とな り
,t<:<:で
不適で ある。1l c>α の とき同様 に して αα―わc=1,α
>0,c>0よ
り:一
定 =型 毛穿型 =誰 も <0
とな り
,:<:<tで
不適である。11l c=α の とき
ιの解なしで不適である。
(b)α
ι ― b=― α
+αのときι =:韓 であり
,α>0,c>0,α α ― bc=1
の とき
=一
:=宅 鵠軍 =女 結 >0
:一
==型 場寺型 =詰 も >0
とな るので,石
<留 <:を
満たす。以上 よ り
,求
め る円Dの
接点座標 は(:濯,0)で あ り,有
理 点で あ るこ と が示 された。29
第2章
フォー ドの円 30
２
／ １
＼
／ １
＼
六 昨
２
径ま
の半 円Ｄ 次に
⇒にι =器 を代入して
,× 争キ《―b)2
1 )2
=(t卜
≡ 卜 )2
(α 1
+c)2
つ ま り,γ
=ボ
議 を得 る。最 後 に
,冠
が 既 約 で あ る こ とを示 す。実 際,α(α
+C)+(―
C)(b+α)=αα+αC― Cb― cα =αα一bc=1
な ので
,定
理214よ
り α+cと
b+α は互 い に素 で あ る。以上 よ り
,定
理215が
示 された。□
有理数
:(た
だ し,α,わ ∈Z,α とらは互いに素)に
対 して,中
心の ν座 標が正で,″ 軸 と (:,0)で 接す る半径 券 の円を考 え, これ を θ(:)と書くことにす る。
系
2.1.6:<:で
あ る既約分数:,:(α,C∈ N,b,α ∈Z,α とb,cと αは 互 いに素)に 対 して次が成 り立つ。1:<留 <:で
あ る。2円 θ
(:)とθ
(:)が接するとき
,θ(伊誕
)は "軸,θ(:)とθ
(:)の 3つ に接 す る。
証明
定理
215の
証明 よ り明 らか。□
補題 2.1.7既約分数:,:に対 し,θ(:)と θ(:)が接す るための必要十分 条件 は αα―
bc=±
1を 満 たす こ とであ る。証明
θ(:)と σ(:)の半径 はそれぞれ 券 ,み であ り,接点の π座標 は ,,:
であるか ら,σ(:)と θ(:)が接するとき,2円の半径 の和 券 十分 を斜辺 と し,半径 の差 茅 一み を高 さ,″座標の差￨:一:￨を底辺 とす る直角三角形 に
第2章
フォー ドの 円
31
おいて三平方 の定理 を適用 す る と
,(券
十 寡)2=(券 ̲券 )2+(,̲:)2
で あ り,こ れ を整 理 す る と
(αα―bC)2=1
αα―
bc=±
1を得 る。 また
,逆
に αα―bc=±
1の とき,(αα―bC)2=1
α2c2̲2α
bcα+b2α
2=1
であり,α2c2≠ 0ょ り
,両
辺をα2c2でゎって整理するとα2 2bα ら2 1
c2
αc +7=扉
ワ(:̲̲:)2.(ラ
),一」♭ )2=(;),十 」♭
)27(:̲:)2+(寡 ̲髪 ,)2=券 +姦
とな り
,2円
の中心間の距離 (左辺)が
半径の和 (右辺)と なるので,θ(:)とθ(:)は 接す る。
□
定理
215で
フォー ドの円はすべて θ(:)の形 に表 され ることを示 した。逆 に
,任
意の既約分数:∈Qに
対 して,σ(:)は すべて フオー ドの円の1 つであ るこ とを示 したい。 そのために次 の補題 を用意す る。補題 2.1.8既 約分数 競(m,η ∈
N,0<洗 <1)に
対して次の条件をみた すα,b,c,α ∈Zが
存在する。lα,c,α
>0, b≧
0, 0≦:<北 <:≦
1, αα―bC=1 2
γん=α+C,
η=ろ+α証明
既約分数 荒に対してm,η は互いに素なので
,定
理214よ
りη″ ―mν =1 (23)
となる非負整数 ″,ν が存在 す る。νをπ減 らし,″ を 鶴 減 らして も式 は満 たされ るか ら,(23)は
0<″ <鶴
の範囲で解 をもつ。(″=動
となること第2章
フォー ドの円
はない。実際,そのときηπ一πν
=π
(η―ν)=1と
なるからm=1と
な るが,0<角 <1よ
りそれはありえない。)その解を″=α,ν=bと
する。このときηα―鶴
b=1, 0<α <mと
なる。このときわは,0≦ b<η
である。:と 者の大小関係は b η
=b鶴
― αη=三 <0
α π απ απ
より,五
<荒
である。また,c=π
一α,α =η ―わとお くと, 小関係はα η
竹ズη―
b)一η
(m―α ) α η― bm =満 >0
C m m(π ― α)
これにより
,:>者
を得る。最後に,m(π ― α)
αα―bc=α(η ―b)一 b(π―α)=αη一b鶴
=1
であるので,α,ら,c,α が条件をみたす。
□
定理 2.1.9任 意の既約分数 量
(0<角 <1)に
対 して接点座標(角,0)の 円 θ(洗)が フオド
の円に含まれる。証明
π についての帰納法で示す。
lπ =2の
とき 円はσ(:,0)よ り明 らかに成立する。2π
<た の とき 定理が成 り立つ と仮定 してm=た +1の
ときを考 える。補題
218よ
り,既
約分 数 武が0<万
≒<1)に
対 して,次
の条件 を満 たす α,ら,c,α ∈
Nが
存在 す る。(a)α,C,α
>O b≧
0, 0≦:<芦 <:≦
1, αα―bC=1
(b)た
+1=α
tt c, η=b+α
αα―
bc=1よ
り,:,:は
既約分数 で あ る。 また,た+1=α +cよ
り,:,:の分母 は た以下。よつて,帰納法 の仮定 よ りα :),θ(:)は フオー
ドの円に含まれる。さらに ,0≦ :<青 ≒<:≦
1,α α― bc=1
より
,補
題217か
らθ(:),θ(:)は互いに接 していて た+1=α +
c, η
=b+α
より,系 216の
2か らσ(:),θ(:)の間に階が大 きいフォードの円の
1つとしてθ転綺
)が現れる。 □
32
:と
者の大
第2章
フォー ドの円
系2。1.10任 意の既約分数 競∈
Qに
対して,α
荒)はフオードの円に合まれる。
証明
景∈
Zの
とき,円
σ(角)は第1階の円となり,明
らかに成 り立つ。π ≧2の とき
,既
約分数 者∈Q(m∈
N,η ∈Z)に
対して,た ∈Zとη ′ ∈ Nを 角
=た十霧 ,か つ ,0<霧 <1と なるようにとる。θ
(霧)は定 理 219よ リフォードの円に含まれ
,θ(湯)はこれを″軸方向にた平行移 動したものだから
,θ喘
)もフォードの円に含まれる。 □
2e2 まとめ
第2章か らわか った ことを定理 として ま とめ る。
定理
2.2。1 1{フ オードの円の全体}={θ
(:)￨:∈Q}で ,特 にフォー
ドの円 と有理数 には自然 な全単射が存在 す る。
2既
約分数 を,:∈Qに
対 して,α
:)と σ(:)が接するための必要十分 条件 は αα―わc=±
1を満たす ことであ る。3既
約分数 を,:,荒 ∈Q(α,C,m∈ N,b,α,η ∈Z)に対 して,:<景 <:
かつ
,各
円 θ(:),θ(荒),θ(:)の どれもが互いに接するとき,π =
α tt C,η
=b+α
である。証明
定理
215,補
題217,系 216,2110よ
り明らか。□
33
34