０れ
1 このとき ,a,3,aと 異なる包括ベクトル
"に
対して以下が成り立つ。
ノ( )≧ ∫(α)
∫(π)≧ ∫(b)
∫(")≧ ∫(C)
1で
,7が
単純湧き出し回ならば等号は成立 しない。等号成立は
,7が
2重 湧き出し口L7′
の一方で,分 が ″′の周 り の面 となる場合に限る。(図 416)証明
(a,3,0は超基底であるので
,α +b tt c=0としてよい。このと き
,α,b,c∈ Z,α,β,γ∈ Qを
58
２ つ０
∫(α)=α,
b+c一
α∫(b)=b, β
=写
∫
(C)=C
α tt b― c
(45) 図
414単
純湧 き出 し回, γ=
第4章
トポ グラフ 59
図
416等
号成立の場合鶴
︐
︐ せ ま り 表 い よ と お ３ 任 定 と
１
と る と ｇ
第4章
トポグラフ
2gが
整 数値 で あ る こ と式(45)を (46)に代 入 す る と
ズ→ =写
m′+写 η年宇 ば 十
m′→η句
とな り, これ を整理 す る と
θ( )=α鶴12+bπ22̲(α tt b一 C)π
lm2 (47)
で あるか ら,θ( )∈
Zで
ある。3θ と∫が一致 す ること
実際
,式
(47)に 鶴1=1,m2=0を
代入す る と g(a)=θ(1× α+0×
b)α×12+b× 02̲(α
+b―
C)× 1× 0 α=∫(α)で あ り
,式
(47)に 鶴1=0,m2=1を
代入す る とθ(b)=g(0× α
+1×
b)α×02+b× 12̲(α
+b―
C)× 0× 1b=∫(b)
で ある。 また,α
+b+c=0よ
りc=―
α―bであるか ら,式
(47)に
ml=‑1,π 2= 1を
代入す る と g(C)=θ((‑1)× α十 (‑1)× b)=α ×(‑1)2+b× (̲1)2̲(α tt b― C)× (‑1)× (‑1)
=α
+b一
(α tt b一C)=C=∫
(C)で あるので
,補
題424の
唯一性 よ り∫=ク で ある。以上の議論をふまえて,土 α,土b,土cと異なる素ベクトル ∈Z2に 対し て
"=mlα +mlb(π
l,m2∈Z)と
すると,分 ≠aょ りm2≠
0,ま た,参≠bよ りπl≠ 0で あり,さ らに鶴1≠
m2で
ある。(も し,ml=m2で
あるならば,α
tt b+c=0よ
り=鶴10+鶴 lb=― mlc
60
第4章
トポグラフ
であるが,￡ ≠εより不適である。)よ って,
ノ( )=θ(
)=α
鶴22+βm12+γ(ml― m2)2≧ α+β +γ であるが,α tt b+c
61
(48)
(α ,β ,γ ≧
0)で
あるので,ノ(%)≧ ∫(α)
∫( )≧ ∫(b)
∫(")≧ ∫(C)
が成 り立つ。
ところで
,7が
単純湧 き出 し日の ときは α>0,β>
(49),(410),(411)に おいて等号が成立せず
=α +α =α +∫(α)≧ ∫
(a) (49)
=β tt b=β 十∫(b)≧ ∫
(b) (410)
=γ
+C=γ
+∫(C)≧ ∫(C) (411)
01の に 10 に10
0,γ
>0な ので
α+β +γ=
α+β +γ
=
α+β tt γ
=
2 α+わ
+c
2 α十 ろ十 C
2
α tt β tt γ>∫(α)
α+β tt γ>∫(b)
α tt β tt γ>∫(C)
だから
,(412),(413),(414)で
等号は成立 しない。一方
,7が
2重 湧き出し口だ として α>0,β >0,γ=0と
すると,上
と同様に∫( )>∫(α),∫(")>∫(b)となる。(414)で等号が成立するのは (48)と (411)の両方の等号が成立するときで,γ
=0よ
り(411)の等号は 成立する。つまり,(412)の 等号が成立するのは(48)の等号が成立すると きに限られ,α,βが正,γ=oで
あることに注意すれば鶴1=± 1,m2=±
1の ときである。つまり,分
=α
tt bま たは￡=α ―bだ が,分 ≠aよ り"=α
一bで ある。つまり,α,b,c,π は図417の ようにな り,γ=0よ
り題意の通 り,分 は2重湧き出し回7′ の周 りの面 となる。
□
整数係数 2次 形式 ∫でラベル付けされた トポグラフに単純湧き出し口, もしくは2重 湧き出し口があれば∫が正定値であることを確認する。
第4章
トポ グラフ
図
417等
号成立の場合定理 4。
4.5整
数係数 2次 形式 ∫でラベル付けされた トポグラフが単純湧 き出し口,または2重 湧き出し口をもつ とする。このとき,∫ は正定値で ある。証明
湧き出し回″ に対応する超基底をa,b,aと する。ただし,∫
(a)>0
とする。この とき補題
444よ
り,す
べての ∈Z2で バ")≧ ∫(α)>0
がいえる。
□
定理4。4.6∫ を正定値の整数係数 2次形式 とする。∫が単純湧き出し口 をもつならば
,他
に湧き出し日はない。証明 背理法で示す。∫の単純湧き出し口を 7と し
,もう一方の湧き出し 口を″′とする。″ と″′ に対応する超基底をそれぞれ
(a,3,0,(″,θ ,∂)とする。 7≠
7′と仮定するとθ
,∂ ,∂のいずれかは 7に 含まれない。
仮にα′が ″ に含 まれない とすると
,い
ま,7は
単純湧き出し口であるから補題
444よ
り∫(α
′)>∫(a) バα′
)>∫(b)
∫(α
′)>∫(C)
である。一方
,a,3,aの
いずれかは7′ に含まれないので,仮
にαが7′に含まれないとすると,
∫(α)≧ ∫(α
′
)
であるので矛盾。よつて
,7=7′
がいえ,正
定値 2次形式 ∫が単純湧 き出し口をもつならばそれはただ1つ しかないことがわかる。□
定理4。4.7∫ を正定値の整数係数 2次形式 とする。ノが 2重 湧き出し口
z7′
をもつならば,z″
′の他に湧き出し回はない。62
第4章
トポグラフ
証明
背理法で示す。″ と7′ をつなく゛
辺の両側の面をa,3と し
,そ
れ 以外のア の周りの面をaそ
れ以外の7′ の周りの面をαとする。z″
′以外の湧き出し口″″があると仮定して
,7″
の周 りの面のa,b,adと
異なるものを″ とすると,補
題444の
1と 3よ り,ノ
(α′
)>∫(a),
ノ
(α′
)>∫(b)∫
(α′
)>∫(0,∫
(α′
)>∫(a)
である。一方
,a,b,adの
うち″″の周 りにない面があるはずだから,そ れを仮にaと すれば,″
″が湧き出し口であるので補題444の
1よ り∫(α′
)≦ ∫
(a) (416)
となるが,(415)と (416)は矛盾。よってz7′
以外に湧き出し回はない。□
系4。4.8ト ポグラフ上の任意の 2頂 点 民のに対 して
,Pと
の を結ぶ道 が存在する。証明 超基底 ″
=(a,3,0を
とり,∫(α)=∫(b)=∫(C)=2と
なるよう な整数係数 2次 形式 ∫を定める。実際,補
題424に
よりそのようなノは存在する。このとき
,7は
湧き出し回となるか ら,定
理445よ
リノは正定値である。
トポグラフの任意の頂点
Pに
対 して,定
理442よ
りPか
ら
,湧
き出し口まで トポグラフの辺をたどることができる。湧き出し口 は唯 1つ であるか ら,Pか
ら7へ
の道がある。任意の 2頂 点 民のに対 して,Pと
″,oと
″ をつな く゛道があるので,Pと
のを結ぶ道が存在 する。4e5 +型 の2次形式∫のとり得る値について
前節までにみた トポグラフの性質により
,正
定値の整数係数 2次形式 ∫ と整数 ηが与えられた とき,∫ が素ベクトルにおいてηの値をとるか ど うかの判定アルゴリズムを考えることができる。実際それは次のように なる。1ノ
でラベル付けされた トポグラフには湧き出し口がある。実際,適
当な頂点か ら始めて
,定
理442の
ように辺のラベルが負 となる向 きに辺をたどれば湧き出し口7を
みつめることができる。つ０
次 Ｕ