電磁場 ( 補足 )

4.2.1 古典電磁場(補足)

■偏極ベクトルの性質(45),(46) 第1.2.1節で述べたように，

式(43) :ε₀^µ= (1,0), 式(44) :ε_r^µ= (0,εr), r= 1,2,3 で与えられる偏極ベクトルε_r^µ= (ε₀^µ,ε_r)は正規直交性(45):

εr·εs=ε_r⁰ε_s⁰−εr·εs

=







(ε₀⁰)²= 1 =−ζ₀δ₀₀ (r=s= 0)

0·1−0·εs= 0 =ζ0δ0s (r= 0, s= 1,2,3)

−ε_r·ε_s=−δ_rs=−ζ_rδ_rs (r, s= 1,2,3)

=−ζrδrs

を満たす．

また

ε₁= (1,0,0), ε₂= (0,1,0), ε₃= (0,0,1) よりi, j= 1,2,3に対して

(ε₁ⁱ)²+ (ε₂ⁱ)²+ (ε₃ⁱ)²= 1,

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j = 0, i̸=j であり，これらを

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j=−g^ij (228)

とまとめられることに注意すると，完全性の条件(46):

∑

r

ζrε_r^µε_r^ν =−ε₀^µε₀^ν+

∑3 r=1

ε_r^µε_r^ν

=

















−(ε₀⁰)²=−1 =−g⁰⁰ (µ=ν = 0)

−1·0 + 0·

∑3 r=1

ε_rⁱ= 0 =−g⁰ⁱ ((µ, ν) = (0, i)，i= 1,2,3)

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j=−g^ij ((µ, ν) = (i, j)，i, j= 1,2,3，∵^式(228))

=−g^µν が満たされていることが分かる．

■Lagrangian密度(37):L = −¹₄F_µνF^µν から導かれる共役な場(48):π^µ = −F^0µ 第1.2.1節で述べた ように，自由電磁場のLagrangian 密度を式(37):L = −¹₄FµνF^µν で与えると，電磁場に共役な場の式 (48):π^µ=−F^0µが導かれる．実際，

π^λ≡ ∂L

∂(∂₀A_λ)=−1 4

∂

∂(∂₀A_λ)FµνF^µν において

F_µν ∂

∂(∂0Aλ)F^µν =F_µν ∂

∂(∂0Aλ)(g^µαg^νβF_αβ) = (g^µαg^νβF_µν) ∂

∂(∂0Aλ)F_αβ=F^αβ ∂

∂(∂0Aλ)F_αβ に注意すると

π^λ=−2×1 4

{ ∂

∂(∂0Aλ)Fµν

}

F^µν =−2×1 4

{ ∂

∂(∂0Aλ)(∂µAν−∂νAµ) }

(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−2×1

4(δ⁰_µδ^λ_ν−δ⁰_νδ^λ_µ)(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−(∂⁰A^λ−∂^λA⁰) =−F^0λ: (48) を得る．

■Lagrangian密度(37),(49)の等価性 第1.2.1節で述べたように，自由電磁場のLagrangian密度(37):

L=−1

4F_µνF^µν とFermiによって提案されたLagrangian密度(49):

LFermi=−1

2(∂µAν)(∂^µA^ν)

が，Lorenz条件の下で同じ場の方程式へと導くことを示す．

L=−1

4FµνF^µν

=−1

4(∂µAν−∂νAµ)(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−1

2(∂µAν)(∂^µA^ν) +1

2(∂µAν)(∂^νA^µ)

=LFermi+1

2∂µ(Aν∂^νA^µ) (∵Lorenz条件(38) :∂µA^µ= 0)

のように，2つのLagrangian密度の差はAν∂^νA^µ/2の4元発散である．

ここで作用は時空のある領域ΩにわたるLagrangian密度の積分であることを思い出すと，一般に場の関数 Λ^µの4元発散∂µΛ^µだけ異なる2つのLagrangian密度は，領域Ωの表面にわたるΛ^µの積分だけ異なる2 つの作用を与える．ところで最小作用原理において領域Ωの表面での場の値，したがってΛ^µの値は固定され ているから，2つの作用の差は変分をとると落ちる．よって作用が停留値をとる条件に他ならない場の方程式 は，2つのLagrangian密度に対して共通となる．

■Lagrangian密度(37):L=−¹₂(∂µAν)(∂^µA^ν)から導かれる共役な場(50):π^µ =−A˙^µ 第1.2.1節で述べた ように，Fremiの提案したLagrangian密度(37):L =−¹₂(∂_µA_ν)(∂^µA^ν)に対して共役な場が式(50):π^µ =

−A˙^µで与えられることが次のように確かめられる．

π^λ= ∂L

∂(∂0Aλ) =−2×1

2(∂^µA^ν) ∂

∂(∂0Aλ)(∂µAν)

=−(∂^µA^ν)δ⁰_µδ^λ_ν

=−∂⁰A^λ

=−∂₀A^λ.

4.2.2 自由電磁場の正準量子化(補足)

■展開係数を電磁場で表す 第1.2.2節で述べたように，電磁場に対する正準交換関係(51)が展開係数に対す る交換関係(52)になることを確かめる．そのために電磁場を用いて展開係数を表すことを考える．自由スカ ラー場に対する議論[9, p.35]を参考にすると，

k≡(ωk,k), ωk≡ |k|, f←→

∂µg≡f ∂µg−(∂µf)g として電磁場に対する結論

a_r(k) =−iζ_r 1

(2V ωk)^1/2ε_rµ(k)

∫

d³xe^ik·x←→

∂ ₀A^µ(x)

=iζr

1

(2V ωk)^1/2εrµ(k)

∫

d³xe^ik·x{π^µ(x) +iωkA^µ(x)}, (229) a_r^†(k) =iζr

1

(2V ωk)^1/2εrµ(k)

∫

d³xe^−ik·x←→

∂0A^µ(x)

=−iζ_r 1

(2V ωk)^1/2ε_rµ(k)

∫

d³xe^−ik·x{π^µ(x)−iω_kA^µ(x)} (230) にたどり着く(rについては和をとらない，式(50):π^µ =−A˙^µ)．

実際，例えば式(229)は次のように確かめられる．まず一辺L，体積V =L³の立方体領域に関する周期境 界条件の下で許される波数ベクトルk= ^2π_L(nは整数を成分に持つベクトル)に対して，e^ik·x/√

V の規格直

交性 ∫

d³x

V e^{i(k−k′)·x}=δkk^′ (231)

が成り立つことに注意する．すると式(229)において

∫

d³xe^ik·x←→

∂ ₀A^µ(x)

=

∫

d³xe^ik·x{A˙^µ(x)−iω_kA^µ(x)}

=

∫

d³xe^ik·x∑

k^′,s

( 1 2V ω_k′

)1/2

ε_s^µ(k^′)

×[

as(k^′)(−iωk^′)e^−ik′·x+a_s^†(k^′)(iωk^′)e^ik′·x−iωk

{

as(k^′)e^−ik′·x+a_s^†(k^′)e^ik′·x }]



∵^式(40),(41),(42) :A^µ(x) =∑

k^′,s

( 1 2V ω_k′

)1/2

ε_s^µ(k^′) {

as(k^′)e^−ik′·x+a_s^†(k^′)e^ik′·x }



=

∫

d³xe^ik·x∑

k^′,s

( 1 2V ω_k′

)1/2

ε_s^µ(k^′)

{−ias(k^′)(ωk+ωk^′)e^{i(k−k′)·x}+ia_s^†(k^′)(−ωk+ωk^′)e^i(k+k′)·x }

=∑

k′,s

( V 2ω_k′

)1/2

ε_s^µ(k^′)

{−ia_s(k^′)(ω_k+ω_k′)δ_kk′e^{i(ωk−ωk′)t}+ia_s^†(k^′)(−ω_k+ω_k′)δ_k,−k′e^{i(ωk+ωk′)t} }

(∵^式(231), t≡x⁰)

=∑

s

( V 2ωk

)1/2

ε_s^µ(k){−ias(k)}2ωk

=−i(2V ωk)^1/2∑

s

ε_s^µ(k)as(k) なので，偏極ベクトルの正規直交性(45):

εrµ(k)ε_s^µ(k) =−ζrδrs

を用いると

−iζr

1

(2V ω_k)^1/2εrµ(k)

∫

d³xe^ik·x←→

∂0A^µ(x)

=−ζr

∑

s

{εrµ(k)ε_s^µ(k)}as(k)

=ζr

∑

s

(ζrδrs)as(k)

=ar(k) : (229) (∵ζr=±1,(ζr)²= 1)

を得る．同様に式(229)のHermite共役をとった式(230)が成り立つことを確かめられる．

ところで展開係数ar(k), a_r^†(k)の表式(229),(230)は見掛け上，時刻x⁰に依る．そこでこれらが実際には 時刻x⁰に依らないことを確かめておこう．ar(k)の式(229)の時刻x⁰による微分

∂0

[ iζr

1

(2V ωk)^1/2εrµ(k)

∫

d³xe^ik·x{π^µ(x) +iωkA^µ(x)} ]

=iζr

1

(2V ω_k)^1/2εrµ(k)

∫ d³x∂0

[ e^ik·x

{−A˙^µ(x) +iωkA^µ(x) }]

(∵^式(50) :π^µ=−A˙^µ)

において電磁場A^µが波動方程式A¨^µ−∇²A^µ= 0を満たすことを用いると

∫ d³x∂0

{

e^ik·x(−A˙^µ+iωkA^µ) }

=

∫

d³xe^ik·x {

iω_k(−A˙^µ+iω_kA^µ) + (−A¨^µ+iω_kA˙^µ) }

=−

∫

d³xe^ik·x( ¨A^µ+ω_k²A^µ)

=−

∫

d³xe^ik·x(∇²+ω_k²)A^µ

=−

∫

d³xe^ik·x{(ik)²+ω_k²}A^µ (部分積分した)

=0

なのでar(k)の式(229)は時刻x⁰に依らない．同様にa_r^†(k)の式(230)が時刻x⁰に依らないことも確かめ られる．

■展開係数の交換関係(52)の導出 さて，展開係数を電磁場で表した式(229),(230)を用いて，電磁場に対す る正準交換関係(51)から展開係数に対する交換関係(52)を導こう．式(229),(230)は右辺が時刻x⁰に依ら ないから，これらを用いて得られる

[ar(k), a_s^†(k^′)]

=−i²ζrζs

1

2V(ωkωk^′)^1/2εrµ(k)εsν(k^′)

∫

d³xd³x^′e^{i(k·x−k′·x′)}[π^µ(x) +iωkA^µ(x), π^ν(x^′)−iωk′A^ν(x^′)]

の右辺は時刻x⁰, x^′0に依らない．そこでこれを同時刻x⁰=x^′0≡tで評価すると [π^µ(x) +iω_kA^µ(x), π^ν(x^′)−iω_k′A^ν(x^′)]

=[π^µ(x, t), π^ν(x^′, t)]−iω_k′[π^µ(x, t), A^ν(x^′, t)] +iω_k[A^µ(x, t), π^ν(x^′, t)] + (iω_k)(−iω_k′)[A^µ(x, t), A^ν(x^′, t)]

=−g^µν(ωk+ωk^′)δ(x−x^′)

(∵^{同時刻交換関係}(51) : [A^µ(x, t), A^ν(x^′, t)] = 0, [π^µ(x, t), π^ν(x^′, t)] = 0, [A^µ(x, t), π^ν(x^′, t)] =ig^µνδ(x−x^′)) なので上式は

[ar(k), a_s^†(k^′)] =−1 V

ωk+ωk^′

2(ω_kω_k′)^1/2ζrζsg^µνεrµ(k)εsν(k^′)e^{i(ωk−ωk′)t}

∫

d³xd³x^′e^{−i(k·x−k′·x′)}δ(x−x^′) となる．右辺の空間積分は

∫

d³xd³x^′e^{−i(k·x−k′·x′)}δ(x−x^′) =

∫

d³xe^{−i(k−k′)·x}=V δkk^′ (∵^式(231)) となるから，

[ar(k), a_s^†(k^′)] = ωk+ωk^′

2(ω_kω_k′)^1/2ζrζsg^µνεrµ(k)εsν(k^′)e^{i(ωk−ωk′)t}δkk^′

を得る．右辺にはδkk^′ があるため，その前の因子をk=k^′で評価すると [ar(k), a_s^†(k^′)]

=−ζ_rζ_s{g^µνε_rµ(k)ε_sν(k)}δ_kk′

=−ζrζs(−ζrδrs)δkk^′ (∵^式(45) :εrµ(k)ε_s^µ(k) =−ζrδrs)

=ζsδrsδkk^′ : (52) (∵ζr=±1,(ζr)²= 1)

を得る．同様に展開係数に対する交換関係(52)の残りの2式

[ar(k), as(k^′)] = 0, [a_r^†(k), a_s^†(k^′)] = 0 も導ける．

■占有数表示Nr(k)の固有方程式 第1.2.2節で述べたように，状態(54):

|· · ·, nr(k),· · ·⟩=C





∏

k^′,s

a_s^†(k^′)^ns(k′)



|0⟩ が占有数演算子(53):

Nr(k) =ζra_r^†(k)ar(k) の固有値n_r(k)に属する固有状態であることを示す．

N_r(k)|· · ·, n_r(k),· · ·⟩=Cζ_r{∏′

a_s^†(k^′)^ns(k′) }

a_r^†(k)a_r(k)a_r^†(k)^nr(k)|0⟩ (∏_′

は(k^′, s)(̸= (k, r))についての積)において，

ar(k)a_r^†(k) =a_r^†(k)ar(k) + [ar(k), a_r^†(k)]

=a_r^†(k)a_r(k) +ζ_r (∵^交換関係(52)) を繰り返し用いてar(k)をa_r^†(k)^nr(k)の右側に移動すると

a_r^†(k)a_r(k)a_r^†(k)^nr(k)|0⟩= {

a_r^†(k)^nr(k)+1a_r(k) +n_r(k)ζ_ra_r^†(k)^nr(k) }|0⟩

=nr(k)ζra_r^†(k)^nr(k)|0⟩ (∵ar(k)|0⟩= 0) となる．よって占有数演算子Nr(k)の固有方程式

Nr(k)|· · ·, nr(k),· · ·⟩=(ζr)²nr(k)



C∏

k^′,s

a_s^†(k^′)^ns(k′)



|0⟩

=n_r(k)|· · ·, n_r(k),· · ·⟩ (∵ζ_r=±1,(ζ_r)²= 1) を得るから，示された．

■Hamiltonianの式(55),(56) 第1.2.2節で述べたように，自由電磁場の系のHamiltonianが生成・消滅演算 子を用いて式(55),(56)のように表されることを確かめる．あらかじめ計算の方針を以下に示しておく．

• Hamiltonianの定義式に電磁場のFourier展開(40),(41),(42)を代入する．

– 2種類の波数ベクトルk,k^′，2種類の偏極の指数r, sについての和が現れる．

– Hamiltonian密度の位置x依存性が指数関数e^{±i(k±k′)·x}になる(複号任意)．

• ^位置xに関する積分を実行する．

– δk,±k′ が現れる．

• k^′についての和をとる．

– 展開に現れる2種類の偏極ベクトルεrµ(k), ε_s^µ(k^′)の引数がkに統一され，

εrµ(k)ε_s^µ(k)が現れる．

• 偏極ベクトルの正規直交性(45)を用いる．

– δrsが現れる．

• sについての和をとる．

さて，以上の流れに沿ってHamiltonianを具体的に計算しよう．

H =

∫

d³x(π^µA˙µ− L)

=

∫ d³x

{

−A˙µA˙^µ+1

2(∂νAµ)(∂^νA^µ) }

(

式(49) :L=−1

2(∂_νA_µ)(∂^νA^µ), 式(50) :π^µ=−A˙^µ )

=

∫ d³x

[

− ∑

k,k′,r,s

1 2V√

ωkωk^′

ε_rµ(k)ε_s^µ(k^′)

× {ar(k)(−iωk)e^−ik·x+a_r^†(k)(iωk)e^ik·x}{as(k^′)(−iωk^′)e^−ik′·x+a_s^†(k^′)(iωk^′)e^ik′·x} +1

2

∑

k,k^′,r,s

1 2V√

ωkωk^′

ε_rµ(k)ε_s^µ(k^′)

× {ar(k)(−ikν)e^−ik·x+a_r^†(k)(ikν)e^ik·x}{as(k^′)(−ik^′ν)e^−ik′·x+a_s^†(k^′)(ik^′ν)e^ik′·x} ]

(∵^電磁場のFourier展開(40),(41),(42))

=

∫

d³x ∑

k,k^′,r,s

1

2V√ωkωk′εrµ(k)ε_s^µ(k^′) (

ωkωk^′−1 2kνk^′ν

)

× {ar(k)e^−ik·x−a_r^†(k)e^ik·x}{as(k^′)e^−ik′·x−a_s^†(k^′)e^ik′·x} において

∫ d³x

V {ar(k)e^−ik·x−a_r^†(k)e^ik·x}{as(k^′)e^−ik′·x−a_s^†(k^′)e^ik′·x}

=

∫ d³x V

{

ar(k)as(k^′)e^{−i(ωk+ωk′)t}e^i(k+k′)·x

−a_r(k)a_s^†(k^′)e^{−i(ωk−ωk′)t}e^{i(k−k′)·x}

−a_r^†(k)a_s(k^′)e^{i(ωk−ωk′)t}e^{−i(k−k′)·x} +a_r^†(k)a_s^†(k^′)e^{i(ωk+ωk′)t}e^{−i(k+k′)·x}

}

(x≡(t,x))

=a_r(k)a_s(k^′)e^{−i(ωk+ωk′)t}δ_k,−k′

−a_r(k)a_s^†(k^′)e^{−i(ωk−ωk′)t}δ_kk′

−a_r^†(k)as(k^′)e^{i(ωk−ωk′)t}δkk^′

+a_r^†(k)a_s^†(k^′)e^{i(ωk+ωk′)t}δk,−k^′ (∵^式(231)) であり，k^′ =∓kのとき

k_νk^′ν=ω_k²±k²= {

2ω_k² (k^′=−kに対して)

0 (k^′=kに対して) , ∴ω_kω_k′−1

2k_νk^′ν= {

0 (k^′=−kに対して) ω_k² (k^′=kに対して)

となることに注意すると

H = ∑

k,k^′,r,s

1

2√ωkωk′εrµ(k)ε_s^µ(k^′)

×{

a_r(k)a_s(k^′)e^{−i(ωk+ωk′)t}δ_k,−k′

−a_r(k)a_s^†(k^′)e^{−i(ωk−ωk′)t}δ_kk′

−a_r^†(k)a_s(k^′)e^{i(ωk−ωk′)t}δ_kk′

+a_r^†(k)a_s^†(k^′)e^{i(ωk+ωk′)t}δk,−k^′

}

=−∑

k,r,s

1

2ωkεrµ(k)ε_s^µ(k){ar(k)a_s^†(k) +a_r^†(k)as(k)}

=∑

k,r,s

1

2ω_kζ_rδ_rs{a_r(k)a_s^†(k) +a_r^†(k)a_s(k)} (∵^式(45) :ε_rµ(k)ε_s^µ(k) =−ζ_rδ_rs)

=∑

k,r

1

2ω_kζ_r{a_r(k)a_r^†(k) +a_r^†(k)a_r(k)}: (55) を得る．

さらに交換関係(52)を用いて

ar(k)a_r^†(k) =a_r^†(k)ar(k) + [ar(k), a_r^†(k)] =a_r^†(k)ar(k) +ζr

と書き換えると，式(56):

H =∑

k,r

ωkζra_r^†(k)ar(k) +1 2

∑

k,r

ωk (∵ζr=±1,(ζr)²= 1) を得る．

■非同時刻交換関係[A^µ(x), A^ν(y)]の式(58) 第1.2.2節における非同時刻交換関係[A^µ(x), A^ν(y)]の式 (58)を，実Klein-Gordon場に対する計算[2, pp.53–54]を参考にして確かめる．まず生成演算子どうし，消 滅演算子どうしは交換するから

[A^µ(x), A^ν(y)] = [A^µ+(x), A^ν−(y)] + [A^µ−(x), A^ν+(y)]

となる．右辺第1項は

[A^µ+(x), A^ν−(y)] = 1 2V

∑

k,k^′,r,s

1

(ωkωk′)^1/2ε_r^µ(k)ε_s^ν(k^′)[ar(k), a_s^†(k^′)]e^{−i(k·x−k′·y)} (∵^電磁場のFourier展開(40),(41),(42))

= 1 2V

∑

k

1 ωk

{∑

r

ζrε_r^µ(k)ε_s^ν(k) }

e^{−ik·(x−y)} (∵^交換関係(52) : [a_r(k), a_s^†(k^′)] =ζ_rδ_rsδ_kk′)

=−g^µν 2V

∑

k

1 ωk

e^{−ik·(x−y)}

(∵偏極ベクトルの完全性の条件(46))

と計算できる．後の都合のためにこれ以降はV → ∞の極限をとった結果を示すことにする．今，波数空間の 体積要素∆³kの中には周期境界条件の下で許される波数ベクトルk= 2π

Lnを(波数空間の)位置ベクトルに 持つ点が ∆³k

(2π/L)^{3 個含まれるため}(nは整数を成分に持つベクトル)，近似的に

∑

k

→ ∑ ∆³k (2π/L)³

(∑は体積要素∆³kについての和)

と置き換わり，V → ∞^の極限で

1 V

∑

k

→

∫ d³k (2π)³ となることに注意すると

[A^µ+(x), A^ν−(y)] =−1 2g^µν

∫ d³k (2π)³ωk

e^{−ik·(x−y)}≡ −ig^µν∆⁺(x−y), (232)

∆⁺(x)≡ − i 2

∫ d³k

(2π)³ω_ke^−ik·x: (105) を得る．よって

[A^µ−(x), A^ν+(y)] =−[A^ν+(y), A^µ−(x)] =ig^µν∆⁺(y−x) (233)

≡ −ig^µν∆⁻(x−y), (234)

∆⁻(x)≡ −∆⁺(−x) = i 2

∫ d³k (2π)³ωk

e^ik·x: (106) となるから式(58):

[A^µ(x), A^ν(y)] =−ig^µν∆(x−y) =iD^µν(x−y),

∆(x)≡∆⁺(x) + ∆⁻(x) =−

∫ d³k

(2π)³ω_ksin(k·x), D^µν≡ −g^µν∆(x)

が導かれる．

■スカラー光子，縦波光子 第1.2.2節で述べたように，条件式(59):∂µA^µ+|Ψ⟩ = 0が式(60):{a3(k)− a₀(k)} |Ψ⟩= 0に書き換えられることを確かめる．条件式(59)にA^µ+の定義式(41)を代入すると

0 =∂_µA^µ+(x)|Ψ⟩=∑

k,r

( 1 2V ωk

)1/2

ε_r^µ(k)a_r(k)(−ik_µ)e^−ik·x|Ψ⟩

となる．ここで式(43)のスカラー偏極，式(44)の横偏極，縦偏極に対して，最右辺におけるµ, rに関する 和は

∑

r

k_µε_r^µ(k)a_r(k) =∑

r

{ω_kε_r⁰(k)−k·ε_r(k)} a_r(k)

=ωka0(k)− |k|a3(k)

=−ω_k{a₃(k)−a₀(k)} となるから，全てのkに対して式(60):

{a3(k)−a0(k)} |Ψ⟩= 0

が成り立つ．

次にエネルギー期待値の式(61)を導こう．Hamiltonianの式(57):

H =∑

k,r

ω_kζ_ra_r^†(k)a_r(k) により

⟨Ψ|H|Ψ⟩=∑

k

ωk⟨Ψ|∑

r

ζra_r^†(k)ar(k)|Ψ⟩

=∑

k

ωk

[

⟨Ψ|

∑2 r=1

a_r^†(k)ar(k)|Ψ⟩+⟨Ψ|{

a₃^†(k)a3(k)−a₀^†(k)a0(k) }|Ψ⟩

]

となる．ところが式(60):{a3(k)−a0(k)} |Ψ⟩= 0を用いると，最右辺において

⟨Ψ|{

a₃^†(k)a₃(k)−a₀^†(k)a₀(k) }|Ψ⟩

=⟨Ψ|[

a₃^†(k){a₃(k)−a₀(k)}+ {

a₃^†(k)−a₀^†(k) }

a₀(k) ]|Ψ⟩

=0 となるから式(61):

⟨Ψ|H|Ψ⟩=⟨Ψ|∑

k

∑2 r=1

ωka_r^†(k)ar(k)|Ψ⟩ を得る．

ドキュメント内 【PDF】量子電磁力学から古典物理学まで，要点と途中計算を分離 (ページ 80-89)