り，Vの第3音は短2度上行して主音に到達しなければならない，V7の第7音は2度下 行してiii度音に到達しなければならない，などが代表的である．和音間距離は対称性を 持つため，このような一方向のペナルティを加えることは和声解析に有用だと思われる．
また，表層的な和音列だけではなく，和声解析と簡約を組み合わせることでも改善が可能 と考えられる．
局所的カデンツについては，導入することで音楽的直観を反映できると思われる楽曲 もあり，局所的カデンツ自体は楽曲に新たな解釈を与えるという点で意義のあるものだと 思われる．しかし，現状ではCadential Retentionにおいて通常のカデンツと同様に扱って おり，その発見や簡約の方法について何らかの制約が必要でないか，今後検討する必要が ある．
タイムスパン木における構造レベルを決定するためには，タイムスパン簡約の前段階と なるタイムスパン分割の正しい実装が必要と考えられるため，本研究では構造レベルの決 定を見送った．
また，本研究では和音の情報として楽譜に示されたバークリーメソッド式のコードネー ムを用いているが，将来的には楽譜上の音符から直接和音列を獲得する手法が必要になる と考えられる．この実現のためには，非和声音，分散和音，構成音の省略など多くの解決 すべき問題がある．
将来的な展望としては，まずCadential Retentionを実装したことで，GTTMの最後のス テップであるプロロンゲーション簡約への足がかりとなることが考えられる．また，和声 情報を含んだタイムスパン木を基にすることで，自動編曲や楽曲間の類似度計算などの応 用についても新たな知見を得られることが期待される．
謝辞
本研究を進めるにあたり，熱心なご指導とご助言をいただきました本学 東条敏教授に 深く感謝の意を表するとともに，ご指導をいただきました本学 Nguyen Minh Le准教授，
白井清昭准教授に感謝いたします．また，有益なご助言をいただきました筑波大学 松原 正樹助教に感謝いたします．最後に，多大なご支援をいただきました本学 保健管理セン ター 佐々木恵准教授に深謝いたします．
参考文献
[1] Fred Lerdahl and Ray Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. The MIT Press, 1983.
[2] Fred Lerdahl. Tonal Pitch Space. Oxford University Press, 2001.
[3] Shoki Sakamoto, Sean Arn, Masaki Matsubara, and Satoshi Tojo. Harmonic analysis based on Tonal Pitch Space. In2016 Eighth International Conference on Knowledge and Systems Engineering (KSE), pp. 230–233, oct 2016.
[4] Masaki Matsubara, Takafumi Kodama, and Satoshi Tojo. Revisiting Cadential Retention in GTTM. In2016 Eighth International Conference on Knowledge and Systems Engineer-ing (KSE), pp. 218–223, oct 2016.
[5] Nils L. Wallin, Bj¨orn Merker, and Steven Brown. The Origins of Music. The MIT Press, 2000.
[6] 西田昌史, 東条敏, 佐藤健. HPSGを用いた楽曲の和声解析. 情報処理学会研究報告 Vol.2002-MUS-47, pp. 127–134, 2002.
[7] Takeshi Fukunari, Sean Arn, and Satoshi Tojo. CCG analyzer with Tonal Pitch Space for non-classical chords. In2016 Eighth International Conference on Knowledge and Systems Engineering (KSE), pp. 239–246, oct 2016.
[8] Eugene Narmour. The Analysis and Cognition of Basic Melodic Structures: The Implication-Realization Model. The University of Chicago Press, 1990.
[9] Masatoshi Hamanaka, Keiji Hirata, and Satoshi Tojo. ATTA: Automatic Time-span Tree Analyzer Based on Extended GTTM. InProceedings of the 6th International Conference on Music Information Retrieval Conference (ISMIR2005), pp. 358–365, sep 2005.
[10] Masatoshi Hamanaka and Satoshi Tojo. Interactive GTTM Analyzer. InProceedings of the 10th International Conference on Music Information Retrieval Conferece (ISMIR2009), pp. 291–296, oct 2009.
[11] 島岡譲ほか. 和声 理論と実習. 音楽之友社, 1964.
[12] 山縣茂太郎. 新訂 音楽通論. 音楽之友社, mar 1958.
[13] 東条敏, 平田圭二. 音楽・数学・言語–情報科学が拓く音楽の地平. 近代科学社, may 2017.
[14] Heinrich Schenker. Der Freie Satz. Vienna, Universal Edition, 1935.
[15] MusicXML for Exchanging Digital Sheet Music. http://www.musicxml.com. 2018年 1月23日アクセス.
[16] 山口直彦,菅村昇.非調構成音を含む和音への対応を目的としたTPS (Tonal Pitch Space) の拡張–ジャズ音楽理論への適用を目指して–. 情報処理学会研究報告 Vol.2011-MUS-89 No.10, pp. 1–6, feb 2011.
[17] Masatoshi Hamanaka. GTTM – Generative Theory of Tonal Music / Masatoshi Hamanaka. http://gttm.jp/gttm/, 2009. 2018年1月23日アクセス.
[18] Satoshi Tojo and Keiji Hirata. Structural Similatiry Based on Time-Span Trees. In Pro-ceeding of CMMR2012, pp. 645–660, 2012.
[19] 松山祐士. プロフェッショナル・ユース コード付 クラシック・メロディ・ファイル.
ドレミ楽譜出版社, sep 2001.
[20] Free music composition and notation software — MuseScore. https://musescore.
org. 2018年1月23日アクセス.
付 録 A 実験に使用した楽曲一覧
本研究の実験に用いた楽曲の一覧を表A.1に示す．左端の番号はGTTMのデータベー ス[17]におけるインデックスである．
表A.1: 使用楽曲一覧
# 曲名 作曲者
1 Waltz in E flat “Grande Valse Brillante” Op.18 F. Chopin
2 Moments Musicaux F. Schubert
3 Bagatelle “F¨ur Elise” WoO.59 L. Beethoven
4 The Preludes Op.28 No.15 F. Chopin
5 Turkish March L. Beethoven
6 Blumenlied Op.39 G. Lange
7 Nocturne F. Chopin
9 String Quartet in F major Op.3 No.5 Serenade F. J. Haydn
10 Wiegenlied J. Brahms
11 Solvejgs Lied E. Grieg
12 Anitras Dans E. Grieg
13 Traumerei R. Schumann
14 Menuett No.2 in G maj L. Beethoven
15 Aida Grand March G. Verdi
16 William Tell Overture G. Rossini
18 Thais Meditation J. Massenet
19 Tannhauser Overture R. Wagner
20 La Traviata Brindisi G. Verdi
21 Plaisir d’Amour J. Martini
22 Ellens Gesang III Op.52-6 D.839 F. Schubert
23 Die Meistersinger von Nurnberg Prelude R. Wagner
24 Orph´ee aux Enfers Overture J. Offenbach
25 L’Arlesienne Suite No.2 Farandole G. Bizet 26 Overture No.3 BWV.1068 Air on a G string J. S. Bach
次ページに続く
# 曲名 作曲者 27 Peer Gynt Suite No.1 Op.46 Morgenstemning E. Grieg 28 Le carnaval des animaux Le Cygne C. Saint-Sa¨ens
30 3 Gymnopedies No.1 E. Satie
31 Sinfonie Nr.9 d moll Op.125 4.Satz An die Freude L. Beethoven 32 The Nutcracker Suite Op.71a No.8 Waltz of the Flowers P. Tchaikovsky
33 Swan Lake Op.20 No.9 Finale P. Tchaikovsky
34 Water Music in D major HWV349 No.11 Alla Hornpipe G. F. H¨andel
35 Ombra mai f´u HWV40 G. F. H¨andel
36 Estudiantiana Op.191 E. Waldteufel
37 Sonate f¨ur Klavier Nr.48 C dur Op.30-1 Mov.1 F. J. Haydn 38 Sonate f¨ur Klavier Nr.15 C dur K.545 Mov.1 W. A. Mozart
39 Andante C dur F. J. Haydn
40 Alpengluhen Op.193 T. Oesten
44 Rosamunde Op.26 D.797 Intermezzo No.3 F. Schubert 45 Gianni Schicchi O mio babbino caro G. Puccini 54 Suite HWV430 Air mit Variationen Harmonious Blacksmith G. F. H¨andel
56 Le Coucou L. C. Daquin
57 Waves of the Danube I. Ivanovici
58 Waltzes No.6 Op.64-1 Des dur Valse du Petit Chien F. Chopin 59 Schwanengesang No.1 Op.72-4 D.957-4 St¨andchen F. Schubert
60 M´a Vlast Moldau B. Smetana
61 Album f¨ur die Jugend Op.68-10 Frohlicher Landmann R. Schumann 66 The Nutcracker Suite Op.71a No.2 March P. Tchaikovsky
68 12 Etudes E dur Op.10-3 F. Chopin
69 Kanon und Gigue D dur J. Pachelbel
70 BWV147-6 Wohl mir, dass ich Jesum habe J. S. Bach
71 Messiah HWV56 23.Hallelujah G. F. H¨andel
72 Pr´eludes 1 La fille aux cheveux de lin C. Debussy
73 Pavane pour une infante d´efunte M. Ravel
74 8 Humoresky Op.101-7 B.187 Ges dur A. Dvoˇr´ak
75 Sicillienne Op.78 G. Faur´e
76 Salut d’amour Op.12 E. Elgar
77 Violinkonzert e moll Op.64 1.Satz F. Mendelssohn 78 Le quattro stagioni Concerti Nr.1 E dur RV.269 La Primavera A. Vivaldi 79 Eine kleine Nachtmusik G dur K.525 1.Satz W. A. Mozart
次ページに続く
# 曲名 作曲者 80 Symphonie Nr.40 g moll KV.550 1.Satz W. A. Mozart 81 Symphony No.9 Op.95 From the New World Mov.2 A. Dvoˇr´ak 82 An der sch¨onen Blauen Donau Op.314 J. Strauss II
83 Radetzky-Marsch Op.228 J. Strauss I
86 Pomp and Circumstance Op.39 No.1 E. Elgar
89 12 Etudes c moll Op.10-12 F. Chopin
90 Impromptus D.935 Op.142-3 B dur F. Schubert
93 Sechs Ges¨ange Op.34-2 Auf Fl¨ugeln des Gesanges F. Mendelssohn
94 Csikos Post H. Necke
96 Lieder ohne Worte Heft 5 Op.62-6 Fr¨uhillingslied F. Mendelssohn
97 Les Patineurs Op.183 E. Waldteufel
98 Sonate f¨ur Klavier Nr.8 c moll Pathetique Op.13 2.Satz L. Beethoven
99 3 Valses No.7 Op.64-2 cis moll F. Chopin
100 Sonate f¨ur Klavier Nr.11 A dur K.331 K6.300i Mov.1 W. A. Mozart
101 Violinromanze Nr.2 F dur Op.50 L. Beethoven
102 Polonaisen 3 Militaire A dur Op.40-1 F. Chopin
103 Carmen Habanera G. Bizet
104 Ein Sommernachtstraum Wedding March Op.61-9 F. Mendelssohn
106 Toy Symphony L. Mozart
107 Liebestraume 3 Notturnos S.541 R.211 As dur F. Liszt 108 Walk¨urenritt Ride of the Valkyries R. Wagner 109 Sonate f¨ur Klavier und Violine Nr.5 F dur “Fr¨uhling” Op.24 L. Beethoven
110 L’Arl´esienne Menuett G. Bizet
111 The Bridal Chorus from the opera Lohengrin R. Wagner 112 Madama Butterfly Un bel d`ı vedremo G. Puccini 113 Concert for piano and orchestra No.1 Op.23 Mov.1 P. Tchaikovsky
114 Symphony No.1 Op.68 C major J. Brahms
116 Pi`eces de clavecin “Tambourin” J. P. Rameau
117 Symphony No.4 A major Op.90 F. Mendelssohn
129 Ungarische Rhapsodie S.244 Nr.2 cis moll F. Liszt
130 The nutcracker suite Op.71a “Trepak” P. Tchaikovsky 135 Peer Gynt Suite No.1 Op.46 Åses Død E. Grieg 136 Concert for Flute & Harp K.299 Mov.1 W. A. Mozart
138 Horn Concert No.1 D major W. A. Mozart
139 Les saisons Op.37bis No.6 “Barcarolle” P. Tchaikovsky 次ページに続く