第 3 章 物質中の磁場（ Chapter 6 Magnetic Fields in Matter ） 65
3.4 線形媒質，非線形媒質（6.4 Linear and Nonlinear Media）
と書くことにする．係数µは
µ≡µ0(1 +χm) (3.66)
で定義され，透磁率（permeability）と呼ばれる．真空中では磁化されるべき物質が存在しないのでχm= 0 であり，したがってµ=µ0である．このことからµ0は真空の透磁率（permeability of free space）と 呼ばれる．
例題（Example 6.3）：図3.13(a)のように，単位長さあたりの巻き数nの無限に長いソレノイドの内部が 磁化率χmの物質で充たされている．このソレノイドに電流Iを流したときのソレノイド内部の磁場を求 めよ．
(a) (b)
図3.13: 内部が磁性体で充たされたソレノイド．
解答：閉曲線（Amp`erian loop）を図3.13(b)のよう にとって物質中のAmp`ereの法則B
H·dl = Ifenc
を使えば，ソレノイド内が真空であるときのBを求 めるのと同様にHを求めることができる（Griffiths
Example 5.9を参照せよ）．ソレノイド内部では
H=nIˆz (3.67)
となる．したがって，
B=µ0(1 +χm)nIˆz (3.68) となる．もしも媒質が常磁性体（χm>0）であれば，
Bはソレノイド内が真空であった場合よりも大きく なる．逆に媒質が反磁性体（χm<0）ならBは小さ くなる．
図3.14: ソレノイド内部の磁性体に誘起される表面拘
束電流．
以上の結果は，磁化によって誘起される表面拘束 電流を考えるとより明確に理解できる．表面拘束電 流密度は
Kb =M×nˆ =χm(H×n) =ˆ χmnIφˆ (3.69) で与えられるが，媒質が常磁性体ならKbは電流Iと 同方向，反磁性体なら逆方向となる．従って，常磁性 体では拘束電流は磁場を強める方向に働き，反磁性 体では逆の方向に働く（図3.14）．
3.4.2 真空中の磁場との相違点（ 6.3.2 A Deceptive Parallel ）
物質中のAmp`ereの法則は真空中のAmp`ereの法則において全電流Jを自由電流Jfに，Bをµ0Hに置き 換えただけで同じ形をしている．しかし，そのことはµ0Hが真空中でJfによって作られるBと同じになる ことを意味するわけではない．これを理解するには，静磁場の基礎方程式が以下の二式からなることを思い 出す必要がある．
1
µ0∇ ×B=J (3.70)
∇·B= 0 (3.71)
磁場Bを決定するためには，一般にはAmp`ereの法則(3.70)式だけでは不十分であり，(3.71)式も必要であ る．（Amp`ereの法則を使ってBを求めるときには，暗黙のうちに(3.71)式を満たす解を仮定している．）一 方，Hが従う方程式は
∇ ×H=Jf (3.72)
であるが，Hの発散は一般にはゼロにならない．
∇·H=∇·
& 1 µ0
B−M '
=−∇·M (3.73)
磁化ベクトルMの発散がゼロである場合にのみ，Bとµ0Hの類似は正しいのである．
例えば，短い棒磁石が軸と平行に一様な磁化Mを持っている場合を考えてみよう．（GriffithsのProb.6.9
とProb.6.14でこの状況を扱っている．）この場合，自由電流はどこにも存在しない．しかし，だからといっ
て即座に，いたるところでH = 0であると結論づけてはいけない．もしもそうであれば，磁石の外部では
B= 0，内部ではB=µ0Mということになる．しかし，現実には磁石の外部に磁場が発生しないというこ
とはないので，この答えは明らか誤りであることがわかる．（無限に長い棒磁石であれば正しくなる．）確かに 至る所で∇ ×H= 0は成り立っているが，∇·H= 0は必ずしも成り立っていない．（Mが一様なのだから
∇·M= 0であると思われがちだが，磁石の上辺と底辺ではMが不連続にゼロになるため，∇·Mはデルタ 関数的な振舞いを持つ．）
磁性体が存在する場合にBやHを求めるときは，まず系の対称性に着目する．もしも円柱対称，面対称 などの対称性があれば真空中の静磁場の問題と同様にしてAmp`ereの法則によりHを求めることができる．
（このような場合は∇·M = 0であり，自由電流のみからHを決めることができるのである．）もしも系が 特殊な対称性を持っていなければ，簡単にHを求めることはできない．特に，自由電流が存在しないからと いって即座にH= 0と結論付けてはいけない．
3.4.3 静磁場の境界条件（ 6.3.3 Boundary Conditions ）
B⊥above, Habove⊥
Bbelow⊥ , Hbelow⊥
K
図3.15:
B!above, H!above
B!below, Hbelow!
K
l
図3.16:
表面電流Kが存在する場合，磁場Bは不連続に変化する．GriffithsのSec.5.4.2で学んだように，Bの境 界条件は以下のように与えられる．（図3.15,3.16）
B⊥above−Bbelow⊥ = 0 (3.74)
B&above−B&below=µ0(K×n)ˆ (3.75)
これらを補助場Hで書き換えよう．
まず，(3.74)式より
Habove⊥ −Hbelow⊥ =
&
1 µ0
Babove⊥ −Mabove⊥ '
−
&
1 µ0
B⊥below−Mbelow⊥ '
(3.76)
= 1 µ0
(B⊥above−Bbelow⊥ )−(Mabove⊥ −Mbelow⊥ ) (3.77)
=−(Mabove⊥ −Mbelow⊥ ) (3.78)
よって
Habove⊥ −Hbelow⊥ =−(Mabove⊥ −Mbelow⊥ ) (3.79) となる．
次に，(3.75)式より
H&above−H&below= 1 µ0
(B&above−B&below)−(M&above−M&below) (3.80)
=K×nˆ−(M&above−M&below) (3.81)
ここで表面拘束電流が
Kb= (Mbelow−Mabove)×nˆ (3.82)
で与えられることを使うと，
Kb×nˆ=−:
(Mabove−Mbelow)×nˆ;
×nˆ (3.83)
ベクトル３重積の公式A×(B×C) =B(A·C)−C(A·B)より Kb×nˆ=−:
(Mabove−Mbelow)·nˆ; ˆ
n+ (Mabove−Mbelow)(ˆn·n)ˆ (3.84)
=−(Mabove⊥ −Mbelow⊥ )ˆn+ (Mabove−Mbelow) =M&above−M&below (3.85) これを(3.81)式に用いると，
H&above−H&below= (K−Kb)×nˆ (3.86)
ここでK=Kf+Kbであることを使うと，最終的に
H&above−H&below=Kf×nˆ (3.87)
を得る．