本章は，次章の熱力学形式論を扱うのに必要となる力学系を準備する．本章以降扱う力学 系は，クッキー・カッター系と呼ばれるものである．前半では，このクッキー・カッター系 を定義し，クッキー・カッター集合と呼ばれる反発子（repeller）の導入をおこなう．これ は，反復関数系で述べたアトラクターに相当するものであり，フラクタル集合となる，後半 では，このクッキー・カッター集合上定義されたりプシッツ関数を用いて，有界変動原理を 述べる．更に，この有界変動原理を利用して，有界歪曲原理を導き出す．この有界歪曲原理 は，ある集合における十分小さな任意の近傍が，過度な歪曲を受けることなく変換されるこ
とによって，その集合のより大きな部分へと写される 概自己相似 な集合の考えを導くも のである，
2．1 クッキー・カッター集合
簡単のために，反復関数系は2つの写像からなるものを扱い，更に，Rの部分集合X上で
考えることにする．とはいえ，これから述べる内容は，Rηの部分集合上へ一般化できるものである．
xを空でない有界な閉区間とし，X1， X2はXの部分集合で互いに素であるとする．ま
た，写像∫：XIUX2→Xは， X1， X2をそれぞれXへ全単射に写すものとする．更に，！は連続導関数をもち，拡大していると仮定する．すなわち，すべてのの∈XIUX2に対して げ （剛＞1を仮定する．この！を使って，点を反復することによって与えられる力学系を 扱っていく．特に，興味を示すべきは，升を∫のん回反復を表すとして，
E二⑫∈X：すべての鳶＝0，1，2，．．に対してノん（勾∈XIUX2｝ （2。1）
となる集合である．すなわち，Eは∫の反復下でXIUX2の中に残った点の集合である． E
は，升の逆像を考えることで，E＝∩！一た（X）と表せる．従って， Eはコンパクト集合か たニリ
らなる減少列の共通集合として表せることより，集合Eはコンパクト集合であり，空集合で はない．明らかに，￠∈Eとノ（の∈Eは同値であることより，
∫（E）＝E＝∫一1（E） （2。2）
28
一 、 m 、 、
、
、
、
1
i 1 ヂ
1 1
8 1
x2 X2
0
④ 1
1
8
輯 ●， 口 E 鱒 一 ●． 囎 覧亀
8 覧
1 、
8 覧
図2・1・関数∫に対する反発子Eの例
となり，Eは∫の下で不変である．更に， Eは次の意味で反発子でもある：どんなにEの近くに ある点であってもEの元でない点は，∫の反復下において，いずれX1uX2の外へ写されてしま
う性質をもつ．実際，図2．1の例では関数∫：XIUX2→［0，1］に対して，集合E＝∩ノーん［0，1］
たニつ
は，ノに対する反発子となり，すべての￠≠Eに対して∫ん（の→一〇〇（ん→oO）となる．
この状態を観察する方法に，反復関数の逆像による考え方がある．いま，F1，凡：x→X
を∫の逆対応による2本の枝として定義する．すなわち，nと凡は， XをX1とX2にそれ
ぞれ全単射に写す，
F、（勾＝がω∩X1，瑞ω＝∫一1（勾∩X、
で定義されるものとする．このとき，
∫ω一儲謝ll：糊 （2．3）
となる4は，コンパクト集合XIUX2上で1／1（z）1＞！となる連続導関数をもつので，すべての
。∈X、UX、に対して，1＜⊥≦1！ （。）1≦⊥．＜。。を満足する蜘く。m、。＜。m。xく1が
じじ の ロ
存在する．また，逆関数、F1，瑞は微分可能で，￠∈Xに対してCmi．≦lFl（の1，1罵（釧≦Cm。。
となることが導かれる．平均値の定理より，ゼ＝1，2に対して，
Cm三n挺一yi≦i瓦（勾一1弓ω）1≦Cmax挺一訓 （￠，㌢∈X） （2．4）
となる．（2．1）から，∫の反発子Eは，
E＝E（E）U」ら（E） （2．5）
2．クッキー・カッターと有界歪曲
30
を満足する．なぜなら，nと瑞はX上の縮小写像であるので，定理L8．3より，等式（2．5）を満足する唯一空でないコンパクト集合Eが存在するからである．従って，∫の反発子Eは IFS｛凡1㌔｝のアトラクタ「である．
1．8節と同じように，反復関数系と結びつけて考えられる区間を，1と2からなる列1ん＝
｛（嘱￠2，．．．，勾：ら＝1又は2｝で表示し，更に，∬＝UIたとする．特に，各i＝（嘱￠2，．．．，毎）
たニむ
に対して，Xi＝＆、，62，＿4た＝瓦、 o瓦、 o…oへ（X）と書く．従って，弛：溜→Xは逆写像
瓦、0瓦、0…oEんによる閉区間とXの間で全単射となる．更に，一般には，各ん≦mに対
して，井：＆玉，ピ、，＿編→X秘＋、隔2，＿嗣も全単射となる．XIUX2⊂Xは互いに素な集合より，すべてのiに対してX｛，1UXI，2⊂瓦も互いに素な集合からなる．従って，疎≡UXi
i∈1鳶とすれば，列｛疎｝鴇。はコンパクト集合の減少列で，琢は2欄の互いに素な閉区間からな
る．（L38）E＝∩疎よりEは演者連結であり，カントール集合と位相同値である．なお，
んコ
全不連結とは，どの連結成分も1点からなる位相空間をいう．
（2．4）を使用することで，すべてのi∈Ia＝1，2に対して，
Cmin lXi l≦lXi訓≦Cmax lXi l （2．6）
となる．
最も騨な駄写像∫・［・，1］U［1，1］→［・，1］に対応する（1・34）カ・らなるIFS｛脇｝で
ある・従っ飯発刊はカントール3進集合となり溜・は長さが艶小区間2・個からな
る．しかしながら，本論文で扱っていくのは，171，乃が必ずしも相似な写像でない場合である．
この節で述べてきた型の力学系∫：X1 u X2→X又は同義となるX上のIFS｛F1，凡｝は，
（本論文の題目に現れる）クッキー・カッター系と称され，集合Eはクッキー・カッター集 合と呼ばれる．一般に，写像F1とF2は相似変換ではなく， Eは 歪められた カントール 集合となる．それにもかかわらず集合Eは おおよそ自己相似 となる．
2．2 有界変動原理と有界歪曲原理
∫：X1 U X2→Xを，前節で述べたIFS｛F1， F2｝と反発子Eに対応したクッキー・カッ
ター系とする．また，φ：XIUX2→Rはりプシッツ関数とする．すなわち，ある数α＞0
が存在して，
1φ（諮）一φω）i≦α1￠一yl （ω，y∈X1uX2） （2．7）
を満足するとする．本論では，ノによる点の連続した反復でのφの値に着目していく．特に，
ん＝1，2，．．。に対して，
3・φωrφ＠）＋φ（！＠））＋φ（∫2＠））＋…＋φ（押（・））
た ユ
＝Σφ（ノゴ（勾） （2．8）
ゴニ0
と書き，これを評価していく．なお，亀φ（勾は，あるi∈1鳶に対して準備された謬∈Xiで 定義されている．もし，切∈Xに対してω＝E、。瓦、。…。1㌦（切ならば，
ゐ
3・φ（瓦1Q瓦、・…。へ（ω））一Σφ＠・君、＋、・・…へ（ω）） （2・9）
ゴ＝1
となる．
命題2．2．1 （有界変動原理）
φ：X→Rを，αをリプシッツ定数に持つリプシッツ関数とする．
1）すべての焉＝1，2，＿とすべての④，乞2，＿擁）∈1たに対して，コじ，〃∈X歪1，2、，＿，2んならば
i3鳶φ（ω）＿5鳶φ（〃）1≦δ （2．10）
を満足する数6が存在する．・
2）更に，一般にすべてのg≧んとすべての（Z1，Z2，。・・ラZq）∈Igに対して，￠， y∈X￠、，ゼ、，＿4，な
6らば
1θ鯛一勒）1≦画IX・・＋1…＋・・…副 （2・11）
を満足する．
【証明】（1）の証明） （2．4）を繰り返し用いることで，すべての（乞1，ち，．．．，勾∈∫に対して，
lX熊、，＿，2」＝1瓦10瓦20…。へ（X）1≦C盆axlXlを得る．もし，ω， y∈X11，ゴ2，＿4彦ならば，
ブ＝0，1，＿み一1に対して，∫ゴ（の，ノゴ（の∈Xl、＋恥＋2，＿，唇鳶である．よって，
iφ（爾）一φ（！ゴω）1≦・1爾イゴω1 ≦・1茂＋。ら＋、，…副
＝α1瓦、＋、○瓦フ＋、o…oへ（X）1 ≦ αc塩蔓lxi
となる．従って，
ん ユ た ユ
13・φ＠）一5・φω｝一1Σφ（！」（・））一Σφ（細）i ゴニ0 ゴ篇0
ん エ
≦Σ1φ（∫ゴ＠））一φ（∫ゴω）1
ご
≦Σ・・認IXI
トむαCmax lXl ≦
1−Cmax
2．クッキー・カッターと有界歪曲
32
αCmax lX 1
とおくことで，（2．10）が得られる．となる．ここで，6＝
1−Cm砥
（2）の証明） ￠，ツ∈Xlf，ゴ2，…，歪ん，＿，ゴ，ならば，ブ＝0，1，＿汐一1に対して・∫ゴ（勾，！ゴ（y）∈
凡フ＋1，ら＋2，＿，毎，．．．ゆすとなる．更に，
1φ（∫ゴ＠））一φ（∫ゴ（シ））1≦αC塩讃X2k＋、擁＋2，＿，ぎql
より，
・・＿IX幅づ、＋、，…，馨，I l5鳶φ（躍）一3たφ（ン）1 ≦
1−Cmax b
＝画IX幅・隔・，…初1
が得られる． E］
ここで，（2．10）を変形した式
き≦il鵠；≦♂ （2・12）
が，しばしば役立つことがあることを注意しておく．
∫：XluX2→Xは，02級であるとする．そうすれば，逆関数F1と凡もまた02級であ
る．このとき，￠∈X1UX2に対して，φ（ω）ニー一logげ （卯）1 （2．13）
を選ぶ■∫ （コ6）1＞0であることより，関数φはXIUX2で有界連続な第1導関数をもつ．平 均値の定理によって，φはりプシッツ条件を満足する．すなわち，（2．13）によって選んだφは
りプシッツ関数となる．
関数の合成語の導関数に対して連鎖律（chain rule）を用いることで，
（∫た） （の＝∫ （！ト1＠））×∫ （∫鳶一2（・））×…×∫ ＠）
を得る．この両辺の絶対値の対数を取ることで，
一1・gl（ハ ＠）｝＝一1・9｝ノ （ノ厨（・））・ノ （ノ鳶㌔））×…×ノ （・）i
ん
＝Σ一1・glノ （∫ゴ（勾）1
ご
＝Σφ（∫ゴ（・））
ゴ＝0 ＝3たφ＠）
（2．14）
（2．15）
（2．16）
を得る（これは，ブ＝0，1，＿四一1で∫ゴ（の∈X、UX、，すなわちの∈U渇のとき成り
立っている）．従って，穐φは似回反復の導関数という点から，熱説明をつける
ことができる．
命題2．2．2 （有界歪曲原理）
すべてのん＝1，2，＿とすべての＠，￠2，．．．，勾∈姦に対して，￠∈X謬、，ゴ、，＿4kならば
よ≦ix−ll（鯛1≦6・ （2・17）
を満足する数60が存在する．更に，升：X茗、，2、，．．4k→Xは，すべてのン， Z∈X耽，．．。 廊に対 して
1午1≦i細一鋼ix−1≦6・ly一・1 （2ユ8）
を満足する．
【証明】 瓦、，歪、，．．4ん＝瓦1。瓦、Q…。君ん（X）とする．このとき，升：濁、，乞2，＿ゆ海→xは微分可能 で全単射である．跳に平均値の定理を利用すると，y， Z∈Xぎ、，ピ、，＿4、に対して，ω∈＆、冨、，．．4ん が存在し，
ノた（y）一∫ゐ（之）＝（2ノーz）（ノん）ノ（ω） （2，19）
を満足する．
今，凡、，客、，＿，ぜたの端点としてシと之を選ぶことで，∫ん（ッ），∫鳶（のはXの端点となる．従って，
あるω0∈Xづ1，ピ2，．．4んに対して，
IXHx、、，、、，…，秘il（∫り （ω。）1 （2．20）
となる．（2．16）を用いて（2．12）の形で有界変動原理を利用すれば，すべての￠∈X師、，．．4海に 対して，
き≦｝鵠！l留1≦♂ （221）
を得る．この結果に，（220）を組み合わせることで，
⊥＜lx肋，…㍊（∫り （釧くeう
θゐ『 IXI 一
となり（2．17）を得る．
次に，（2．21）でω＝ω∈X乞、，ゴ2，＿，毎とおくことで，
歩≦1総収ト・
となり，
尋≦Kノリ ＠川x、1ぬ，＿姦1≦IXIθ・
e
を得る．従って，
學レ。1≦陶イ・（。川x、1翻≦回IXI。・
θ
2．クッキー・カッターと有界歪曲
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となり（2．18）が得られる．なお，60はIXIと6のみに依存している． 口
（2．17）を次のように表現することもある：すべてのω∈Xに対して，
よ≦1（馬。讃警畿γ（、，）1≦妬・
特別な場合として，瓦，馬が相似比C1， C2の相似変換であるとすれば，∫ （￠）はXl・、4、，．．．4ん 上で一定である．しかも，変数はXl、ぬ，＿4み＝C 、q、…QたIXIで減少する．この結果は，反 発子Eが自己相似集合になることを期待させるものである．
有界歪曲原理の有用な点の1つは，各iに対して，Xi，1とx圭，2が，瓦の中で分別よく分 離されていることである．おまけに，Xiはある決まった方法で，次の系で述べられる球（区 間）と比較可能である．
系22．3 Eをクッキー・カッター集合とする．また，4＝d説（X1，X2）とする．
1）すべてのi∈1に対して，
d
蘇IX・1≦劃X・・1，X…）≦IX・1 （2・22）
を満足する．
2）λ一泰とする・すべてのiに対して・薦㈱咽≦・＜豊であるならば
β（∬，λr）∩1ヨ⊂Xi∩五1⊂β（必，γう （2。23）
を満足する．
【証明】（1）の証明） 写像井：Xi→Xは，微分可能で全単射であり，（2．18）を満足する．
ノ鳶（の∈X1，ノた（の∈X2が1∫た（の一井（z）｝＝4を満足するように，シ∈Xi，1， z∈X葦，2を取 れば，（2．18）の右側の不等式より，
響4≦畷脳・）
となり，（2．22）の左側の不等式を得る・更に，Xi⊃Xi，1 U XI，2だから，明らかに（2．22）の右 側の不等式は成り立つ．
（2）の証明）λ一器・酬x汐く鵯より・
4 4
死ix・1・m・・≦λ「＜死IX・i≦4ピ蝋・・X・・）
となり，λr＜d麟（Xi，、，Xi，2）を得る．￠∈Xi∩E，j≠iとなるすべてのj∈1んに対して，
この結果を利用すると，