφ（（9、・∫）・9、））（・）一Σ9、（！（恥）））9、（恥））・φ（恥））
たち
＝Σ91（・）9、（恥））・φ（瓦（置））
ユり
＝ 91（￠）（」乙φ92）（￠） （3．25）
が成り立つ．
移送作用素の主な性質を定理3．32で述べる．なお，証明の中で用いられているll引。。
は最大値ノルムと呼ばれ，任意の9∈0（E）に対して，UgU。。＝max｛19（勾1泌∈E｝で定義
3．熱力学形式論
48
されたものである．連続関数の最大値ノルムによるノルム空間0（E）はバナッハ空間となる
（大石進一［15｝第1章第1節定理1．1）．
定理3．3．2の証明に際し，次の定理33．1を準備しておく．
定理3．3．1 （シャウダー（Schauder）の不動点定理）
Xをバナッハ空間とする．Xの部分集合κをコンパクト凸集合とする．関数留：κ→κ
が連続ならば曽は不動点をもつ．すなわち，曽（勾二￠を満たす￠∈Kが存在する．【証明】 ［〉岡本 久，中村 周［17］第9章第2節定理9．5参照 日 定理3．3．2
1）ωが固有値λに対するLφの固有関数となるような，λ＞0とすべての￠∈Eに対して
ω（の＞0を満足するω∈0（E）が存在する．すなわち，一乙φtσ＝λω （3．26）
が成り立つ．
2）すべてのg∈0（E）に対して，
／（Lφ9）4μ一λ／卿 （3・27）
となるEに台をもつボレル確率測度μが存在する．
3）すべてのg∈0（E）に対して，
／ψ一／卿 （3・28）
で定義されたE上の測度レは，∫の下で不変である．なお，ωは1）のもので，μは2）のも
のである．
【証明】（1）の証明）φはりプシッツ関数だから，ゴ＝1，2に対して，
exp（1φ（瓦（￠））一φ（瓦（シ））D≦exp（α1ω一ツ1） （￠，y∈E） （3．29）
を満足する十分に大きな数α＞0が存在する．Cm。。＜1は，（2。4）で扱ったものとする．
αCm。、＋α≦αを満足するα＞0を固定する．また， lElをEの直径とし，β＝e一α同＞0と する．更に，
B＝｛g∈0（E）：任意の躍，ン∈Eに対して，β≦g（の≦1かつg（勾≦gωeα1卯潮｝
を定義する．このとき，βは凸集合で同程度連続な0（E）の部分集合となる（付録A．2参照）．
従って，集合Bはアスコリーアルツェラ（Ascoli−Arzela）の定理（定理A．2．1参照）によって，
0（E）のlI・1∞一コンパクト部分集合となる．
次に，正規化されたゐφがBをそれ自身の中へ写すことを示し，シャウダーの不動点定理 を用いて不動点が存在することを確認する．いま，g∈βとすれば，
0＜9（・）≦9（y）・α1剛＠，y∈E） （3．30）
を満足する．このとき，（2。4）よりz，ン∈Eならば概（￠）一E（y）1≦Cm。x拶一シ！となること
と，（3．22），（3．29）より，
（ゐφ9）（勾篇Σ9（瓦（ω））・φ（胴）
ゴニム
≦Σ9（瓦ω）・α1四一嗣1・φ（恥））
ゴニユサ
≦Σ9（鞠））・α￠一x回・φ（恥））
まニユリ
≦Σ9（鞠））eαC…圓・φ（Eω）eψ一〃1 をコユシ
＝（五φ9）ω・（αc−x＋α）1砂一〃1
≦・α國（ゐφ9）（の （3．31）
を得る．
肚の正規化された写像を嗣＠）一 gll留で定義すると・（331）より
（賜9）＠）≦・ψ一・1（乃9）（y）
となる．また，II乃gll。。＝1だから，すべてのy∈Eに対して β一・一司Ei≦（為9）ω≦1
となる．よって，窃はコンパクト凸集合Bをそれ自身の中へ写している．従って，シャウ ダーの不動点定理により窃ω＝ωとなるω∈βが存在する．ここで，λ＝llLφ剛。。とおけ ば結果が得られる．
（2）の証明） ωは1）で扱ったものとする．測度の集合洞を 潮≡｛μ・・μ（μ）⊂E，／卿＝1｝
と定義する．0（E）＊を，E上の符号つき測度と同一視される0（E）上の連続線形関数の空間 とし，層をその部分集合とみなす・σ（E）＊上定義された五φの双対写像萄を9∈0（E）に対
して，
／94（乃ちμ）一／（五・9）4μ （3・32）
で定義する．このとき，μ∈ルfに対して，
／ω4（1x五あμ）一ノ去（五・ω）4μ一／卿一1
3．熱力学形式論
50 が成り立つ・従って・趣畑をそれ自身の中一騎また・瀕は凸集合となり・・真弓位
相でσ（E）＊のコンパクト部分集合となる（付録A．2参照）．よって，シャウダーの不動点定 理より・趣一μとなる測度μ∈洞が存在する・従って・（3・32）を利用することで・
／（L・卿一／購μ）一／gd（λμ）一λ／卿 が成り立つ．
（3）の証明） 9∈0（E）とする・このとき，（3．25）から（328）までを利用することで
／9（ψ（・）一／9（ψ（・）4μ（の 一命／9＠）（五φω）（卿（勾
山鼠／（ゐφ（（9・∫）・ω））（の4μ（の
一ノ（（9・ノ）（ψω）卿）
一ノ（9。∫）（ψ（の 一／9（ル））如）
が成り立つ．従って，（3．28）より定義されたE上の測度μは，∫の下で不変である． 口
次の定理は，移送作用素が圧力P（φ）と密接に関係していることを示している．すなわ ち，定理3．3．2の固有値λが，exp P（φ）と等しいことを示している・また，定理3．3．2で定義
したμとレが，φに関するギップス測度となることも次の定理から分かる。
定理3．3．3 λ，μ並びにレを定理3．3，2で扱ったものとすれば，logλ＝P（φ）が成り立ち，
μ，レは，共にφに関するギップス測度となる．従って，μ，レはE上のボレル確率測度であ
り，ある数αo＞oが存在して，すべてのんとi∈互に対して，z∈Xiならば
毒≦頗一轟聯）），噸一町3綱≦％ （3鋤
となる．更に，測度μは！の下で不変であり，測度μはすべてのボレル集合孟⊂Eとん＝
1，2，．．．に対して，
μ（畑）一・鳶P（φ）ゑ・xp（一難）4μ（の （3・34）
を満足する．
【証明】 集合Aの定義関数：を1Aと書くことにする． i＝伍，￠2，＿，勾∈1たとする．罵、 o 罵20…O乃k＠〉∈X歪1，歪，，＿，盛んは，ブ1＝嘱ブ2＝￠2，＿，ブた＝嘱のときに限られるのだから，
（3。24）を用いれば，ム⊂Xづ、，62，＿4ん∩Eに対して，
五参（θ一5たφ（τ）1・（・））＝exp（一3・φ（瓦、・瓦、・…吸＠）））1・（E1。瓦、・…・へ（の）
×exp（5たφ（瓦、0瓦20一・01弓・ゐ（の））
＝ 1λ（瓦、o罵、○…oへ（勾）
＝1∫鳶㈲ω
となる．従って，積分と（3．27）をん回使用することで
＝ （3．35）
を得る．このことは，i∈互に対してX1∩Eに含まれた任意のボレル集合孟で成立してい
る，従って，各小区間iで定義された（3．35）を加え合わせることによって，任意のボレル集 合A⊂Eに対しても（3．35）は成立する．A＝Xi∩Eとして（3．35）を（3．4）に用いれば，す べてのッ∈Xiに対して，き≦。識1））≦・・ （鋤
となる．この不等式の逆数を考え，更にi∈1鳶にわたって和をとることで，
蓋μ警i）≦黒煙雫（ンi））≦混媚）
となり，
μ（湘））冨／1鯛（・）4μ（の
μ（・一5・φ＠）1・（の）4μ（・）
λソ・姻1・ω姻
λ仏・一3・φ（置）卿）
bgλ＋去bgΣμ肇i）≦lbg黒瀬（3んφω）≦bgλ＋lbg愚姻
となる。ここで，ん→○○として（3．6）と比較すればP（φ）＝logλが得られる．従って，λL
exp（んP（φ））より， （3．35）轟ま
μ（舳）一λん五・xp（一亀φ（・）脚）
一・嗣五・xp（一3んφ（勾）4μ（の
となり，（3。34）が得られる．また，（3．36）に酢＝exp硫P（φ））を用いることで，
主く μ（Xi） ＜eb
eb一・xp（一んP（φ）＋5んφω）一
（3．37）
3．熱力学形式論 52 が得られる・更に・（3・28）に0＜1暑￡ψ）≦饗馨ω（・）＜・・を肺 ることで・
幅ψ））μ（Xi）≦μ（Xi）≦（謬ψ））μ（Xi）
を得る．従って，μとμは同値な測度である．この不等式をexp（一㌃一P（φ）＋亀φ（∬））で割って，
（3．37）を利用することで，
inち∈多ψ）≦exp（ μ（Xi）一んP（φ）＋3鳶φ（∬））≦轡（・）
を得る．よって，適当なαo＞0が存在して，（3．33）を満足する．従って，μ，レは共にφに関
するギップス測度となる． ロ
先送りされていた定理3．1．22）の証明は，定理3。3．3のμでた＝1のときが，定理3．1．22）
のα）に該当し，また，定理3．3．3のレは定理3．1．22）の6）に該当するようにとられており証 明を終えている．
ギップス測度の重要な性質にエルゴード性がある．測度μが∫に関してエルゴード的であ るとは，∫に関してノー1（孟）＝孟の意味で不変となるすべての可測集合丑⊂Xが，μ（紛＝0 またはμ（X＼、4）＝0のどちらかになるときにいう．
もし，Aが不変集合であるならば， A＝∩ノーた（A）⊂∩ノーん（X）＝Eとなる．従って，
たコ たニむ
．4⊂Eとなる．更に，、4＝U瓦三〇瓦、O…Oへ（A）だから，孟∩X｝＝瓦、0瓦、。…0凡（A）
i∈1ん
と
ノ鳶（ノ4∩Xi）＝ノ4 （3，38）
が成り立つ．
系3．3．4 63．7／を満足する任意のギップス測度μは，ノに関してエルゴード的である．
【証明】 μを，（3．34）を満足する定理3．3，3の測度とする．．4が不変集合であれば．4⊂Eと なる・そして，（3．38）と（3．34）によって，すべてのi∈1んに対して，
μ（、4）一μ（舳X・））一・鳶P（臨、exp（一5・φ（勾）4μ（の
となる．この結果を，（3．4）の左側の不等式の変形に用いることで，
き・たP（φ）蘇。xp（最φ＠））4μ（・）≦e鳶P（の塩exp（孟φ（シ））輌
より，
禦≦♂P（φ酬偏μ＠）
が得られ，
禦≦…（φ）一5・φωμ（孟∩Xi）
ε
となる．同様にして，蓋を不変集合Eに置き換えて，（3．4）の右側の不等式を変形すれば，
・鳶P（φ）一3・φωμ（E∩渇）≦・6μ（E）一・う
となる．従って，すべてのXiに対して，
μ（A）μ（Xi）＝μ（孟）μ（E∩Xi）
≦・beんP（φ）一3・φωμ（孟∩Xi）μ（E∩靖）
≦e2bμ（A∩Xi）
となる．｛Xi∩E：i∈∫ん，た＝0，1，＿｝はEのボレル部分集合を生成するのだから，すべて
のボレル集合B⊂Eに対して，
μ（A）μ（B）≦61うμ（A∩B）
となる．いま，B＝E＼Aとすることで，
μ凶μ（E＼助≦・2うμ（舶（E＼A））＝〜うμ（の）＝0
となる．従って，μ（A）＝0またはμ（E＼A）＝0となる．更に，与えられたφに関するμと異な る任意の他のギップス測度レは，定義（3．7）より（L9）の意味でμと同値になる．従って，もし
、4が不変集合であるならば，任意のギップス測度レもまた，μ（A）＝0またはμ（E＼。4）＝0と なる．よって，（3．7）を満足する任意のギップス測度は∫に関して，エルゴード的となる． □
この節の結果のひとつとして，ギップス測度は∫の下で不変かつエルゴード的となるよう に選べることが分かった．この結果は，次章エルゴード理論で特に重要となる．
3．4 エントロピーと変分原理
そもそもエントロピーという概念は，熱力学第二法則を説明するためにクラウジウス（R．Clausj により導入されたものである．エントロピーという造語は， en が into を， tropy は ギリシャ語の アρo両 に由来し，英語では turn もしくは change の意味を持つ．力学 系の午ントロピーは，1950年代にコルモゴロフ（A．N．Kolmogorov）とシナイ（Y．G．Sinai）1 によって導入された．このエントロピーは，力学系の反復列の記録から得られる情報の量を 測る尺度といえる．