‑方 、

第

4章

 安定的区間状       51

第

4章

 安定的区間状

(1)∫

1(0)={0}で 簡約化が

1回

のブローアップによって与えられる場合。

この とき、 ツ リーモデル はただ一つの例外集合か らな る。 ここで、m

をその重複度 とす る と、

AR(∫

)=π ^N∪

{∞}

となる。したがって、ス

R(∫)は

安定的区間状である。このとき、

「 ={π

^}

と定義する。

(2)ノ 1(0)≠

{0}ま たは簡約化が ^2回 以上のブローアップによって与え

られ る場 合。

この とき、各例 外 因子 は他 の例外 因子 また は強変換 と交わ る。 つ ま り、

「

E≠

^{0また はFs≠}

0で

あ る。 この とき、F=FE∪ Fsと_{定 義す る。}

以上の準備をもとに、Ю

]で

与えられた福井不変量が安定的区間状、更 に安定的単位区間状になるための初等整数論的特徴付けを証明抜きに紹 介する。

定理 4.2.3dを

「 内の数の最大公約数 とする。 K=Rま ^たは Cに 対 し、

ス

_K(∫)が

安定的区間状であるための必要十分条件はご∈

「 である。特に、

ス

_K(∫)が

安定的単位区間状であるための必要十分条件は

^1∈

「 である。

こ こ で 、

N       た

ν

_=∪{π

̀},輪

=∪{π

υ _O}

づ=1       ′=1

とする。

注意 4.2.4‑般 のη変数解析関数芽の福井不変量が安定的区間状になる

ための初等整数論的特徴付けもЮ

]で

与えられている。

次の 4.3節 の斉次多項式の福井不変量の安定的区間状 を取 り扱 う上で必 要 になる定理4.2.3の系 を一つ述べてお く。

系

4.2.5 dOを

「

^s内

の数の最大公約数とする。任意のπづ∈ν ＼」 ‰ があ る物∈ 「

^sで

割り切れると仮定する。このとき、ス

K(∫)が

安定的区間状で あるための必要十分条件は

^dO∈

「 である。

52

第

4章

 安定的区間状

証明 αを 「 内 の数の最大公約数とする。任意のπ

,∈

ν ＼」 ‰ はある

竹 ∈「 sで割 り切れ る とい う仮定 をも とに、α

O=α

を示す。

「 ^3⊂

Fよ

り、αとあ の定義か らαl島 (α ≦αo)で あ る。

次 に、任意 の π ∈

「 に対 し、ぁ lπ を示す。

(1)αOの定義 よ り、任意 の π ∈

「 sに 対 し、αOl π である。

(2)任 意の

m∈

ν ∩νЪに対 し、α。_lπ も明 らかである。

(3)任

意のπ ∈ν ＼M、 に対し、任意の

^mぅ

∈ν ＼」 ‰ があるη ∈ 「

^sで

割 り切れることより、あるη ∈ 「

^sで

%lπ が存在するからαOl mで ある。

(2),(3)よ り、

m∈

_{ν に対 し、α}

_61π

である。 また、π

=(π

を,η′^)∈「

E

に対 し、αOl π である。ただ し、民 ∩島 ≠^0(づ ≠ブ)で ある。 よって、任 意の π ∈

「 に対 し、αOl π であるか ら、αOl αである。

以上 よ り、α。

=dと

な り、系の主張 は定理^4.2.3よ り従 う。

4。

3 

斉次多項式の福井不変量の安定的区間状

4.2節 の命題^4.2.1で与 え られた例 が、複素斉次多項式の例 として最適 な例 であることを 自分 自身で示す こ とがで きたので、 この節でその証明 を与 えてお く。

定理

4.3.12変

数複素斉次多項式の中で、福井不変量が安定的区間状 に な らないものの最小次数 は

12で

ある。

系

4.3.2次

数11以_下の

2変

数複素斉次多項式の福井不変量は安定的区間 状である。

定理^4.3.1は、系^4.3.2と命題^4.2.1よ り従 うので、以下ではこの系 を証明 することにす る。 また、∫(π ,ν

)=π

^4+υ

6の

例 で見 られ るように、実・複 素の場合 を扱 っていても複素の場合 を念頭 においていることに注意す る。

命題 ^4。

3.3‑次

式に分解 され る斉次多項式 ∫(ω ,ν)を、

∫(π ,ν

)=(α

^{lα +blν})Sl.… (αた″+わたν)Sた,(た ∈

N)

ただし、α 。 し≠

%b.(づ

≠ブ ),S=Sl+・ …

^+Sた,γ =θ^.C.d(sl,…

。

_,Sた)と

お

く。また、 「

s={(s,sl),…

・

,(S,Sた)}と

すると、ス

K(∫)が

安定的区間状で

あるための必要十分条件は

^r∈

「

^sで

ある。

第

4章

 安定的区間状

証明   ∫は斉次多項式であるから、この∫の特異点解消ツリーは一回のブ ローアップで与えられる。

54

(E:Sl+…

^。十Sた)

(Zl: 穂

)(Z4:S4)

(図

 4.1)

(4:Sた

⁾

この とき、

「 E=0である。 したが って、F=Fsである。

次 に、

s=sl+.…

+Sた とお くと、

ν =埼 ={S},ル

^f＼

埼 =0

であり、系

4.2.5の

任意の

^mを

∈ν＼ゴ 比 がある _%∈ 「 ^sで 割り切れるとい

う仮定 は自動的 に満た されている。 また、

rs=∪_{仁S,)},αo=goc.α {(S,Sl),一 ,(S,Sた )}

J=1

とおくと、系

4.2.5よ

り、ス

K(∫)が

安定的区間状であるための必要十分条 件はα

O∈

「

^sで

ある。ここで、補題

^4.2.2よ

り r=α _{。なので、ス}

_K(∫)が

_安 定的区間状であるための必要十分条件は

^r∈

「

^sで

ある。

□ 注意

4.3.42変

数複素斉次多項式を既約分解す ると、命題^4.3.3の ∫(■ ,υ )

の ように、

2変

数複素

1次

多項式の積 に分解 され る。

一方、

2変

数実斉次多項式 を実多項式の範囲で分解 した とき、∫(■ ,ν)=

.2+ν

^2のよ うに、

1次

実多項式の積 に分解 されないものが存在す ること に注意す る。

上の注意で述べた ように、

2変

数複素斉次多項式を扱 うとき、命題^4.3.3 の ように

1次

式の積で表 されたもの を考 えれば十分で ある。

最初 に、命題^4.3.3よ り次の系が導かれ る。

Sl)(Z2:S2)(Z3:S3)

第

4章

 安定的区間状       55

系 ^4。

3.5斉

次多項式

∫(π ,ν

)=(α

^{l″ 十blν})Sl… 。_(αんπ tt bんν)Sん (た ∈

N)

ただし、α を し≠

%bo(づ

≠」

)に

おいて、た≦ ^2の とき福井不変量 AK(の は

安定的区間状である。

証明   ^た =1の とき∫

(2,ν

)=(α

^l″+blν )Slで

あるか ら、

ス

_K(∫)={Sl,2sl,3sl,.… }∪ {CЮ}

である。よって、

^AK(∫_)は

安定的区間状である。

次に、た =2の ^{ときを考え、}

∫

(Z,ν

)=(α

^{l″ +blν)Sl(α2π +b2ν)S2}

とする。このとき、 s=sl+s2,r=(Sl,S2)で あり、 「

3={(S,Sl),(S,S2)}

である。 この ことか ら、

γlSb rlS2,rlS

が言 える。従 って、

rl(S,Sl),rl(S,S2)

である。以上か ら、(s,sl)=α^{r,(α ∈}

N)と

おける。 また、ス

,3∈ Nで

S=Sl+S2=スα

r,sl=Bα

rとおける。 よって、Bαr+s2=スαrとな る。 これを変形 して

s2=(■ 3)α

rと 書 ける。従 って、αr l(sl,S2)であ る。 また、

r=(Sl,S2)よ

りα=1である。

以上 よ り、

(s,sl)=rょ

^りr∈_「 ^{sとなる。従 って、命題4.3.3よ リスK(∫)} は安定的区間状である。

□

系

^4.3.5よ

り、たが2以 下の場合の福井不変量 ス

_K(∫)に

安定的区間状で ないものが現れないことが分かった。次に、た

=3の

^ときス

c(ノ)が

安定 的区間状でない斉次多項式となる例が存在することを示す。

例

4.3.6K=Rま

たは Cに 対 し、

ノ

(0,ν

)=(π ―ν

)2(.̲2ν)3(″ ̲3ν

)25

第 4章   安定的区間状

ドキュメント内 解析的特異点の福井ブロー解析不変量に現れる整数論的性質 (ページ 52-57)