3.3の 証明と同様に以下の定理を示すことができる。

定理

^5。3.8∫

,g:(R3,0)→

(R,0)を

∫

(・ ,ν

,Z)=ノ ーν9+Zp+9,g(■

,ν

,Z)=ノ ーν 9+ノ

^191d

で定義される多項式関数 とする。このとき、 91>pl≧ ^2,r≧

^p191α

^なら ば、

_{AK(∫ )≠}

ス

_K(θ)だ

がス

_K(∫

)=ス

^K(ク

)で ある。

次に、π≧4の 場合を考える。

定理

5.3。

9K=Rま ^{たは Cと} し、3変 数多項式関数 A,gl:(K3,0)→

(K,0)を

定理

5.3.3ま

たは定理

5.3.8の

仮定を満たすものとする。

次に、∫

,g:(Kれ,0)→ (K,0),η

≧

^4を

∫

(■1,″ 2,π3,・

…

_,π

η )=A(π

^l,32,π3)

g(■_{1,″ 2,■3,・} … _,αη)=gl(π^{l,π 2,α3)}

と定義すると、ス

K(∫)≠

ス

_K(θ)だ

が、ス

K(∫

)=ス ^{K(g)で ある。}

証 明

ス

lK(∫

)=AK(■

)≠

ス _K(gl)=ス

_K(g)

菰

(∫

)=ス

^K(■

)=AK(gl)=ス

^K(g)

□

よ り明 らかで あ る。

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群

注意

^5。

3.10定 理

5.3.9の

∫

,gは ^{0∈ Kη}

で孤立特異点を持たない。孤立 特異点を持つようにするためには、定理

^5.3.3、

定理

5.3.8の

証明か らわか

るように

∫

(″1,″ 2,π3,・

…

_,π

れ

)=A(・

^{1,π 2,″3)十}

π:4+… 。十π矛

g(πl,Z2,■3,・

…

_,α

れ

)=gl(ω^l,″2,″3)十

π肝十・…

^+″

孵

としヽ

S4,…

・

_,Sη,r4,…

°

_,し

を

_P,9に

対 して十分大きなものを取ればよい ことがわかる。

η≧ 3の 場合には福井不変量のほうがそれで生成される半群 より多 く の解析関数または解析的特異点を区別できるので、より秀れていること がわかった。したがって、2変 数の場合が問題になる。次節ではその問題 を扱 う。

5.4 2変

数の実関数の場合 における主問題 に対す る否定的命題

2015年

12月 にシ ドニー大学の

L.Paunescu氏

が兵庫教育大学 に滞在 し てい る とき、次 に紹介す る例 が主問題 に対す る反例 にな っているのでは ないか とい うア ドバ イスを頂 いた。

例 ^5。

4.1(L.Pttnescu)K=Rま

たは

Cで

、多項式関数

∫

^{,θ :(K2,ο}

)→

(K,0)

を

∫

(″ ,ν

)=π 3+ν

4,θ

(″ ,υ

)="3+π

^2ν tt 

ν

⁴

とする。このとき、ノ

,gの

福井不変量は次のように計算される。

AK(∫)={3,4,6,8,9,12,13,…

・

_{}∪ {∞}}

ス

K(g)={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…

・

_{}∪ {∞}}

4K(∫)は

定義より、または定理

^3.2.3、

定理

^3.2.4(1)を

用いることにより 求まる。また、ス

K(∫)⊂

ス

_K(g)と

なることも容易にわかる。■

K(ノ)∋

7は 解析弧π

_(ι

)=一

^t2+ι3,ν(ι

)=―

^t2で

^{与えられる。ス}

^K(∫)∋

10は 、解析

67

第 5章   福井不変量 とそれを含む最小の半群        68

弧 ″

_(ι

)=― ^ι

^2,ν

(t)=― ι

^3+ι

4で 与えられ、また、

4K(∫_)∋

11は 、解析 弧

^z(ι

)=一

^t4,ν(ι)=ι3で

与えられる。

しかし、ス

K(ノ)∋ 5を

与える解析弧を見つけるのは、それほど容易でな い。実際、5は解析弧

″_(ι

)=一

^{ι一 ι2+ι3,υ(ι})=ι

で与えられる。以上より、∫

,θ

の福井不変量が求まり、ス

K(ノ)≠

ス

_K(g)で

あることが従 う。

次に、それぞれの福井不変量を含む最小の半群について考える。

AK(∫)={3,4,6,7,8,9,10,…

。

}

41K(g)={3,4,5,6,7,8,9,10,…

・

_}

である。したがって、 5/ス

_K(∫)で 5∈

ス

_K(g)よ

り、ス

K(∫)≠

AK(g)で あ る。以上より、ス

K(ノ)≠

ス

_K(g)か

つ■

_K(∫)≠

ス

_K(g)と

なり、主問題の反 例でないことがわかる。

L.Paunescu氏

の考 えた例 は上でみた ように主問題の反例 とはなってい なか った。 これ は 5∈ 五K(g)を 見 るのが容易でなかった ことによる。実

際、 5/ス

K(g)な

らば、ス

K(∫

)=ス

^K(g)と

なり、主問題の反例になって

い ′3。

一 方、多 くの

2変

数 関数 の福 井 不変 量 の計算 よ り、複 素 の場 合 よ り実 の場 合 に主 問題 の反例 を構 成 す るの が容 易で はないか とい う印象 を持 つ よ うにな り、次 の例 を考 えてみた。

例 5.4.2K=Rま た は

Cで

、 多項 式関数

∫

,9:(K2,ο

)→

(K,0)

を、

∫

(″ ,ν

)=π ^6+ν

^8,g(″,ν

)=π 6+″

4ν

2+ν

8

と定義する。

(1)K=Rの

^場合

^:

∫の福井不変量は定理

^3.2.4(2)よ

り、

ス

R(∫

)=6N∪ ^8N∪

{∞}

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群       69

と求 まる。一方、クの福井不変量 を特異点解消ツ リーを用いて求めるため に、特異点解消 プロセスを書 くと、

g(・_,υ

)=π 6+π

4ν

2+ν

8

θ

l(X,y)=θ (XК

y)=y6(x6+x4+y2)

θ

2(X,y)=σ

l(X,Xy)=X8y6(x4+X2+y2)

G3(X,y)=σ

2(X,Xy)=X16y6(x2+1+y2)

とな る。 したが って、

gの

福 井不変量 の特 異点解消 ツ リー は、以 下 の よ う にな る。

(E2:8)

(El:6)

(島 :16) (図

 5.1)

これ よ り、

ス

R(g)=6N∪ ^8N∪

^16N∪

(6N+16N)∪ (8N+16N)∪

{oO}

=6N∪ ^8N∪ (6N+16N)∪

{oO}

となる。従って、

^22∈

^AR(g)だ が

22グ

ス

_R(∫)で

あることより、ス

K(∫)≠

4K(θ)が^{言 える。}

ここで22∈ ス_R(θ)は ヽ解析弧 λ^{(t)=(ι4,t3)で}与 え られ る。

また、ス

R(∫),■R(g)は

、

ス

R(∫

)=ス ^{R(g)=6N∪ 8N∪} (6N+8N)

となる。

第

5章

 福井不変量 とそれ を含 む最小の半群       70

以上 よ り、 この例 は実関数の場合の主問題 に対す る反例 になっている。

(2)K=Cの^場合:

∫の福井不変量は定理^3.2.3よ り、

gの

福井不変量 については、^g(■_,ν)=

″4(.2+ν2)+ν8ょ り、計算 テクニ ック_(または特異点解消 ツ リー_)を用 い て、次 の ように求 まる。

Ac(∫

)=6N∪ ^8N∪

^N≧24∪ {OO}

Ac(g)=6N∪ 8N∪ (6N+16N)∪ (8N+16N)∪

(6N tt N)∪ {OO}

=N≧

6∪ {∞}

である。従って、

^7∈

ス

_c(g)だ

が

7グ

ス

_c(∫)で

あることより、

^Ac(∫_)≠

スc(g)が言える。

また ス_c(∫),スc(g)は 、

ス_c(∫

)=6N∪ ^8N∪ (6N+8N)∪ (24N+N)

=6N∪ ^8N∪ _(6N+8N)∪

^N≧24

Ac(g)=N≧

6

とな り、

7∈

ス

_c(g)だ

が

7グ

ス

_c(∫)で

あることより、ス

c(∫)≠

ス

_c(θ)で

ある。

従って、複素関数の場合は、主問題に対する反例になっていない。

例

5.4.2(1)を

一般化 して、2変 数実関数の場合における主問題に対する 否定的命題を次のように定式化 した。

定理

^5。4.3ノ

,g:侭 ^2,0)→

(R,0)を

ノ

(″ ,ν

)=・

^{2p+ν2●+1),g(″,ν}

)=α η十″

^2●‑1)ν

2+ν

2(p+1)(p∈

N≧₂₎

で定義された多項式関数 とする。このとき、ス

R(∫

)≠ ス

^R(g)で

あるが

ス

_R(∫

)=ス

^R(g)で

^ある。

ドキュメント内 解析的特異点の福井ブロー解析不変量に現れる整数論的性質 (ページ 67-71)