求めた基底ベクトルの妥当性の評価

本項では，PCAで求めた基底ベクトルが，眼鏡なし顔画像を推定するものとして適切な ものかどうか評価する．まず，適切な基底ベクトルとはどのようなものか，その条件を示 し，求めた基底ベクトルの特性が条件を満たしているか評価する．

眼鏡なし顔画像の推定に必要な基底ベクトルの条件

ここでは，眼鏡なし顔画像を忠実に推定するために必要な基底ベクトルの条件について 考察する．

眼鏡なし顔画像n_i（i=1,2,· · ·,N）を平均顔画像n¯ と対象人物の顔の特徴成分p_i を用い て式(2.19) のように表す．

n_i = ¯n + p_i (2.19)

同様に，眼鏡顔画像m_i を眼鏡なし顔画像n_i と眼鏡成分e_i を用いて次式のように表す．

m_i =n_i + e_i (2.20)

= ¯n + p_i + e_i (2.21)

式(2.21)(2.22) により眼鏡顔画像m_i 内の対象人物の顔の特徴成分p_i を推定するには，基 底ベクトルu_j は式(2.23)(2.24) に示すように，眼鏡成分e_i を表現せずにp_i だけを表現す るような条件を満足する必要がある．

N−1

j=1

u^t_j·(m_i −n)¯ u_j = p_i (2.22)

N−1

j=1

(u^t_j·p_i)u_j = p_i (2.23)

N−1

j=1

(u^t_j·e_i) u_j =O (2.24)

眼鏡なし顔画像を入力とした推定実験

眼鏡なし顔画像集合の基底ベクトルu_j が式(2.23) の条件を満足しているか検討するた め，眼鏡なし顔画像n_i を入力として眼鏡のない顔画像を推定する．

式(2.5)における眼鏡顔画像m_i に代えて眼鏡なし顔画像n_i1 を入力として式(2.25)(2.26) により推定した結果n^ˆi₁|n_i1,u_jk を図2.16 に示す．

人物 1 ^人物 2 ^人物 3

n₁₁ n₂₁ n₃₁

nˆ11|n₁₁^,uj1 nˆ21|n₂₁^,uj1 nˆ31|n₃₁^,uj1

nˆ₁₁|n₁₁^,uj2 nˆ₂₁|n₂₁^,uj2 nˆ₃₁|n₃₁^,uj2

nˆ₁₁|n₁₁,uj3 nˆ₂₁|n₂₁,uj3 nˆ₃₁|n₃₁,uj3

図 2.16: 眼鏡なし顔画像n_i1 に対する推定結果nˆ_i1|ni1,u_jk

q_ijk = u^t_j

k ·(n_i1−n)¯ (2.25)

nˆ_i1|ni1,u_jk =

N−1 j=1

q_i

jk u_jk + ¯n (2.26)

主観的に評価してみると，対象人物の顔の特徴を有した忠実な結果が得られていることか ら，基底ベクトルu_j は式(2.23)を満たしていると言える．ただし，人物3の場合，基底ベ

顔画像m₂ から手動で抽出した眼鏡フレーム画像f₂（図2.17） を用いて基底ベクトルと の直交性について検討する．

眼鏡顔画像m₂ 眼鏡フレーム画像f₂ 図 2.17: 眼鏡顔画像m₂と眼鏡フレーム画像f₂

眼鏡フレーム画像と基底ベクトルとの内積値を図2.18 に示す．比較として，眼鏡なし顔

画像（図2.6 の人物2）と基底ベクトルとの内積値も同時に示した．

眼鏡フレーム画像と基底ベクトルが直交していれば，その内積値は0になるが，図2.18 を見ると内積値は0 にはなっておらず，完全には直交していないことが判る．ただし，全 体の傾向として，内積値は低次から高次へ進むにつれて減少しており，眼鏡なし顔画像の 場合と比較すると，特に低次において内積値が小さくなっている（基底ベクトルの累積寄 与率を求めると，第59主成分において0.9 を越えている）．基底ベクトルは，低次のもの ほど眼鏡なし顔の特徴を良く表し，高次のものは肌の質感などの輝度値の細かなばらつき を表すと考えられる．このことから，眼鏡の成分は基底ベクトルと完全には直交していな いものの，眼鏡の成分と顔の特徴をよく表す基底ベクトルとは比較的良く直交していると 考えている．

基底ベクトルと眼鏡の成分との非直交性により，推定結果にどのような影響が現れるの かを確認するため，眼鏡フレーム画像を入力として推定実験を行った．図2.19 に，眼鏡フ レーム画像f₂ を入力として式(2.27)(2.28) により推定した結果を示す．

q_2jk = u^t_j

k·(f₂ −n)¯ (2.27)

nˆ₂|f₂,u_jk =

N−1 j=1

q_2jk u_jk + ¯n (2.28)

0 200 400 600 800 1000 1200

0 50 100 150 200

眼鏡フレーム画像 眼鏡なし顔画像

基底ベクトル（第n主成分）

内積値

図 2.18: 眼鏡フレーム画像および眼鏡なし顔画像と，基底ベクトルとの内積値の絶対値

をほぼ満足していると言える．

以上のように，眼鏡なし顔画像の推定と，眼鏡の成分との直交性から，PCAで求めた基 底ベクトルは眼鏡顔画像からの眼鏡なし顔画像推定に適したものと言える．

nˆ2|f2,uj1 nˆ2|f2,uj2 nˆ2|f2,uj3

図 2.19: 眼鏡フレーム画像f₂ に対する推定結果nˆ₂|f₂,u_jk