トポグラフ

43

第4章

 

^{トポ グラフ}

証 明

 

図

42の

よ うに3円の中心 をそれ ぞれ ス,3,θ ^とし, 径 をそれ ぞれP,9,rと ^{す る。 この とき}

スB=p tt g, 3σ _=g tt r,  θス

=r+p

で あ る。 よって (41)を P,9,rに^{つ いて解 けば} θ

A+ス

B一 Bθ

p= 2

ス

3+3θ

一θス

g= 2

3θ tt θス ー ス

B

r=

である。

図

42定

理

411の

証 明

一方

,三

角形ABθ の内心 を 」

,Iか

^{ら三角形 スBθの各辺Bθ},θA,ス

B

に下 ろ した重線 の足 をL,ν_,Ⅳ とす る。 この とき

,図 ^43の

^{よ うに}

p′

=ス

^Ⅳ=ス^ν

9′

=3Ⅳ =BL

r′

=0ルf=θL

とすると_,ス

B=ノ

+g′,3σ ^=g′ 十γ′

,θス=r′ 十P′ なので

44 また3円の 半 (41)

(42)

(43)

ノ

=

ゲ

=

〆

=

第 4章

 

^{トポグラフ}

       45

となる。このことから_{(42)と (43)よ} り

,Iか

ら三角形 スBθ の各辺に下 ろした垂線は

Qと

め

,0と C,Cと

の の共通接線に一致する。よっ てすべての共通接線は三角形 スBσ の内心で交わる。

        

^□

図

43三

角形 スBθ と内心f

上 の定理

411を

ふ まえて, トポグラフ とい うものの構成 を以下 に述 べ る。

定義 ^4。1.2θ_(∞)も含 めたすべての フォー ドの円において

1 

それぞれの包括超基底 (a,aの^(α,b,C∈ Q*)に^{対 して θ}(α),σ (b),σ(C)

の共通接線が交わる点を(a,ら,の に対応する頂点という。^a,ら,∂のい ずれも∞ と異なるときはそのような点の存在が定理

411よ

_りわか

る。^a,b,∂のいずれかが∞ のときも図44よ り明らかであろう。

C((n+1)/1)

図 44a,b,ε のいずれかが ∞ の とき

第4章

 

^{トポ グ ラフ}

2定

理

334よ

り

,そ

れぞれの包括基底^a,3に対 して_(a,aの が包括超 基底 となるようなεは2つ ある。それをa∂ とする。この とき頂点 の定め方からθ_(α)と θ_(b)の共通接線は_(a,b,の の頂点 と_(a,b,σ)の 頂点を通 る。この2つ の頂点を結ぶ線分を超基底_(a,b)に対応する 辺 という。

3そ

れぞれの包括ベク トルaに 対 して_(a,の が包括基底 となる3は 無 限にある。辺の定め方からそれらの包括基底に対応する辺はすべて θ_(α)に接する。この ときθ_(α)を aに 対応する面 といい

,単

^に面a

とも表す。

以上の頂点 。辺・面の全体をトポグラフ という。 このように トポグラフ とは包括ベク トルの全体 とその間の基底 という関係を図に表 したもので^, 無限個の頂点 と

,辺 ,面

から成 る。 トポグラフの一部を図

45に

示す。

実際には図

45の

幾何学的な形状は重要ではな くて

,頂

点や辺のつなが り方が重要である。特に, どの頂点に対 してもその頂点につながる辺は 3つ ある。実際,(a,ら,の に対応する頂点には(a,b),(b,0,(aa)に対応す る辺がつながっていて,その間にa,b,aに対応する面がある。そのつなが り方の局所的な状況を図にすれば図

46の

_{ようになる。}(ただ し, ^トポグ ラフに閉路があるか どうかなどの大域的性質はまだ明らか とは言えない。

これについては後述する。⁾

今後は, トポグラフを中心に議論を展開するので

,文

^{脈だけでは誤解}

を招きやすい場合を除いて

,包

^括基底

,包

括超基底を単に基底

,超

^基底

と呼ぶことにする。

トポグラフは無限個の頂点をもつグラフと考えることができるが

,グ

ラフに関する用語をまずい くつか用意する。

定義 4.1.3頂 点 民のが隣接するとは

,民

のをつな く゛

辺があることをい う。辺elと辺 e2が端点を共有するとき,θlと e2は隣接するという。頂 点

Pが

辺^cの端点であるとき

,eは Pに

接続 しているという。

頂点 と辺の交互列^POθlPle2 Cπ

Rが

^あつて

,各

^辺e2が各頂点 民^̲1と 民 をつなく゛

辺であるとき,こ の交互列 POelPle2 Cれ 見 を歩道 という。歩 道はしばしば辺を省略 して

POPI Rと

も表す。歩道

PoPl 

_{几 で}

,特

にP。

,Pl, ,鳥

^{がすべて異なるとき}

,歩

^道

POPl 

_{島 は道であるとい}

う。また, この ときηを道の長さという。

一方

,無

限に続 く頂点 と辺の交互列

 

^λlθOPOelPle2  ^{において 民} がすべて異なるとき

,  21θ

OPOclPle2  は無限の長さの道 という。

46

第4章

 

^{トポグラフ} 47

汗 爽

ン 野

⁚

＼

図

45 

トポグラフ

第4章

 

^{トポグラフ}

図

46局

所 的な トポグラフ

歩道

POPl 

_{几 において}

PO=几

の とき,こ れ を開歩道 とい う。閉歩

道 PO島   凡 lPOに^{お い て} PO,Pl, ,見 1がす べ て 異 な る と き,こ ^{れ を} 開路 とい う。

4e2 2次 形式とトポグラフ

整数係数の2次 形式 ノを^1つ固定すると

, 

トポグラフの各面aに _は∫

の値 ∫(a)が対応することになる。これを面の値 といい,∫_(a)と も表す。

定理^4.2.1∫ を整数係数2次形式 とする。異なる4つの包括ベク トル

a,b,adに

ついて,a,b,aと a,b,dが それぞれ超基底ならば

∫(a),ノ(a)+∫(b),∫ (C)

が3項 の等差数列である。

証明

 a,3,aが

超基底なので,α とし_{,bと c,cと} αが格子の基底である。

よって定理

315よ

り

,aは

^α

+bま

^{たはα―bで}ある。同様に,a,b,α が 超基底であるので,α とら,bと ^d,α とαが格子の基底である。よってd

はα tt bま たはα―bで ある。

adは

^{異なるので}

,a=α

 ^tt b,α =α ^―b

としても一般性を失わない。このとき定理 323よ り

,2{バ

α

_{)+∫ (b)}=}

∫し

^+b)十

∫ 0‑b)で ^あるから

^,ノ

c―

^b),∫

し

)十

∫

(b),ノ

し十

^b)は

等差 数列である。         ^□

この定理 は

,図 47の

ように トポグラフのある1つ_{の辺 を取 り囲む}4つ の面a,b,aα における∫の値を

48

∫

(a)=α , 

∫

(b)=ら, 

∫ (0=C,  ∫

(a)=α

第4章

 

^{トポ グラフ}

       49

とす る と,α,α+b,cは等差数列 をなす とい うことを示 してい る。

トポグラフの辺 に対 して その端点の一方 を始点

,他

方 を終 点 と定 め る ことを辺の向きを定 めるといい

,図

で は始点か ら終点への矢印で表す。向 きが定 まってい る辺 (図

47)に

対 して,その辺の まわ りの面 の値で定 ま る等差数列ノ(a),∫(a)十∫(b),∫(0の^{公差をその辺の (指定した向きでの)} ラベルということにする。このとき,∫が整数係数ならばラベルは明らか に整数である。また

,始

点を

X,終

点を

yと

_する辺

Xyの

_{ノによるラベ}

ルを^L∫(Xy)と 書 くことにする。辺の向きを逆にすると等差数列も逆順 となり公差は

‑1倍

になるから,L∫

(Xy)=―

^{L∫(yχ )である。}

整数係数の2次形式 ノを1つ 固定し, トポグラフに面の値 と辺のラベ ルをそれぞれ定めたとき, この トポグラフを∫でラベル付けされたトポ グラフということにする。

図

47α

_,α tt b,cは等差数列をなす

1つの頂点の周 りの面の値 と辺のラベルの関係は次のようになる。

補題 ^4。2.2整数係数 2次 形式 ∫でラベル付けされた トポグラフのある頂 点をPと し

,Pに

^{対応する超基底をa,b,aと} する。超基底 a,bの 辺をPS,

3,εの辺を

PR,aaの

^辺をPの とするとき (図 48),

L∫

(PR)=2α

, 五∫(Pの)=2β^, L∫(PS)=2γ  (α^{,β ,γ} ∈Q)

な らば

∫(a)=β ^+γ,  ∫(b)=γ +α ,  ノ(C)=α +β である。

証明

∫(α)=α,  ∫(b)=ろ,  ノ

(C)=C

とお くと

,辺

のラベルの定義より以下の関係式が成 り立つ ^(図

48参

照)。

2α

=b+c―

^α, 2β

=c+α

^―b, 2γ =α

+b― c   (44)

第4章

 

トポ グ ラフ

図

48補

題

422

式(44)を ^α,b,cにつ いて解 けば

α=β tt γ

, b=γ

^+α

, c=α

 ^tt β

を得る。

      

^□

定理 4.2.3整 数係数2次 形式∫でラベル付けされた トポグラフの各辺に 対して,そ の辺のラベルをん,そ の辺の両側の^2つの面の値をα_,bと する。

このとき_,αb― 子 は辺によらず一定である。

証明

 

仮定で与えられた辺の周 りのベクトルを図

49の

_{ように定める。}

図

49定

理

423の

証明 また

,対

称行列 スを用 いて

,任

^意の

"∈ ^{Z2に 対 して ∫(π}

)=ι

_"ス"

とお く。この とき,[",ν]=ι スνという双線型形式をとる。いま^,α

=

∫(a),b=バ^{b)と すると}

,定

^理

421と

んの定め方か ら

α +b十 ん

=∫_(α tt b)=レ +b,α tt bl

=し,d十 [b,bl+21α^,bl

50

第4章

 

トポ グラフ

を得る。

 ￨: :￨=α

b―

手であるから励―

^ti=￨ス

ドで 辺によらず― 一 定と

なる。

       

^□

整数係数 2次形式 ∫で面の値が決まるが

,逆

に頂点の周 りの面の値か ら∫を構成することを考える。

補題^4。2。

4超

基底a,3,aと 任意の整数 α_,b,cに対 して

∫(a)=α^,∫(b)=b,∫

(0=C

となるような整数係数 2次形式 ∫が唯^1つ存在する。

証明

 

存在性 と唯一性に分けて証明する。^a,b,εが超基底なので

,c=α +b

としても一般性を失わない。

1存

在性

特別力さ「田基煙Ce.= (:), c2= (:), C・

・

e2= (l) 

をうるえ¨ると,

g(e・)=α

,g(e2)=b,g(e.+e2)=Cと

なる整数係数 2次形式 gは 存在する。実際,

g(",ν)=αχ

2+(c̲α

_―b)χ

ν tt bν2

がその条件をみたし

,そ

^{の行列表示を}

ズ → ^=%れ ス =(串 T)

51

るこ こ

ヽ

︑

︑

︲

︲

⁚

⁚

′

′

／      

． ん 一２ ｂ   難   司 れ 一２   洲   籐

 α 蟻      

﹁

／

′

︲

術 劃

一一           ４

／ ＞ Ｋ 洲

︱

         

︲

Ы 司

ドキュメント内 整数係数２次形式問題の有限アルゴリズム ： フォードの円とトポグラフを用いて (ページ 44-52)