場のエネルギー・運動量保存則から粒子の運動方程式への読み替え

場のエネルギー・運動量保存則(135)が粒子の運動方程式(138)に読み替えられることを確かめる．物質場 が粒子の集団を成す場合を考え，電流密度を式(136):

s^µ(x) =∑

i

ei

∫

dτiz˙^µ(i)δ⁴(x−z(i))

=∑

i

e_i

∫

dz⁰(i)z˙^µ(i)

˙

z⁰(i)δ⁴(x−z(i))

=∑

i

e_idz^µ(i)

dt δ(x−z(i)) (

∵ z˙^µ(i)

˙

z⁰(i) = dz^µ(i)/dτi

dz⁰(i)/dτ_i =dz^µ(i) dt

)

と書く．ただしあからさまには示していないけれど，最右辺においてz^µ(i) =z^µ(τ_i)の引数τ_iはx⁰=z⁰(τ_i) を満たす値をとるものとする．すなわちz^µ(i)は座標時間x⁰でのi番目の粒子の座標となる．第3.5節で述

べるように，最右辺の表式は確かに荷電粒子系の電流密度と見なせる．また，粒子の系のエネルギー・運動量 テンソルは式(137):

T_M^µ_ν(x) =∑

i

mi

∫

˙

z^µ(i) ˙zν(i)δ⁴(x−z(i))dτi

で与えられる．これは第3.5節におけるエネルギー・運動量テンソル式(172)の，粒子に対する項に他なら ない．

このとき場のエネルギー・運動量保存則(135):

∂νT_M^ν_µ=Fµνs^ν において

∂νT_M^ν_µ=∂ν

{∑

i

mi

∫

˙

z^ν(i) ˙zµ(i)δ⁴(x−z(i))dτi

}

=∑

i

mi

∫

˙

z^ν(i) ˙zµ(i){∂νδ⁴(x−z(i))}dτi

=−∑

i

mi

∫

˙

z^ν(i) ˙zµ(i) ∂

∂z^ν(i)δ⁴(x−z(i))dτi

=−∑

i

m_i

∫ d

dτ_iz˙_µ(i)δ⁴(x−z(i))dτ_i

=∑

i

mi

∫

¨

zµ(i)δ⁴(x−z(i))dτi, Fµνs^ν=∑

i

ei

∫

Fµν(z(i)) ˙z^ν(i)δ⁴(x−z(i))dτi

なので，これらを等置して粒子の運動方程式(138):

miz¨µ(i) =eiFµν(z(i)) ˙z^ν(i), ∴mz¨^µ=eF^µνz˙ν

を得る．

6 ^{古典物理学} ( ^補足 )

6.1 一般相対性理論の準備 ( 補足 )

6.1.1 テンソル(補足)

第3.1.1節で述べたように，テンソルの和A^µ1···µpν1···νq(式(140))，積B^{µ1···µpλ1···λr}ν1···νqρ1···ρs(式(141))，縮 約C^{µ1···µi−1µi+1···µp}ν1···ν_j−1νj+1···νq(式(142))がそれぞれ(p, q)テンソル，(p+r, q+s)テンソル，(p−1, q−1) テンソルであることが，テンソルを定義する変換則(139)から示される．実際これらの新しい座標系での成分 をそれぞれA^{′µ1···µp}_ν

1···ν_q, B^{′µ1···µpλ1···λr}_ν

1···ν_qρ₁···ρ_s, C^{′µ1···µi−1µi+1···µp}_ν

1···ν_j−1ν_j+1···ν_qと書くと，

A^{′µ1···µp}_ν1···νq

=∂x^′µ1

∂x^λ1 · · ·∂x^′µp

∂x^λp

∂x^ρ1

∂x^′ν1· · · ∂x^ρq

∂x^′νqT^λ1···λpρ₁···ρ_q+∂x^′µ1

∂x^λ1 · · ·∂x^′µp

∂x^λp

∂x^ρ1

∂x^′ν1 · · · ∂x^ρq

∂x^′νqU^λ1···λpρ₁···ρ_q

=∂x^′µ1

∂x^λ1 · · ·∂x^′µp

∂x^λp

∂x^ρ1

∂x^′ν1· · · ∂x^ρq

∂x^′νqA^λ1···λpρ₁···ρ_q, B^{′µ1···µpλ1···λr}_{ν1···νqρ1···ρs}

= (∂x^′µ1

∂x^σ1 · · ·∂x^′µp

∂x^σp

∂x^τ1

∂x^′ν1 · · · ∂x^τq

∂x^′νqT^σ1···σpτ₁···τ_q

) (∂x^′λ1

∂x^α1 · · ·∂x^′λr

∂x^αr

∂x^β1

∂x^′ρ1 · · · ∂x^βs

∂x^′ρsU^α1···αr_β

1···β_s

)

=∂x^′µ1

∂x^σ1 · · ·∂x^′µp

∂x^σp

∂x^τ1

∂x^′ν1· · · ∂x^τq

∂x^′νq

∂x^′λ1

∂x^α1 · · ·∂x^′λr

∂x^αr

∂x^β1

∂x^′ρ1 · · · ∂x^βs

∂x^′ρsB^{σ1···σpα1···αr}_τ

1···τ_qβ₁···β_s, C^{′µ1···µi−1µi+1···µp}_{ν1···νj−1νj+1···νq}

=∂x^′µ1

∂x^λ1 · · ·∂x^′µi−1

∂x^λi−1

∂x^′λ

∂x^α

∂x^′µi+1

∂x^λi+1 · · ·∂x^′µp

∂x^λp

×∂x^ρ1

∂x^′ν1 · · · ∂x^ρj−1

∂x^′νj−1

∂x^β

∂x^′λ

∂x^ρj+1

∂x^′νj+1 · · · ∂x^ρq

∂x^′νqT^{λ1···λi−1αλi+1···λp}_ρ

1···ρ_j−1βρ_j+1···ρ_q

=∂x^′µ1

∂x^λ1 · · ·∂x^′µi−1

∂x^λi−1

∂x^′µi+1

∂x^λi+1 · · ·∂x^′µp

∂x^λp

∂x^ρ1

∂x^′ν1· · · ∂x^ρj−1

∂x^′νj−1

∂x^ρj+1

∂x^′νj+1 · · · ∂x^ρq

∂x^′νqC^{λ1···λi−1λi+1···λp}ρ1···ρ_j−1ρj+1···ρq

(

∵ ∂x^′λ

∂x^α

∂x^β

∂x^′λ =δ^β_α, δ^β_αT^{λ1···λi−1αλi+1···λp}_ρ

1···ρ_j−1βρj+1···ρq =C^{λ1···λi−1λi+1···λp}ρ₁···ρ_j−1ρ_j+1···ρ_q

)

となる．これらはそれぞれ(p, q)テンソル，(p+r, q+s)テンソル，(p−1, q−1)テンソルの変換則である．

6.1.2 局所慣性系(補足)

第3.1.3節で局所的平坦性定理として述べたように，任意の座標系{x^µ}^{から座標系}x^′≡ {x^′µ}^{に移り，時} 空の与えられた点Pの座標をx^′₀≡ {x^′₀^µ}^{として計量テンソルを}

gαβ(x^′) =ηαβ+O((x^′µ−x^′₀^µ)²)

とできることを示す[14, pp.190–192]．座標系x^µ, x^′µでの任意の点の計量テンソルをそれぞれ座標x^′の関数 としてfαβ(x^′), gαβ(x^′)と書く．Λ^γ_α ≡ ∂x^γ

∂x^′α, ∂µ ≡ ∂

∂x^{′µ と略記し}gαβ(x^′)を点Pの周りにTaylor展開す

ると，

gαβ(x^′) =Λ^γ_α(x^′)Λ^δ_β(x^′)fγδ(x^′)

= [

Λ^γ_α(x^′₀) + (∂_µΛ^γ_α)₀(x^′µ−x^′₀^µ) +1

2(∂_µ∂_νΛ^γ_α)₀(x^′µ−x^′₀^µ)(x^′ν−x^′₀^ν) +· · · ]

× [

Λ^δ_β(x^′0) + (∂λΛ^δ_β)0(x^′λ−x^′₀^λ) +1

2(∂λ∂ρΛ^δ_β)0(x^′λ−x^′₀^λ)(x^′ρ−x^′₀^ρ) +· · · ]

× [

fγδ(x^′0) + (∂σfγδ)0(x^′σ−x^′₀^σ) +1

2(∂σ∂τfγδ)0(x^′σ−x^′₀^σ)(x^′τ−x^′₀^τ) +· · · ]

なのでgαβ(x^′) =gαβ(x^′0) + (∂µgαβ)0(x^′µ−x^′µ₀) +1

2(∂µ∂νgαβ)0(x^′µ−x^′₀^µ)(x^′ν−x^′₀^ν) +· · · ^において

g_αβ(x^′) =(Λ^γ_αΛ^δ_βf_γδ)₀, (296)

(∂µgαβ)0=[

(∂µfγδ)Λ^γ_αΛ^δ_β+ (∂µΛ^γ_α)Λ^δ_βfγδ+ (∂µΛ^δ_β)Λ^γ_αfγδ

]

0, (297)

1

2(∂µ∂νgαβ)0= [

(∂µΛ^γ_α)(∂νΛ^δ_β)fγδ+ (∂µΛ^δ_β)(∂νfγδ)Λ^γ_α+ (∂µfγδ)(∂νΛ^γ_α)Λ^δ_β +1

2(∂µ∂νΛ^γ_α)Λ^δ_βfγδ+1

2(∂µ∂νΛ^δ_β)Λ^γ_αfγδ+1

2(∂µ∂νfγδ)Λ^γ_αΛ^δ_β ]

0

(298) となる．ただし添字のゼロは点Pでの値を意味する．さて座標系{x^′µ}^{を適当に選び}

g_αβ(x^′₀) =η_αβ, (∂_µg_αβ)₀= 0, (∂_µ∂_νg_αβ)₀= 0 とできるか考えよう．座標系{x^′µ}^{を選ぶことは}Λ^γ_α= ∂x^γ

∂x^{′αを，従って}(Λ^γ_α)0,(∂µΛ^γ_α)0,(∂µ∂νΛ^γ_α)0,· · · を選ぶことに対応する．それぞれについて独立にとれるものの個数は以下のようになる．

• (Λ^γ_α)0= (∂x^γ

∂x^′α )

0

· · · ·16個

• (∂µΛ^γ_α)0=

( ∂²x^γ

∂x^′µ∂x^′α )

0

· · · ·40個 – 対称な添字µ, αの選び方が10通りだから

• (∂µ∂νΛ^γ_α)0=

( ∂³x^γ

∂x^′µ∂x^′ν∂x^′α )

0

· · · ·80個

– 対称な添字µ, ν, αの選び方は以下の合計20通りのだから









µ, ν, αが相異なるもの 4×3×2

3! = 4通り ちょうど2つの添字が等しいもの 4×3 = 12通り 全ての添字が等しいもの 4通り

よって次のように局所的平坦性定理が示される．

• g_αβ(x^′₀) =η_αβは10個の独立な条件式 (対称な添字α, βの選び方が10通りだから)．

⇐ g_αβ(x^′₀)の式(296)において16個の独立な(Λ^γ_α)₀を適当に選べば満たされる．

• (∂_µg_αβ)₀= 0は40個の独立な条件式

(対称な添字α, βの選び方が10通りだから)．

⇐ (∂µgαβ)0の式(297)において40個の独立な(∂µΛ^γ_α)0を適当に選べば満たされる．

• (∂µ∂νgαβ)0= 0は100個の独立な条件式

(対称な添字α, βおよびµ, νの選び方がそれぞれ10通りだから)．

⇐ (∂µ∂νgαβ)0の式(298)における(∂µ∂νΛ^γ_α)0の内，独立に選べるものは80個だから 一般には満たされない．

6.1.3 空間距離(補足)

第3.1.5節に示した順序に従って空間距離を求める式(147)を導こう[4, pp.260–262]．まず2点A,B間を 光が往復するのにかかる座標時間を2点の空間座標の差dxⁱで表すために，時空における光の軌道に沿う線要 素の世界間隔がds= 0となることに注目する．実際，局所慣性系(cT, X, Y, Z)で測った光速はcだから時空 における光の軌道に沿ってds²=c²dT²−dX²−dY²−dZ²= 0である．dsはスカラーだから光の軌道に 沿って任意の座標系で

0 = ds²=gµνdx^µdx^ν =gijdxⁱdx^j+ 2g0idx⁰dxⁱ+g00(dx⁰)²

となる(ただしギリシャ文字µ, ν,· · · ^が0,1,2,3を動くのに対し，ローマ字i, j,· · · ^{は空間成分}1,2,3を動く ものとする)．これを光がAからBまたはBからAに伝わる光に沿う世界間隔dsに適用する．dxⁱを2点 A,Bの与えられた空間座標の差と見なしdx⁰について解くと

dx⁰= dx^0(±)≡ 1 g00

{

−g_0idxⁱ±√

(g_0ig_0j−g_ijg₀₀)dxⁱdx^j }

を得る．ここでAで起きた事件の座標をx^µ，Bで起きた事件の座標をx^µ+ dx^µと書いていることに注意す ると，2解はそれぞれ

dx⁰⁽⁻⁾=(光がBを出発した時刻)−(光がAに到着した時刻), dx⁰⁽⁺⁾=(光がBに到着した時刻)−(光がAを出発した時刻)

を意味する．よってBを出発した光がAに達し，次いでBに戻るのに要する時間は座標x⁰で測ると dx⁰⁽⁺⁾−dx⁰⁽⁻⁾= 2

g₀₀

√

(g0ig0j−gijg00)dxⁱdx^j≡dx⁰ となる．

次に座標時間がdx⁰変化する間にAで経過する真の時間(固有時間)dτを求めよう．これは空間の同一点 Aで起きる2事件(x⁰, x¹, x², x³),(x⁰+ dx⁰, x¹, x², x³)の世界間隔dsをcで割った値に他ならないから

c²dτ²= ds²=g_µνdx^µdx^ν=g₀₀(dx⁰)², ∴dτ= 1 c

√g₀₀dx⁰.

最後にAB間を光が往復するのに要する固有時間dτにc/2をかけて，AB間の空間距離dlの式(147):

dl²= (c

2 ×

√g₀₀ c dx⁰

)2

=g0ig0j−gijg00

g₀₀ dxⁱdx^j≡γ_ijdxⁱdx^j を得る．

図24 ^極座標がdr,dθ,dϕだけ変化して作られる体積要素

6.1.4 固有体積要素(補足)

■極座標における体積要素の表式とのアナロジー 第3.1.6節における固有体積要素の議論は，極座標を用い た空間の体積要素の表式のことを考えると分かりやすい．極座標r, θ, ϕの増大する3方向は直交するから，極 座標がdr,dθ,dϕだけ変化して作られる領域は図24のように3辺がdr, rdθ, rsinθdϕの直方体となる．よっ てこの要素の体積はr²sinθdrdθdϕである．(体積要素はdrdθdϕではない．drdθdϕは体積の次元を持たな い．) drdθdϕの前の係数r²sinθはDescartes座標から極座標への変数変換におけるJacobianとして得られ ることから，以上の直観的な議論が正当化される．

■g=−J²<0, J =√−gの証明 第3.1.6節で述べたようにJacobianをJ =√−gと書けることが以下の ように示される[14, pp.188–189]．共変ベクトルの変換則は行列の形を借りて

(gµν) = (∂X^α

∂x^µ )T

(ηαβ) (∂X^β

∂x^ν )

と書ける(例えば (∂X^α

∂x^µ )

は ∂X^α

∂x^{µ を}(α, µ)成分に持つ行列であり，その転置行列 (∂X^α

∂x^µ )T

は ∂X^α

∂x^{µ を} (µ, α)成分に持つ)．両辺の行列式をとり|ηαβ|= 1×(−1)³=−1を用いると

g=−J², J =√

−g を得る．ここで

(∂X^α

∂x^µ )

は逆行列を持つからその行列式はJ ̸= 0である．こうして時空の任意の点で局所慣 性系がとれることからg <0が要請されることが分かる．

6.1.5 完全反対称テンソルE^µνλρ，完全反対称テンソル密度E^µνλρ(補足) 第3.1.7節のE^µνλρ,E^µνλρの表式を確認する．∂x^µ

∂X^ν ≡Λ^µ_νと略記すると4階反変テンソルの変換則は

E^µνλρ= Λ^µ_αΛ^ν_βΛ^λ_γΛ^ρ_δε^αβγδ =

Λ^µ₀ · · · Λ^µ₃ Λ^ν₀ · · · Λ^ν₃ Λ^λ₀ · · · Λ^λ₃ Λ^ρ₀ · · · Λ^ρ₃ と書ける．最右辺は行列式|Λ^µ_ν|= ∂(x)

∂(X)の行を入れ換えたものである．行列式は行を入れ換えると符号が変 わるから

E^µνλρ=ε^µνλρ∂(x)

∂(X) =ε^µνλρ

√−g, ∴E^µνλρ=∂(X)

∂(x)E^µνλρ=ε^µνλρ を得る(∂(X)

∂(x) =√

−gを用いた(第3.1.6節参照))．

6.1.6 共変微分(補足)

(p, q)テンソルの共変微分の式(150)と，これが(p, q+ 1)テンソルであることを示す．

準備として共変ベクトルBµの共変微分の式を調べる．A^µを反変ベクトルとするとA^µBµはスカラーだか ら(第3.1.1節参照)，規則(151)，(152)より

∂ν(A^µBµ) = (A^µBµ);ν =A^µ_;νBµ+A^µBµ;ν.

A^µ_;νは(1,1)テンソルであることを考えると最右辺のA^µ_;νBµおよび最左辺は共変ベクトルだから，Bµ;νは (0,2)テンソルでなければならない(第3.1.1節参照)．反変ベクトルの共変微分の式(149)を用い最右辺にお いて

A^µ_;νBµ= (∂νA^µ+A^λΓ^µ_λν)Bµ=Bµ∂νA^µ+A^µBλΓ^λ_µν (第2項でダミー添字をµ↔λと入れ換えた)と書き換えて最左辺と比較すると

A^µ{Bµ;ν−(∂νBµ−BλΓ^λ_µν)}= 0 となるからBµの共変微分の式

B_µ;ν =∂_νB_µ−B_λΓ^λ_µν (299)

を得る．

A^ν1,· · · , A^νq を反変ベクトル，B_µ1,· · ·, B_µpを共変ベクトルとすると，(p, q)テンソルT^µ1···µpν₁···ν_qに対 しても規則(151)，(152)から同様に

∂λ(A^ν1· · ·A^νqBµ₁· · ·Bµ_pT^µ1···µpν1···νq) = (A^ν1· · ·A^νqBµ₁· · ·Bµ_pT^µ1···µpν1···νq);λ

=A^ν1· · ·A^νqBµ₁· · ·Bµ_pT^µ1···µp_ν

1···ν_q;λ

+

∑q k=1

A^ν1· · ·A^νk−1A^νk+1· · ·A^νqB_µ1· · ·B_µpT^µ1···µp_ν1···νqA^νk_;λ

+

∑p k=1

A^ν1· · ·A^νqB_µ1· · ·B_µk−1B_µk+1· · ·B_µpT^µ1···µp_ν1···νqB_µk;λ

となる．これまでにA^νk_;λ, Bµ_k;λはそれぞれ(1,1)テンソル，(0,2)テンソルであることが分かっているから，

最右辺の第2項，第3項および最左辺は共変ベクトルである．よってT^µ1···µp_ν

1···νq;λは(p, q+ 1)テンソルで なければならない(第3.1.1節参照)．ベクトルの共変微分の式(149)，(299)を用い最右辺を

T^µ1···µpν1···νqA^νk_;λ=T^µ1···µpν1···νq(∂λA^νk+A^ρΓ^νk_ρλ)

=T^µ1···µpν₁···ν_q∂λA^νk+T^µ1···µpν₁···ν_k−1ρν_k+1···ν_qA^νkΓ^ρ_ν

kλ

(第2項でダミー添字をρ↔ν_kと入れ換えた), T^µ1···µp_ν1···νqB_µk;λ=T^µ1···µp_ν1···νq(∂_λB_µk−B_ρΓ^ρ_ν

kλ)

=T^µ1···µp_ν1···νq∂_λB_µk−T^{µ1···µk−1ρµk+1···µp}_ν1···νqB_µkΓ^µk_ρλ (第2項でダミー添字をρ↔ν_kと入れ換えた)

と書き換えて最左辺と比較すると

A^ν1· · ·A^νqBµ1· · ·Bµp

{

T^µ1···µp_ν

1···ν_q;λ− (

∂λT^µ1···µpν1···νq+

∑p k=1

T^{µ1···µk−1ρµk+1···µp}ν1···νqΓ^µk_ρλ

−

∑q k=1

T^µ1···µpν₁···ν_k−1ρν_k+1···ν_qΓ^ρ_ν

kλ

)}

= 0 となるから(p, q)テンソルT^µ1···µp_ν1···νqの共変微分の式(150)を得る．

6.1.7 Christoffel記号と計量テンソルの関係(導出)

第3.1.9節で列挙した公式を導出する．

■Christoffel記号の下付き添字の対称性の導出 時空の内部に横たわる位置ベクトル⃗xに対して座標基底

⃗eα=∂α⃗xをとるとChristoffel記号の定義式(148)は

Γ^µ_αβ⃗eµ=∂β⃗eα=∂β(∂α⃗x) =∂α(∂β⃗x) =∂α⃗eβ = Γ^µ_βα⃗eµ

となるから対称性Γ^µ_αβ= Γ^µ_βαが示された[13, p.9]．

ただし非座標基底を用いた場合にはChristoffel記号の対称性Γ^µ_αβ= Γ^µ_βαを証明できない[14, p.175]．

■Christoffel記号を計量テンソルで表した式(153)の導出 各点で任意のベクトルV⃗ は基底⃗eα を用いて V⃗ =V^α⃗eαと展開されるから，特にV⃗ として基底⃗eµを考えれば(⃗eµ)^α=δ^α_µ となることが分かる．よって ベクトルA, ⃗⃗ Bに対してA⃗·B⃗ ≡gµνA^µB^νという記法を導入すると

⃗

e_µ·⃗e_ν=g_αβ(⃗e_µ)^α(⃗e_ν)^β=g_αβδ^α_µδ^β_ν=g_µν となり，Christoffel記号の定義式(148):∂β⃗eα= Γ^µ_αβ⃗eµから

⃗eγ·(∂β⃗eα) = (⃗eγ·⃗eµ)Γ^µ_αβ=gγµΓ^µ_αβ≡Γγ,αβ

を得る．ここで第3.1.8節で指摘したようにChristoffel記号はテンソルではないけれども，テンソルに対する 添字の上げ下げと同様にΓγ,αβ≡gγµΓ^µ_αβと定義した．上式より

∂λgµν=∂λ(⃗eµ·⃗eν) =⃗eν·(∂λ⃗eµ) +⃗eµ·(∂λ⃗eν) = Γν,µλ+ Γµ,νλ,

∴∂_νg_λµ=Γ_µ,λν+ Γ_λ,µν,

∴−∂µgνλ=−Γλ,νµ−Γν,λµ

となり，これらを辺々足して対称性Γγ,αβ =gγµΓ^µ_αβ=gγµΓ^µ_βα= Γγ,βα を用いると式(153):

Γµ,νλ= 1

2(∂λgµν+∂νgλµ−∂µgνλ) を得る[13, p.9]．

■行列式g≡ |gµν|^{に対する恒等式}(154)の導出 導出過程[4, p.270]を補足しつつまとめる．

第3.1.7節で定義した任意の座標系でE⁰¹²³= 1となる完全反対称テンソル密度E^µνλρを用いて行列(gµν) の行列式gと余因子∆^µνの定義は

g≡E^µνλρg0µg1νg2λg3ρ, ∆^0µ=E^µνλρg1νg2λg3ρ, ∆^1ν=E^µνλρg0µg2λg3ρ,

∆^2λ=E^µνλρg_0µg_1νg_3ρ, ∆^3ρ=E^µνλρg_0µg_1νg_2λ と書き表されるから，

dg=∆^0µdg_0µ+∆^1νdg_1ν+∆^2λdg_2λ+∆^3ρdg_3ρ=∆^µνdg_µν と書ける．ここで(gµν)の逆行列は(g^µν) = (∆^µν)^T

g ^なので∆^µν =gg^νµ=gg^µν となる．これを上式に代入 してdg=gg^µνdgµνを得る．

さらに

gµνg^µν=δ^µ_µ= 4, ∴g^µνdgµν =−gµνdg^µν を用いると式(154):

dg=gg^µνdgµν =−ggµνdg^µν を得る．

■式(155):Γ^µ_νµ= ^∂_2g^νg の導出 Christoffel記号を計量テンソルで表した式(153)より Γ^µ_νµ=g^µρΓρ,νµ= 1

2g^µρ{∂νgµρ+ (∂µgρν−∂ρgνµ)}= 1

2g^µρ∂νgµρ.

ここで添字µ, ρについてg^µρは対称，∂µgρν−∂ρgνµは反対称なので，式(195)によりg^µρ(∂µgρν−∂ρgνµ) = 0 となることを用いた．さらに座標x^ν の変化dx^ν に伴う g, gµρ の変化dg,dgµρ に対して式 (154):dg = gg^µρdgµρを適用して最右辺を書き換えると，式(155):Γ^µ_νµ= ∂νg

2g ^を得る [4, p.271]．

■式(156):g^νλΓ^µ_νλ=−^√1_−g∂ν(√−gg^µν)の導出 式(156)左辺は g^νλΓ^µ_νλ=g^νλg^µρΓρ,νλ

=1

2g^νλg^µρ(∂νgλρ+∂λgρν−∂ρgνλ)

(∵^式(153). 括弧内第1項はダミー添字をν ↔λと入れ換えると第2項に等しいことが分かる．)

=g^νλg^µρ (

∂_λg_ρν−1 2∂_ρg_νλ

)

(300) と変形できる．

一方，式(156)右辺は

− 1

√−g∂ν(√

−gg^µν) =− 1

√−g∂ν

(−∂λg

2√−gg^µλ+√

−g∂λg^µλ )

=−∂νg

2g g^µν−∂νg^µν (301)

となる．ここで座標x^νの変化dx^νに伴うg, gλρの変化dg,dgλρに対して式(154):dg=gg^λρdgλρを適用し て上式(301)最右辺第1項を書き換えると，

−∂νg

2g g^µν =−1

2g^µνg^λρ∂νgλρ=−1

2g^µρg^νλ∂ρgνλ

と な る (ダ ミ ー 添 字 を ν ↔ ρ と 入 れ 換 え た)．ま た g^µνgνλ = δ^µ_λ の 両 辺 を x^ρ で 微 分 し て 得 ら れ る

−(∂ρg^µν)gνλ=g^µν∂ρgνλの両辺にさらにg^λρをかけてλで和をとると，上式(301)第2項は

−∂_νg^µν =g^µνg^λρ∂_ρg_νλ=g^µρg^λν∂_λg_ρν

となる(ダミー添字をν →ρ, ρ→λ, λ→νと巡回置換した)．以上より式(301)は式(300)に一致するから，

式(156)が示された．

■式(157):∂λg^µν =−Γ^µ_ρλg^ρν−Γ^ν_ρλg^µρの導出 g^µν_;λは(2,1)テンソルであり局所慣性系でg^µν_;λ= 0と なるから(第3.1.8節参照)，変換則(3.1.1)より任意の座標系で

0 =g^µν_;λ=∂λg^µν+g^ρνΓ^µ_ρλ+g^µρΓ^ν_ρλ が成り立つ．よって式(157):∂_λg^µν =−Γ^µ_ρλg^ρν−Γ^ν_ρλg^µρが示された．

■反変ベクトルA^µ，反対称テンソルA^µν の発散の式(158)，(159)の導出 共変微分の式A^µ_;µ =∂_µA^µ+ A^νΓ^µ_νµの右辺第2項に式(155):Γ^µ_νµ=∂νg

2g ^{を代入すると式}(158):

A^µ_;µ=∂µA^µ+A^ν∂νg 2g = 1

√−g∂µ(√

−gA^µ) を得る．

共変微分の式A^µν_;ν =∂νA^µν+A^ρνΓ^µ_ρν +A^µρΓ^ν_ρν の右辺第2項は添字ρ, νについて反対称なA^ρν と 対称なΓ^µ_ρν から成るので，式(195)により消える．また右辺第3項に式(155):Γ^ν_ρν = ∂_ρg

2g ^{を代入すると式} (159):

A^µν_;ν=∂νA^µν +A^µρ∂ρg 2g = 1

√−g∂ν(√

−gA^µν) を得る．

6.1.8 Christoffel記号の変換則(補足)

第3.1.10節におけるChristoffel記号の変換則(160)を導こう．式(153):

Γ^′_λ,µν =1

2(∂_µ^′g^′_νλ+∂_ν^′g^′_λµ−∂_λ^′g^′_µν) において

∂λ′g^′_µν =∂λ′(

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′νgβγ

)

=∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν (∂x^α

∂x^′λ∂αgβγ

) (

∵∂λ′= ∂x^α

∂x^′λ∂α

)

+gβγ

( ∂²x^β

∂x^′λ∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν + ∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′λ∂x^′ν )

=Aλµν+Bλµ,ν+Bλν,µ

である．ここに

Aλµν ≡∂x^α

∂x^′λ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν∂αgβγ,

∴Aµνλ=∂x^γ

∂x^′λ

∂x^α

∂x^′µ

∂x^β

∂x^′ν∂αgβγ= ∂x^α

∂x^′λ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν∂βgγα

(第2の等号でダミー添字をα→β, β→γ, γ→αと巡回置換した), Aνλµ=∂x^β

∂x^′λ

∂x^γ

∂x^′µ

∂x^α

∂x^′ν∂αgβγ= ∂x^α

∂x^′λ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν∂γgαβ

(第2の等号でダミー添字をα→γ, β→α, γ→βと巡回置換した), B_λµ,ν ≡g_βγ ∂²x^β

∂x^′λ∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν =B_µλ,ν, ∴g_βγ∂x^β

∂x^′µ

∂²x^γ

∂x^′λ∂x^′ν =B_λν,µ であり，これらを用いると上記のChristoffel記号は

Γ^′_λ,µν=1

2(A_µνλ+A_νλµ−A_λµν) +1

2{(B_µν,λ+B_µλ,ν) + (B_νλ,µ+B_νµ,λ)−(B_λµ,ν+B_λν,µ)}

=∂x^α

∂x^′λ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′ν ·1

2(∂_βg_γα+∂_γg_αβ−∂_αg_βγ) +B_µν,λ

=∂x^α

∂x^′λ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′νΓ_α,βγ+g_βγ ∂²x^β

∂x^′µ∂x^′ν

∂x^γ

∂x^′λ,

∴Γ^′λ_µν =g^′λρΓ^′ρ,µν = (

g^στ∂x^′λ

∂x^σ

∂x^′ρ

∂x^τ )

Γ^′ρ,µν= ∂x^′λ

∂x^σ

∂x^β

∂x^′µ

∂x^γ

∂x^′νΓ^σ_βγ+∂x^′λ

∂x^β

∂²x^β

∂x^′µ∂x^′ν : (160) (

∵g^στ∂x^′ρ

∂x^τ

∂x^α

∂x^′ρΓ_α,βγ =g^στδ^α_τΓ_α,βγ= Γ^σ_βγ, g^στ∂x^′ρ

∂x^τ

∂x^γ

∂x^′ρg_βγ=g^στδ^γ_τg_βγ=δ^σ_β )

となる[13, p.29]．

6.1.9 曲率テンソル(補足)

■測地線 測地線を2点間の局所的最短曲線と定義する．このとき第3.1.11節で述べたように，測地線の接 ベクトルを測地線に沿って平行移動すると移動先の点での接ベクトルに一致することを示す．測地線を弧長s でパラメトライズし接ベクトル⃗u≡d⃗x/dsをとる．測地線を2点間の局所的最短曲線とすると，測地線に対 して弧長∫

dsは停留値をとる．その条件は，変分原理から粒子の運動方程式を導く第6.3.1節の途中計算より 0 =δ

∫

ds=−

∫ ( g_µλdu^µ

ds +u^µu^νΓ_λ,µν )

δx^λds,

∴0 =du^µ

ds + Γ^µ_αβu^αu^β= d²x^µ

ds² + Γ^µ_αβdx^α ds

dx^β ds

と書ける．これはa, bを定数として弧長sの代わりに新しいパラメーターλ=as+bを用いたときの接ベク トルU⃗ ≡d⃗x/dλに対する方程式

0 =a² (d²x^µ

dλ² + Γ^µ_αβdx^α dλ

dx^β dλ

)

=a² (dU^µ

dλ + Γ^µ_αβU^αU^β )

になる(d ds =a d

dλ)．これは測地線上のある点での接ベクトルU⃗ が別の点での接ベクトルを測地線，従って その接ベクトルU⃗ に沿って平行移動したものであることを表す式

0 =U^αU^µ_;α=U^α(∂_αU^µ+U^βΓ^µ_αβ) = dU^µ

dλ + Γ^µ_αβU^αU^β に他ならない[14, pp.199–200]．

図25 ベクトルを平行移動させる微小な閉曲線(^図7^の再掲)

■ベクトルの閉曲線に沿う平行移動に伴う成分変化 ベクトルV⃗ を平行移動させる閉曲線の図7(第3.1.11 節)を図25として再掲する．これに沿ってベクトルV⃗ を1周だけ平行移動したときの成分変化の式(162) を，曲線a, b= constが座標曲線x¹, x²= constの場合の計算[14, pp.201–202]を参考にして導く．

ベクトル成分V^µの変化率は式(161)より

経路AB上の点で経路に沿って a^ν∂_νV^µ=−a^νV^λΓ^µ_λν, 経路BC上の点で経路に沿って b^ν∂νV^µ=−b^νV^λΓ^µ_λν, 経路DC上の点で経路に沿って a^ν∂_νV^µ=−a^νV^λΓ^µ_λν, 経路AD上の点で経路に沿って b^ν∂νV^µ=−b^νV^λΓ^µ_λν

だから(ただし各量は経路上の考えている点での値をとる)，V⃗ の1周したときの成分変化は δV^µ=−

∫

AB

a^νV^λΓ^µ_λνda−

∫

BC

b^νV^λΓ^µ_λνdb−

∫

CD

a^νV^λΓ^µ_λνda−

∫

DA

b^νV^λΓ^µ_λνdb

=− (∫

BC

−

∫

AD

)

b^νV^λΓ^µ_λνdb+ (∫

DC

−

∫

AB

)

a^νV^λΓ^µ_λνda

≃ −

∫

AD

δa ∂

∂a(b^νV^λΓ^µ_λν)db+

∫

AB

δb∂

∂b(a^νV^λΓ^µ_λν)da

≃δaδb {

− ∂

∂a(b^νV^λΓ^µ_λν) + ∂

∂b(a^νV^λΓ^µ_λν) }

と書ける．ここで再びベクトル成分の変化率の式(161):

∂b^ν

∂a =a^ρ∂ρb^ν =−a^ρb^σΓ^ν_σρ, ∂V^λ

∂a =a^ρ∂ρV^λ=−a^ρV^σΓ^λ_σρ,

∂a^ν

∂b =b^ρ∂ρa^ν =−b^ρa^σΓ^ν_σρ, ∂V^λ

∂b =b^ρ∂ρV^λ=−b^ρV^σΓ^λ_σρ を用いると

δV^µ=δaδbV^λΓ^µ_λνΓ^ν_σρ(a^ρb^σ−a^σb^ρ) +δaδba^ρb^νV^σ(Γ^λ_σρΓ^µ_λν−Γ^λ_σνΓ^µ_λρ−∂ρΓ^µ_σν+∂νΓ^µ_σρ)

=V^σ(a^ρδa)(b^νδb)R^µ_σνρ

となる(添字σ, ρに関してa^ρb^σ−a^σb^ρは反対称，Γ^ν_σρは対称なので式(195)よりΓ^ν_σρ(a^ρb^σ−a^σb^ρ) = 0)． これはV⃗ の1周したときの成分変化の式(162)である．

6.1.10 Lorenzゲージ

第3.5節で述べたように同一の電磁場を，従って同一の電磁テンソルを与える電磁ポテンシャルは無数に存 在する．実際ある電磁ポテンシャルA^µから作られる電磁テンソルFµνと，f を時空座標の任意の関数として 電磁ポテンシャルA^′µ≡A^µ+∂^µfから作られる電磁テンソルF^′µνは同じ値を持つ:

F^′µν ≡∂µA^′ν−∂νA^′µ=∂µ(Aν+∂νf)−∂ν(Aµ+∂µf) =∂µAν−∂νAµ=Fµν.

仮に正しい電磁場を与える電磁ポテンシャルA^µがLorenz条件(168):A^µ_;µ= 0を満たさなくても，関数fを 適当に選べば同じ電磁場を与える電磁ポテンシャルA^′µ =A^µ+∂^µf がLorenz条件を満たすようにできる．

実際そのためには0 =A^′µ_;µ=A^µ_;µ+ (∂^µf)_;µよりfを(∂^µf)_;µ =−A^µ_;µの解にとれば良い．