4章

第

4章

 安定的 区間状       47

である。 よって、

c=4,9=4,α =12で

安定的に周期 的である。 しか し、

ス_R(∫)は安定的 区間状ではない。

(2)複

素数の場合

Ac(∫)={4,6,8,12,13,14,15,… ^.}∪ {∞}

である。よって、 c=12,9=1,α

=1で

安定的に周期的である。 また ス

_c(∫)は

安定的単位区間状である。

例

4.1.3∫_{(″ ,ν}

)=″

^2と

する。 K=Rま たは Cに 対 し、

ス

_K(∫)=(2,4,6,8,...}∪ {∞}

である。よって、

c=2,9=1,α =2で

安定的に周期的である。更に、

ス

_c(∫)は

安定的区間状であるが、安定的単位区間状ではない。

上記の例 より、福井不変量は常に安定的に周期的であるように思われ る。これが正 しいことを以下に示す。

安定的区間状 という性質は、次のように言い換えることができる。

補題

4.1.4K=Rま

たは Cに 対 し、ス

K(∫)が

安定的区間状であることの 必要十分条件は

^s,α,π

∈ Nで α π十二 =(S十 ^づ

)α,(づ

∈

^Z,づ

≧

^0)を

満たすも のが存在することである。

証明   まず、αれ

+づ

=(s十 ^づ

)α

とする。このとき、

α

m+づ

=(S十 ^づ

)α =Sα

十づ α

_(づ

∈

^Z,づ

≧

⁰⁾

より、 c=sdと して安定的区間状である。

逆に、ス

K(∫)が

安定的区間状であるとすると、定義

^4.1.1よ

り α π +￨=C十

̀α

(づ

∈

Z,j≧ 0)

を満たす

^c,α,η

∈ Nが 存在する。

α れ =C∈

^AK(∫)

とス

_K(∫)の

定義

4.1.1よ

り、

^2c∈

ス

_K(∫)は

、ある

scNに

対 して、 2c=

αm+sと 表されるから、

2c=α π +S=C+Sα

第

4章

 安 定 的 区間状

とな る。 よって、

 c=sα

で あ る。従 って、

απ+ぅ

=C十

^づα

=(S十

^づ)α

と表 され る。

□ 系 4.1.5K=Rま たは

Cに

対 し、福井不変量^AK(∫)は^{安定的 に周期的} である。

証明 定理^3.3.6よ り福井不変量 は

ス

K(∫)=∪

Ω

I(ハ

I∈σ

と表された。ただし、 f={づ

_1,…

。

_,づp}∈

θに対し、

Ω

I(∫

)=1鴨

,Nl+・

…+π■ ^N}∪

{∞}

である。α I=goc.d{π づ

^,・

…

,π

"}と

おくと、補題

4.2.3と

命題

^1.2.9よ

り、

Ω

f(∫),(Ω^I(∫)＼ {∞

})は 安定的区間状になる。■

K(ノ)は

Ω

I(∫)の

有限個 の和集合より、安定的に周期的である。

4.2 

安定的区間状

前節の例で見たように、複素関数の福井不変量で安定的区間状になら ないものを見つけることはそれほど容易なことではない。ここでは、

₁₆₁

で与えられている斉次多項式の例を紹介する。

命題

4.2.1∫

:(C2,0)→

_(C,0),を

∫

(″ ,ν

)=(Z一 ^ν

)2(.̲2υ)3(″ ̲3υ

)3(″ ̲4ν

)4

で定義される複素多項式関数 とする。このとき、∫の福井不変量は、

ス

_c(∫

)=12N∪ {12+2p lP∈ N}∪ {12+助 川

^p∈

^N}∪

{∞}

である。 これ は、

ス

_c(ノ

_)=((2N∪

3N)∩ N≧_12)∪ {OO}

48

第 4章   ^{安定的区間状}        49

とも表される。よってス

c(ノ)は

Ac(∫)={12,14,15,16,18,20,21,22,24,26,… ^.}∪ {∞} で、安定的 区間状 で ない。

証 明 λ

:(C,0)→ (C2,0)解

析 弧 とす る。 この とき、λ(t)=(X(ι),y(ι))

ただ し、

X(ι

)=α

^{otし 十αlιυ}

+1+.…

,y(ι)=botυ ^+bltυ

+1+.…

とする。α。

,b。

≠ ^0か つし

,υ

≧ ^1の とき、

X≡

0(ま たは y≡

_0)な

_らば υ

=∞ _(ま

たは、υ

=∞_)と

する。また、λ≡ 0ま たは、

^X(ι

)=た

^y(t)

(た

=1,2,3,4)の とき、

^{0(ノ Oλ})=∞

^となる。

次に、λ≠ ^0か つ

X(ι)≠

た

^y(ι_)(た

=1,2,3,4)の ときを考える。し

<υ

の とき、∫

^Oλ(t)=α32t12●

十

_(高

次の項

_)で

ある。したがって、

^0(∫Oλ(ι

))=12υ

とな る。 よって、

{0(∫ ^Oλ(ι))lλ ,た

だし、 υ

<υ}=12N

で あ る。 同様 に して、し>υの とき

{0(∫ ^Oλ(ι))lλ ,た

だし、 し

>υ}=12N

である。

最後 に し=υ の ときを考 える。

(I)α

o=boの

^とき

X(ι)一 ^y(ι)=Clι

υ

+1+c2ι

υ+2+.…

(cl≠ ^0,υ

≧υ

)

X(t)一

た

^y(ι

)=dた

^{tu十 .… (aた}

≠

^o,た

=2,3,4) である。以上より、

ノ^Oλ(ι)=Cit2(υ^+⇒α_3ι^3しご_:ι^3υttι^4し 十_(高次の項)

=clα_3d:αlι

12υ+2+4υ一

_o+(高

次の項)

となる。したがって、

^0(∫Oλ(ι

))=12鶴

^+2{(υ

―υ _)+1)で ある。よって、

{0(ノ ^Oλ(ι))lλ

}=(12+助 川

^p∈

^N}

第

4章

 安定的区間状       50

である。

(II)α

o=2bOの

^とき

{0(∫ ^Oλ(ι))lλ

}=(12+3P lp∈ ^N}

である。

(III)α

o=3bOの

^とき

{0(∫ ^Oλ(ι))lλ

}={12+鞠

^,lp∈

^N}

である。

c7)α O=4bOの ^とき

{0(∫ ^Oλ(ι))lλ

}={12+衛 川

P∈

N}

である。

(y)他 の場合、

_{0(∫^Oλ(ι))lλ}=12Nで

^ある。

以 上 よ り、

ス

_K(∫

)=12N∪ {12+々 州

P∈

N}∪ {12+3p lp∈ N}∪

{00}

=((2N∪

^{3N)∩ N≧}12)∪ {OO}

とな る。

□ 上 の命題 において、

sl=2,s2=3,s3=3,s4=4と

す る とき、

S=Sl+S2+S3+S4,ク _・C・α(Sl,S2,S3,S4)=1

であ り、プ

=1,2,3,4に

^{対 して、}(s,S′

)=1に

なるものは存在 しない。

以上の考察か ら次の補題 の定式化 の ヒン トを得 た。

補題 ^4。

2.2自

_然数sl,.… _,Sた に対 し

s=sl+.…

+sた,r=goc.α(Sl,.… ,Sた)

かつ α_{O=goc.ご((s,sl),…}・,(S,Sた))とす るとき、

r=α

_{Oとなる。}

証明  r=goc.α

_(sl,・

…

,Sた)よ

り、

^s′

=り ^T(1≦ _ブ≦た

)で

あるから、 rls である。したがって、

^rl(S,S′

_)(1≦ ブ≦た

)よ

り、

r l goC.α((S,Sl),…・,(S,Sた

))=α

^o

で あ る。

第

4章

 安定的区間状       51

ドキュメント内 解析的特異点の福井ブロー解析不変量に現れる整数論的性質 (ページ 47-52)