第5章
十型 以外 の2次形 式の トポグラフ 72 である。
一方,
とな る ものが存在 す る。
□
定理 5。1.3+― 型 の整 数 係数2次形 式 で ラベ ル付 けされ た トポ グ ラ フに おいて
,川
を( c̲lco Cl )と す る。川全体 に向 きを定 めて,川
の 向 きを各辺 の 向 き とし,ceの ラベ ル を ん2,両側 の面 の値 を α2,Lと す る。(た だ し,α
2>0>れ
とす る。)こ の とき,あ
る自然数 ν が存在 して,任
意の整 数 oに 対 して
が成 り立つ。
証明 補題
512よ
りとな るo,′
て
,o=0
0,1,2,3,
==αん
=bた
=んん
(52)
を たにつ いて の
1た
=0の
と2
た=η の とき(52)が正 しい,つ
まりある
限で は有 方
曜
びり ぼ
お
︐ こ
％ 紳
第5章
十型以外 の2次形式の トポグラフ
73
として話 をすす め る。 この とき,cれ(resp.θπ
+M)の
終 点 の周 りのαれ,硫 (resp.αれ十M,bηttM)以 外の面の値 をQ(resp・ CπttM)と お くと,
%=α
れ十硫+んれら 十M=α π+M十 硫 十M+ん ηttM よ り
,%=%十 Mで
ある。(a)%=%+M>0の
とき図 5.6で
,川
はcれ,cπ+Mの
終点か らどち らも右側へすすみ,απ+1==Cれ ==%十M=二 αれ+M+1
われ
+1=硫
=われ十ν=硫
+M+1ん れ+1=%+硫 一 α れ =ら 十M+ら れ十M α れ 十 ν =ん π+M+1
で ある。
+an +
+ an+M+
CnttM=an+M+1 bn
=bn+1 =bn+M+1
図
5.6:%=%十 M>0の
とき(b)%=%十 M<0の
とき川 は θれ,cれ十ν の終点で どち らも左側へすすみ,
αれ+1==απ==απ+ルィ==αれ+M+1 硫
+1==%=ら
十M=bη
+M+1んπ
+1=%+bη
― αれ=%+M+bπ
ttM― αれ+M=ん
π+ν +1で ある。
よって た=0,1,2,3,… .に ついて(5.2)が成 り立つ。 また
,川
の向 きを 逆に して考 えれば,上
記 と同様 に して た=0,‑1,‑2,‑3,…
に対 し(5.2)を示す ことがで きる。
□
cn=an+1
hn+1 bn+M hnttM+1
第5章
+型
以外 の2次形 式の トポグラフ5.2 十一型の2次形式∫のとり得る値について
前節で述べた定理
511お
よび定理513を
用いると,与
えられた+―型の整数係数 2次 形式 ∫および整数 ηに対して∫( )=η となる素ベクト ル の存在を判定する有限アルゴリズムが次のように得 られる。
1ノ
でラベル付けされた トポグラフ上の適当な頂点P(超
基底)を
選 び,周
りの面の値を調べ る。2Pの
周 りの面の値がすべて正(respすべて負)であれば,Pか
ら出る辺のラベルが負(resp正)の方向に進んでい くと頂点の周 りの面 の値の和が減少(resp増加)するので
,や
がて正 と負の値の面に挟 まれた辺eOが見つか る。(∫ は湧き出し口をもたないので必ずこの アルゴリズムは実行できる。)3正
負の値の面に挟 まれた辺 θOから川をたどってい くと,補
題512
により
,辺
の値 と両側の面の値が等 しくなる辺eMが
見つかる。4η
が正であればチllの cO〜 θνの部分か ら面の値が正の側に伸びる有 限個の辺について,そ こから始めて川か ら離れる方向にたどってい き,た
どった頂点の周 りの面の値がηを超えるまで探索する。これ は有限ステップで終了する。補題431に
より, この探索において 辺をた どった ときに現れる面の値は単調増加なので,す
べての探索 で ηの値の面が現れなければ∫はηの値をとらないことがわかる。尚,ηが負の値の ときは
,川
のθO〜 θνの部分か ら面の値が負の側 に伸びる各辺について,川
から離れる方向に周 りの面の値がηより 小さくなるまでたどることで同様に有限ステップで判定できる。伊J5。2。1 =3″2+6″
ν‑5ν2と す る。 この2次形 式 の行 列表示 は
∫(″ ,ν)=(Z,ν)
であり
,第
1章の表11よ り∫の係数の条件をみると,4× 3×
(‑5)‑62<0,62̲4×
3×(‑5)=96≠
(平方数)74
ヽ
︑
︲
′ ノ
″ 加ｙ
／
′
︲
︲ ヽ
＼ ｆ ノ
ヽ １
︲
′
／
″ ν
／
′
︲
︲ ヽ ヽ ヽ
︑
︲
︲
′
／ ３ 一５
つ０ つ０
／
′
︲ ｉ
︲ ヽ ヽ
第 5章
+型
以外の2次形式の トポグラフより,ノ は十一型であることがわかる。実際
,ベ
ク トルsamepattern、N
samepattern
図5。
7バ
,ν)=3z2+6"ν
‑5ν 2の トポグラフ (川の周期5) この周期の部分か ら面の値が正の側に伸びる辺は2つ,負
の側に伸びる辺は3つ あるが
,辺
の周 りの面の値が全 く同じパターンとなる2辺 が,正の側
,負
の側 ともに1対 であるので,実
際には図5.8に示 した 3つ の辺(正の側1つ
,負
の側 2つ)を調べればよい。図5.8の探索によりこのノは 素ベクトルに対 して….,‑23〜 9,‑7,‑6,‑4〜 2,5〜 18,20〜 39,… .
といつた値をとり得ないことがわかる。
このように川は周期的であるから, り￨￨の有限部分から伸びる有限個の 辺から与えられた整数 ηを超えるまで面の値を順次 とっていけば,ノ がη をとるか どうかがわかる。
75