概要

Tonal Pitch Space (TPS) [2]は，GTTMの提唱者でもあるLerdahlがGTTMの後に提唱 した，定量的な和声解析のための音楽理論であり，GTTMの曖昧な部分を補完するもの であるが，GTTMとは独立した理論となっている．この理論ではピッチ間，和音間，およ び調間に定量的な距離を与え，隣接するピッチ間，和音間，および調間の距離が近ければ 近いほどその進行は安定的で心地よく，距離が遠ければ遠いほどその進行は不自然で違和 感のあるものと解釈される．

TPSは調性的な緊張と弛緩の構造や，GTTMにおける安定性の概念，プロロンゲーショ ン簡約の補完などにも言及しているが，本節では，本研究における和声解析に利用した和 音間距離に限定して解説する．

2.3.2 和音間距離計算に必要な概念

本節では，TPSにおける和音間距離の計算に用いられるTPS独特の概念について解説 する．なお，短調は自然的短音階を前提とする．

ベーシックスペース

TPSではそれぞれの和音に対してベーシックスペース(basic space)を定義する．これに ついて，図2.34に示すI/Cのベーシックスペースを例に説明する．

levela(root): 0

levelb(fifth): 0 7

levelc(triadic): 0 4 7

leveld(diatonic): 0 2 4 5 7 9 11

levele(chromatic): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 図2.34: I/Cのベーシックスペース

ベーシックスペースでは，12音平均律におけるp0∼p11のピッチクラスについて，あ る和音における重要度を表している．ベーシックスペースは5つのレベルa ∼ eから構 成され，aから順にroot (根音)，fifth (根音と第5音)，triadic (三和音)，diatonic (全音階)，

chromatic (半音階)と並んでおり，aが最も重要度の高いレベルである．それぞれのレベル

は，aが根音，bが根音と第5音，cが和音の構成音，dが音階の構成音を持ち，最下レベ ルのeは12個すべてのピッチを持つ．図2.34の例では，I/Cはバークリーメソッドでは Cであり，その構成音はC (p0，根音)，E (p4，第3音)，G (p7，第5音)である．したがっ て，レベルaはp0のみ，レベルbはp0とp7，レベルcはp0，p4，p7の3つをそれぞれ

持つ．また，この和音はC majorの上にあり，その音階の構成音は和音構成音にD (p2)，

F (p5)，A (p9)，B (p11)を加えた7音であり，それらがレベルdに置かれる．

五度圏

一般的な調の五度圏(regional circle of fifths)については2.1.2節で説明した通りだが，

TPSではこれに加えて和音の五度圏(chordal circle of fifths)を定義する．和音の五度圏は 音階の構成音のみからなる五度圏であり，各音度上の三和音，またはその根音のピッチク ラスが図2.35に示すように時計回りに5度ずつ並べられる．ここで，基本的に隣り合う ピッチ間の音程は完全5度だが，長音階ではvii度音とiv度音，自然的短音階ではii度音 とvi度音の音程のみ減5度となることに注意が必要である．

0(I) 5(IV)

11(vii°)

4(iii) 9(vi)

2(ii) 7(V)

図2.35: 和音の五度圏(C major)

調空間

TPSでは調を平面上に並べ，図2.36のような調空間(regional space)を設定する．調空 間において，縦方向に隣接する調は属調および下属調の関係にあり，ある調の上にその属 調，下にその下属調が配置される．また，横方向に隣接する調は同主調または平行調の関 係にあり，ある長調の左にその平行調，右にその同主調が配置される(短調に対しては逆 に，左に同主調，右に平行調が配置される)．

この調空間ではある調から上に3つ，右に2つ移動すると元の調に戻る．あるいは縦方 向に12回，または横方向に8回移動しても元の調に戻る(異名同音を同じものと扱う)．こ れらのことから，調空間は螺旋状のトーラスであることがわかり，その様子は図2.37に見 ることができる．図中，赤色の矢印が縦方向，青色の矢印が横方向に1周する経路を示す．

...

d♯ F♯ f♯ A a C c

g♯ B b D d F f

c♯ E e G g B♭ b♭

· · · f♯ A a C c E♭ e♭ · · ·

b D d F f A♭ a♭

e G g B♭ b♭ D♭ d♭ a C c E♭ e♭ G♭ g♭

...

図2.36: 調空間

C

F

c

D♭

G♭

(d♭)

c♯ E

D

G B♭

d

E♭

A♭

e♭ e

A

B♭

f F♯

F♯

f♯

g

a♭ D

a

b♭

B b

G♭

図2.37: 調空間とトーラス([2] p.66，図2.23を基に作成)