第 4 章 Cadential Retention の実装のため の提案手法
4.4 Cadential Retention
4.4.2 タイムスパン構造の組み替え
組み替えの必要性
タイムスパン木において，和音列ci−1,ciからなるカデンツは，それぞれの和音の範囲 を代表するピッチイベントのペアをヘッドとして表現される．このとき，そのカデンツを 含む最小のタイムスパンTiがカデンツの範囲と完全に一致していれば直接Tiのヘッドを epとef のペアにすればよい．しかし，カデンツの範囲がTiの途中から始まっている場合 は，Tiの中でci−1に先行する部分をカデンツに従属させる必要がある．規則的なグルーピ ング構造であれば，カデンツが弱拍から始まる男性終止の場合にこの問題が生じる．
例えば，図4.8 (F. J. Haydn，String Quartet Op.3 No.5 Serenade)のカデンツ周辺におい て，(a)は本来のタイムスパン構造を示す．5∼6小節目の完全終止D7→GはTSRPR7の適 用を受けて，4小節目の4拍目から曲の最後までのタイムスパン(図中，赤色で示す)の ヘッドとして選ばれる．しかし，カデンツの開始点は5小節目の3拍目であり，このとき 4小節目の4拍目から5小節目の3拍目手前までの範囲をこのカデンツに従属させなけれ ばならない．そこで，カデンツのpenultに相当する5小節目の3拍目から6小節目の手前 までの部分とfinalに相当する6小節目全体のタイムスパンを含む新しいタイムスパン(図 中，青色で示す)を導入し，図中(b)のようにタイムスパン構造を変更すると，この従属 関係を表現することができる．
図4.8: タイムスパン構造の組み替えが必要なカデンツの例1
また，延長カデンツにおいてもfinalの範囲のみを支配するタイムスパンが存在しない ことにより同様の問題が生じる．カデンツの延長部分はカデンツ全体に従属するものでは なくfinalの拡張であり，finalのヘッドef に従属するべきと考えられる．この場合も図4.9 (J. Offenbach，Orph´ee aux Enfers Overture)に示すように，青色で示したタイムスパンを新 たに導入して図中(a)の構造を(b)のように変更することで，finalの範囲におけるピッチ イベントの従属関係を適切に表現できる．
図4.9: タイムスパン構造の組み替えが必要なカデンツの例2
以上のような場合にカデンツやその周辺のピッチイベント間の従属関係を表現するため に，本研究では以下の手順でカデンツ周辺のタイムスパン構造を組み替える．ここで，最 下位レベル以外のタイムスパンはすべて2分割されることを前提とし，タイムスパンTを 直接含むタイムスパンをT の上位タイムスパン，T に直接含まれるタイムスパンをT の 下位タイムスパンと呼ぶこととする．さらに，2つの下位タイムスパンのうち，時系列上 で先に現れる方を下位先行タイムスパン，後に現れる方を下位後続タイムスパンと呼ぶ．
また，Tiは前節で述べた通り，カデンツの範囲全体を含む最小のタイムスパンである．
延長カデンツに対するタイムスパン構造の組み替え
まず，延長カデンツの場合はfinalの範囲全体のみを含むタイムスパンを次の手順で作る．
1. 以下のようにTa∼ Tcの指すタイムスパンを初期化する．
• カデンツのfinalである和音ciの範囲内において最初のピッチイベントのアタッ クを始端とする最大のタイムスパンを探索し，これをTbと置く．
• Tbの上位タイムスパンをTcと置く．TbはTcの下位後続タイムスパンである．
• Tcの下位先行タイムスパンをTaと置く．TaはTbの直前のタイムスパンとなる．
2. Tcの上位タイムスパンをTdと置く．
3. Tc,Td,Tiの構造的関係に応じて以下のいずれかを実行する．
(a) TdとTiが同一である場合
1) カデンツのfinal全体のみを範囲とする新たなタイムスパンTf を導入する．
2) Tf の下位先行タイムスパンにTb，下位後続タイムスパンにTiの下位後続 タイムスパンを設定する．また，Tiの下位先行タイムスパンにTa，下位後 続タイムスパンにTf を設定する．
3) Tf のヘッドをfinalのヘッドef とし，処理を終了する．
(b) TdとTiが同一でなく，TcがTdの下位先行タイムスパンである場合 1) Tdの下位先行タイムスパンをTcからTbに置き換える．
2) Tbのヘッドがfinalのヘッドef であればef を，そうでなければTdの下位 後続タイムスパンのヘッドを，新たにTdのヘッドとして設定する．
3) TbとTcをともにTdに更新し，手順2.に戻る．
(c) TdとTiが同一でなく，TcがTdの下位後続タイムスパンである場合 1) Tdの下位後続タイムスパンをTcからTaに置き換える．
2) Taのヘッドがpenultのヘッドepであればepを，そうでなければTdの下位 先行タイムスパンのヘッドを，新たにTdのヘッドとして設定する．
3) TaとTcをともにTdに更新し，手順2.に戻る．
手順3.の(b)または(c)を経て手順2.に一旦戻ってきた後は，TcはTaとTbのうち最後 に更新された方のタイムスパンを指すことになる．
タイムスパンの途中から始まるカデンツに対するタイムスパン構造の組み替え
Tiの途中からpenultの範囲が始まるカデンツに対して，カデンツの範囲全体のみを含む タイムスパンを次の手順で作る．前述した延長カデンツに対する処理と類似しているが，
初期化やヘッドの選び方に違いがある．
1. 以下のようにTa∼ Tc，およびTf の指すタイムスパンを初期化する．
• カデンツのpenultである和音ci−1の範囲内において最初のピッチイベントのア タックを始端とする最大のタイムスパンを探索し，これをTbと置く．
• Tbの上位タイムスパンをTcと置く．TbはTcの下位後続タイムスパンである．
• Tcの下位先行タイムスパンをTaと置く．TaはTbの直前のタイムスパンとなる．
• カデンツのfinalの範囲全体に相当するタイムスパンをTf と置く．
2. Tcの上位タイムスパンをTdと置く．
3. Tc,Td,Tiの構造的関係に応じて以下のいずれかを実行する．
(a) TdとTiが同一である場合
1) カデンツ全体のみを範囲とする新たなタイムスパンTnを導入する．
2) Tnの下位タイムスパンがTbとTf，Tiの下位タイムスパンがTaとTnとな るようにタイムスパンの包含関係を設定する．
3) TnおよびTiのヘッドを，TbとTf のヘッド，すなわちepとef のペアとし，
処理を終了する．
(b) TdとTiが同一でなく，TcがTdの下位先行タイムスパンである場合 1) Tdの下位先行タイムスパンをTcからTbに置き換える．
2) Tbのヘッドがpenultのヘッドepであればepを，そうでなければTdの下位 後続タイムスパンのヘッドを，新たにTdのヘッドとして設定する．
3) TbとTcをともにTdに更新し，手順2.に戻る．
(c) TdとTiが同一でなく，TcがTdの下位後続タイムスパンである場合 1) Tdの下位後続タイムスパンをTcからTaに置き換える．
2) TdのヘッドがTbのヘッドと同一のピッチイベントである場合は，その代 わりにTaのヘッドを新たにTdのヘッドとして設定する．
3) TaとTcをともにTdに更新し，手順2.に戻る．
実際の楽曲では，以上の手順において繰り返し処理が必要になるような複雑な構造がカ デンツ部分に現れることは考えづらいが，理論上はあるタイムスパンの範囲内でどの時点 からカデンツ，あるいは延長カデンツにおけるfinalが始まっても適切にタイムスパン構 造を操作できるようにアルゴリズムを構築している．
図4.10に，このアルゴリズムを適用してタイムスパン構造を組み替える様子を示す．図 中(1)が入力された変更前のタイムスパン構造であり，(4)に向けて順に操作を行う．