Ｏ 餞

第3章

 

基底 と超基底

3aと a

が それ ぞれ包 括基 底 で あ る こ とをい う。

定理3.3.4a,3が包括基底で

,か

^つ

,a,3,aが

包括超基底であるならば,

ε=α tt bま たはα―bで ある。

証明

 

定理

315と

定義

333よ

り明らか。

       

^□

つまり

,互

いに異なる包括ベクトルa,b,aα についてaと bと

aお

^よ

び

,aと

^εと

^dが

包括超基底であるとき,c,α はα+b,α ―bと なるので,

定理

323よ

_{リノ(α),∫}(b),∫ (C),∫(d)には関係式が成 り立つのである。

3.4  フォー ドの円への追加

形式的に∞ という元を Qに ^加え

^,

Q∪ {∞

}=Q*

とす る。 また

,∞

の既約分数表示 を:また は 子 と定める。^(すなわち,

∞

=:=千

とす る。⁾

フォードの円にν =1と いう直線を加え

, 

この直線をθ

_(∞)(ま

たは θ

_{(:),θ(千))と}

表す。つまり ,フ ォードの円全体は

_{σ(α)lα

∈

_Q*}と

な

り

,フ

ォードの円と

_Q*の

間に自然な全単射が存在する。

以上 の追加 をふ まえて

,定

理

221が

拡張で きることを確か め る。

定理 ^{3。 4。}

1 1既

_{約分数 :,:∈ Q*に}ついて

,円

^θ_{(:)と θ(:)が接 する}

ための必要十分条件 は αα―

bc=±

1を 満たす ことで あ る。

2既 約分数

_{:,:,:∈ Q*に}

ついて

_,θ(:),θ (:),σ(』)の

どの

2円

も接 するとき

,』 =告

耗または』=卜

^{:(α,C,C∈ N,ら,α,ノ}

∈

^Z)で

ある。

証明

 1に

^ついて

,2円

^{の うち}

,1つ

^{が θ}(∞)の ときのみを示す。つ ま り^, θ(:)=θ(∞)の 場合 を考 え るので

,c=0,α =1と

^{す る。 いま}

,C(:)と

θ(:)が接す るとす ると,σ_(:)は第1階_の円で,α

=1を

得 る。 この とき,

40

→ ０     Ｃ︿ レ  ﹂  

﹂ ｃ

︿α  

︿λ υ ｌ     ２

第 3章

 

^{基底 と超基底}

       41

αα―わ

c=1×

1‑b×

0=1で

ある。また

,逆

にαα一bc=α ×1‑b×

0=±

¹

のとき_,α

=±

1で あるので,θ(:)の半径が_:と な り,σ(:)と σ_(:)は接 する。(c=0,α

=‑1と

^{しても同様である。)}

次に

,2を

示す。3円 のうち

,1つ

^{が θ}(∞)であるときとそうでないと きで場合分けする。

lθ

_(∞)を

含むとき ,残 りの

^2円

はη∈

Zを

もちいて

,θ_(f)と

θ← _#)

と表 され るの で,

η

+l 

^η

+1 1 (η

+1)一 ^η

 

η (η

+1)‑1 1  1+0' 0  1‑1 ' 1  1‑0

より3円 のどれが θ_(1)に相当しても主張は正 しい。

2θ

_(∞)を含まないとき

,:<:<:と

^すれば,定^理

221よ

り

:=留

である。また ,:<:<:と すれば,:=:響 となるが ,部 も既約

(定理

215の

証明の最後を参照)であるから,α

=c+C,b=ノ

^+α

より

,c=α

^一C,∫

^=b―

^αなので

:=冠

となる。他の大小関係の

ときも同様 で あ る。

3.5  フオー ドの円 と素ベク トル

と表 す。 こ とを考 え る。

(ただ し,

︿↑  

澄       る︒

を     応     あ ル    対     で

卜     を     き

飢 ば

︐ 包 括 け   咋

一一    き     νπ   て α     と     の   し の     フ﹂ 対

１

  こ ｒ

︲

︲ Ｌ   る

こ ０   １

定理

^3.5。

1上 記の対応

_{包

括ベクトル }→

^Q*は

^{全単射である。}

証^1月

 ￨;￨=￨三

^{;￨に対 して 静}

=毒

^{で以あるか ら上1言己C)'吋淀ヽはwell―deflned}

である。

任意 の α∈Q*に^{対 して, αを既ぷリタ)]枚}_{で 労とすれヤ}^ゴ l;￨が

αに文lり芯す るので,こ の対応 は全射 で ある。

第3章

 

^{基底 と超基底}

また

,任

^{意 の} とすると,

{フ

ォードの円

_}←

→呻 ←→

{包

括ベクトル

_}

θ_(α

)      

^α

       a

上の図式で

_{フ

ォードの円

_{}と Q*の}

対応および

,Q*と {包

括ベクトル

_}

の対応が全単射であるから,{フ ォードの円

)と {包

括ベクトル

_}の

対応

も全単射となる。このとき,次 が成り立つ。

定理 ^3.5。

2 1α

,b∈ Q*に^{ついてa,ゎ} が包括基底であるための必要十 分条件は

,円

^θ(α)と θ_(b)が接することである。

2α

_{,b,c∈ Q*に}ついてa,b,aが包括超基底であるための必要十分条件 は

,円

^θ(α)と θ_(b)と σ_(C)が互いに接することである。

証明 1を示す。α=勢

,b=多

^{とす ると},定^理

312よ

り

a=LI「 =LII

が包括基底で あるための必要十分条件 は″ν′一″′ν

=±

^1であ り

,定

理

341

よ り円 θ_(α)と σ_(b)が接 す るための必要十分条件 もまた ″ν′―″′ν

=±

¹

で あるか ら主張が従 う。

2について は

,包

括超基底の定義

333お

よび 1よ り明 らか。

    

^□

42

グ

ν フ

一 π

て 対し ソ﹂   油ｙ

″   ｙ″

．  

．       上 上 オ な

以       フ に

43

ドキュメント内 整数係数２次形式問題の有限アルゴリズム ： フォードの円とトポグラフを用いて (ページ 40-44)