4.3を 証明するために次の補題を用意する。

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群       70

以上 よ り、 この例 は実関数の場合の主問題 に対す る反例 になっている。

(2)K=Cの^場合:

∫の福井不変量は定理^3.2.3よ り、

gの

福井不変量 については、^g(■_,ν)=

″4(.2+ν2)+ν8ょ り、計算 テクニ ック_(または特異点解消 ツ リー_)を用 い て、次 の ように求 まる。

Ac(∫

)=6N∪ ^8N∪

^N≧24∪ {OO}

Ac(g)=6N∪ 8N∪ (6N+16N)∪ (8N+16N)∪

(6N tt N)∪ {OO}

=N≧

6∪ {∞}

である。従って、

^7∈

ス

_c(g)だ

が

7グ

ス

_c(∫)で

あることより、

^Ac(∫_)≠

スc(g)が言える。

また ス_c(∫),スc(g)は 、

ス_c(∫

)=6N∪ ^8N∪ (6N+8N)∪ (24N+N)

=6N∪ ^8N∪ _(6N+8N)∪

^N≧24

Ac(g)=N≧

6

とな り、

7∈

ス

_c(g)だ

が

7グ

ス

_c(∫)で

あることより、ス

c(∫)≠

ス

_c(θ)で

ある。

従って、複素関数の場合は、主問題に対する反例になっていない。

例

5.4.2(1)を

一般化 して、2変 数実関数の場合における主問題に対する 否定的命題を次のように定式化 した。

定理

^5。4.3ノ

,g:侭 ^2,0)→

(R,0)を

ノ

(″ ,ν

)=・

^{2p+ν2●+1),g(″,ν}

)=α η十″

^2●‑1)ν

2+ν

2(p+1)(p∈

N≧₂₎

で定義された多項式関数 とする。このとき、ス

R(∫

)≠ ス

^R(g)で

あるが

ス

_R(∫

)=ス

^R(g)で

^ある。

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群       71

証明 _(1)は定理^3.2.4(2)よ り従 う。

次 に、_(2)を示すために

gの

特異点解消 ツ リー を考 える。

Cl(X,y)=θ _(XК y)=y2p(xη

 tt X2(p‑1)十 y2)

σ

2(X,y)=Gl(X,Xy)=X2●

^{+⇒y2p(x2o一⇒十X2し}

^‑2)+y2)

Go(X,y)=0ぅ ̲1(X,Xy)=x(づ

^1)20+1)yン_(x2し

^―

^{(″‑1))+y2し}

^{― の} +y2)(2≦ を≦

^p)

Gp(X,y)=cP̲1(X,Xy)=x°

^⇒2o+1)yン(x2+1+y2)

となり、特異点解消ツリーは以下のようになる。ここでは、例外因子の

重 複 度 の み を記 して い る。

(p‑1)。

2(p+1) o‑3)。 2(p+1)

(p‑2)。

2(P+1)

(図 5。2)

η

2・

しり +1)N

第

5章

 福 井 不変量 とそれ を含 む最小 の半群       72

特 異点解 消 ツ リー よ り、

AR(g)=2PN∪ 2(p+1)N∪

^2・2●

+1)N∪

^…・∪

(P‑1)2o+1)N∪

しり ^N十 (p‑1)2o+1)N)∪ (2o+1)N+2・ ^2(p+1)N)∪

・…∪((p‑2)2(p+1)N+(p‑1)2(P+1)N)∪

{OO}

である。 ここで、

2し

+1)N∪

^2・ 2●

+1)N∪ …・∪0‑1)2し

+1)N=2(p+1)N

(2(p+1)N+2・ 2(p+1)N)∪

…・ ∪

_((p‑2)2●

+1)N+0‑1)2(p+1)N)⊂

^2●

+1)N であるから、

ス _R(g)=η N∪ 2(p+1)N∪ ON十 (p‑1)2● +1)N)∪

{○

。

_}

で あ る。

□

補題

5.4.5∫_,θ

:(R2,0)→

_(R,0)を

∫

(",ν

)="2p+υ

2o+1),,(.,ν

)=・

^2p tt 

α

^2o‑1)ν

2+ν

2(2+1)(P∈ _N≧

2)

で定義された多項式関数 とする。このとき、福井不変量を含む最小の半 群は

ス_R(∫

)=AR(g)=η ^{N∪ 2(p+1)N∪}

像フ

N+2し _+1)N)

である。

証明   補題

5.4.4の (1)よ

り、ス

R(∫)の

半群 ス

R(∫)に

ついて和に関 して閉 じているので

ス

R(∫

)=2pN∪ ^2(p+1)N∪ ψり N+2(P+1)N) である。次に、ス

_R(g)を

求める。補題

5.4.4の (2)よ

り、

ス _R(g)=η N∪ 2o+1)N∪ しり N十 (p‑1)2(p+1)N)∪

の

N+20+1)N)∪

_{ψ ttN+α り}

N+し

‑1)2●

+1)N))∪

(2(P+1)N tt 

υり N十 (p‑1)2o+1)N))∪

ψ

ttN+2(P+1)N十

(2pN十

(P‑1)2し +1)N))

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群       73

である。 この とき、

ψttN+lp‑1)2o+1)N)∪

"秒

N+2(p+1)N)∪

にり

^N tt 

ψゆ

N+0‑1)2● +1)N))∪

(2(p+1)N+し りN+(p‑1)20+1)N))∪

にり N+20+1)N+α

ttN+0‑1)2(p+1)N)=ηN+2(p+1)N

より、

ス R(g)=η ^{N∪ 2(p+1)N∪} _∈秒 N+2(p+1)N)

である。したがって、

AR(∫

)=ス ^{R(g)=η N∪ 2(p+1)N∪} (2pN+2(P+1)N)

で あ る。

□ (定理^5。

4.3の

証 明)

補題 5.4.4(2)よ り、

印 十

(p‑1)2(p+1)∈

^AR(g)

で あ る。 また、ゎ 十

(p‑1)2(p+1)を 21p+1)で

割 った ときの余 りを考 え る と2Pと な るので、

2(p+1)で

害」り切 れ ない。次 に、

2pで

_{割 った とき}

の余 りを考 え る と

2p+(p‑1)2●

+1)=2P(1+o+1))+2o‑1)

より余りは

^2●

‑1)と なるので、 ^{p≧ 2か} らンで害

^Jり

切れない。よって、

補題

^5.4.4(1)よ

り、

わ十 (P‑1)2● +1)/AR(∫

)

であるから、ス

R(∫)≠

AR(g)で ある。更に補題

^5.4.5よ

り、ス

R(∫

)=AR(g)

で あ るか ら定理 5.4.3は 示 され た。

□ 以上 よ り、

3変

数 以上 の実 。複 素関数、

2変

数 実 関数 の場合 には、主問 題 に対 す る否 定 的 な例 が存在 す る こ とがわ か った。 この こ とか ら福 井不

第

5章

 福井不変量 とそれ を含む最小の半群       74

変量 は、福井不変量 を含 む最小 の半群 よ りも秀れた不変量であることが わかる。

残念なが ら、

2変

数複素関数で主問題 に対す る否定的な例 を見つ けるこ とがで きなか った。

最後 に、次の問題 を提起 して私 の修士論文 を終 える。

問題 5.4.6∫

:(C2,0)→

_{(C,0)を ∫}

(0)=0と

^なる

^2変

^{数正則関数 とす}

る。このとき、ス

c(∫

)=ス

c(g)な

らばス

c(∫

)=ス

^c(g)で

^あるか。

75

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同 図

‖

同

同

[71

同

回

ドキュメント内 解析的特異点の福井ブロー解析不変量に現れる整数論的性質 (ページ 71-77)