第 8 章: マクスウェルの方程式と電磁波

電磁気の法則をまとめたのがマクスウェルの方程式である。

1. マクスウェルの方程式は以下の4つの式である。

divD =ρ (8.1a)

divB= 0 (8.1b)

rotE =−∂B

∂t (8.1c)

rotH=j +∂D

∂t (8.1d)

2. ポテンシャル，ベクトルポテンシャルには任意性がある。

φ =φ− ∂χ

∂t , A =A+∇χ (8.10)

は，任意の関数χに対して同じ電場，磁場を与える。これをゲージ変換とよぶ。

3. うまくゲージを取ると，マクスウェルの方程式は

Δ− μ∂²

∂t²

φ=−ρ

(8.12)

と

Δ− μ∂²

∂t²

A=−μj (8.13)

となる。

4. 真空中のマクスウェルの方程式の解は速さc= 1/√

0μ₀の波を与える。cは光速 である。この波は

(a) 光速で進み，

(b) 電場，磁場の方向は進行方向と垂直で，

(c) 電場と磁場は直交する

5. 異なる物質の界面での電場，磁場の接続条件よりスネルの法則が導かれる。

6. 電磁場はエネルギーの流れ，

S =E×H (8.51)

をもつ。これは単位面積から単位時間に流れ出る電磁場のエネルギーを表し，ポ インティングベクトルとよばれる。

付 録 A ^{付録：単位系について}

この講義ノートは電磁気学をSI単位系(international system of units, 国際単位系)と いうもので記述した。これが最もよく使われているものであるからであるが，実は電 磁気学には複数の単位系がある。ここでは単位系について，一般的に解説して，より 単位に関する理解を深める。

初めに認めることは，すでに力学を議論する際に，1[kg], 1[m], 1[s]は定義されてお り，それ故，力も定義されていると言うことである。次に，連続の方程式，

divj+∂ρ

∂t = 0 (6.6)

が成り立つように，電流と電荷は決定されているとする。

まず，力

F₁ =k₁qq

r² (A.1)

は力学から測定できる。これはクーロンの法則である。クーロンの法則は逆2乗則で，

その比例係数は曖昧である。つまり，力が決まっても，電荷の単位が決まってないの で，k₁はqの決め方による。たとえば素電荷を1[C]とよんでしまうと，k₁は非常に小 さいものとなる。電場はF =qEとなるように

E =k₁ q

r² (A.2)

と定める。

つぎに単位長さあたりの平行電流間に働く力は F₂

L = 2k₂I I

d (A.3)

である。電流と電荷は互いに切っても切れない関係にある。つまり，k₁とk₂は独立で はない。この値は測定から決まっており，

k₁

k₂ =c² (A.4)

である。cは光速である。

磁束密度は，直線電流からd離れた場所での磁場が B = 2k₂αI

d (A.5)

となることから定義する。別にk₂αを一つの記号で書いてもよいのだが，この因子は k₂ に比例していることは確実なので(平行電流間の力はローレンツ力から決まってい た)，この表式にした。

ファラデーの法則は

rotE=−k₂∂B

∂t (A.6)

となる。回路の面積が変わるとき，導線の運動から生じるローレンツ力による起電力 を考えても，ファラデーの法則と同じように磁束の変化から起電力を考えても，答え は同じであった。このことから，ローレンツ力は

E+k₃v×B (A.7)

となる。

以上より，マクスウェルの方程式は

divE= 4πk₁ρ (A.8a)

divB= 0 (A.8b)

rotB = 4πk₂αj +k₂α k₁

∂E

∂t (A.8c)

rotE+k₂∂B

∂t =0 (A.8d)

となる。真空中では，

∇²B=k₃k₂α k₁

∂²B

∂t² =0 (A.9)

となる。これから電磁波の速度は c=

k₁

k₃k₂α (A.10)

となる。(A.4)式から

k₃ = 1

α (A.11)

となる。

(A.4),(A.11)式から結局，k₁, αを決めれば，単位系が決まることがわかる。以下，様々 な単位系を表にしておく。

単位系 k₁ k₂ k₃ α ローレンツ力

SI 1

4π ₀ = 10⁻⁷c² μ₀

4π = 10⁻⁷ 1 1 E+v×B

cgs esu 1 c⁻² 1 1 E+v×B

cgs emu c² 1 1 1 E+v×B

cgs ガウス系 1 c⁻² c c⁻¹ E+1

cv×B cgs Heaviside 1

4π

1

4πc² c c⁻¹ E+1 cv×B 表 A.1: 様々な単位系による，k1, k₂, k₃, αの選び方

付 録 B ^{試験問題と解答}

基礎物理コース II ^試験問題

2003年11月11日

1

以下を示せ。（ベクトルはベクトルらしく表記しないと間違いとします。）

1. rot(gradf)≡0 2. div(rotf)≡0 3. v = ( −y

x²+y², x

x²+y²,0)に対して

v·dr を計算する。

(a) 半径aの円に沿って，ちょうど半円の弧，(0, a,0) → (0,−a,0)だけ積分せ よ。(右向きの半円。)

(b) 同じ積分をストークスの定理で求めよ。

4. V(r) = 1

rⁿ のとき，−gradV を求めよ。(r=

x²+y²+z²である。)

5. E = −gradV(r) = (xy², x²y −y, z)のとき，V(r)を求めよ。ただし，原点で V = 0とする。

2

_{1. 半径}a，中が空洞で表面だけ一様に帯電した電荷Qをもつ電荷の作る電場，ポテ

ンシャルを，球の中心からの距離rの関数として計算し，図示せよ。

2. 半径aで一様に帯電した電荷Qをもつ電荷の作る電場，ポテンシャルを，球の中 心からの距離rの関数として計算し，図示せよ。

ただし，ポテンシャルを求める際は，無限遠でポテンシャルが0になるように定数を あわせる。球の外側と内側で振るまいが変わることに注意せよ。

3

^{原点(0,0,0)と点(0,0, a)にそれぞれ電荷，q1, q2}の点電荷がおかれている。前者が作 る電場をE1，後者が作る電場をE2とする。

1. E1(r)を求めよ。

2. E2(r)を求めよ。

3. 電場のエネルギーは

0(E1 +E2)²

2 = ⁰E²1

2 + ⁰E²2

2 + ₀E1·E2

である。右辺の最初の2項は，点電荷が独立にもっている電場のエネルギー，最 後の項が電荷の相互作用によって生じた項である。

この相互作用のエネルギー

dV ₀E1·E2

を求めよ。

ヒント；極座標を用いよ。rについての積分を行い，その後，cosθ=t^としてt^に関する 積分を行う。なお，不定積分，

dr r−A

√r²+a²−2rA³ = √ −1

r²+a²−2rA +C である。

時間があったら，授業の感想と，今後の要望を書いてください。

基礎物理コース II ^試験解答

2003年11月11日

1

1. 授業でやったので省略。

2. 授業でやったので省略。

3. (a) x=asinθ, y =acosθとすると，v = (−cosθ,sinθ,0), dr = (acosθ,−asinθ,0)dθ。

よって

C1

v·dr = _π

0

−adθ =−πa

(b)

C1

v·dr+

C2

v·dr =

rotv·ndS

C2v·drは，経路C₂上では，v ⊥drとなっているので0。よって

C1

v·dr =

rotv·ndS =

(0,0,1

r)·(0,0−1)dS =− 1

rrdrdθ =−πa 4. 授業でやったので省略。

5.

V(r) = −

E·dr =−

_(x,0,0)

(0,0,0) E·dr−

_(x,y,0)

(x,0,0) E·dr−

_(x,y,z)

(x,y,0) E·dr から，V(r) =−x²y²

2 + y² 2 −z²

2

2

これは授業でやりましたね。

1.

E_r =

⎧⎨

⎩

0 (r≤a)

Q

4π ₀r² (r > a) V(r) =

⎧⎪

⎨

⎪⎩ Q

4π ₀a (r ≤a) Q

4π ₀r (r > a) 2.

E_r =

⎧⎪

⎨

⎪⎩ Qr

4π ₀a³ (r≤a) Q

4π ₀r² (r > a)

V(r) =

⎧⎪

⎨

⎪⎩ Q 4π ₀a

3 2− r²

2a²

(r≤a) Q

4π ₀r (r > a)

3

1. E1 = q₁ 4π ₀

r r³

2. a= (0,0, a)として，E2 = q₂ 4π ₀

r−a

|r−a|³ 3.

0

dVE1 ·E2 = ⁰q₁q₂ (4π ₀)²

0

π2πsinθdθ _∞

0

drr² r²−racosθ r²√

r²+a²−2racosθ³

= q₁q₂ (4π)² ₀2π

₁

−1

dt

0

∞dr r−at

√r²+a²−2rat³

= q₁q₂ 4π ₀

1 a

当たり前の結果になる。

基礎物理コース II ^試験問題

2003年12月6日

1

v = (−y, x,0)というベクトルを，原点Oから(a, b,0)(a, b > 0)にある点Pまで線積 分する。

1. rotvを計算せよ。

2. 上の答えが0でないことから，積分，

_P

O

v·dr (B.1)

は経路に依存することがわかる。そこでこの積分を (a) 経路(0,0,0) →(a,0,0) →(a, b,0)

(b) 経路(0,0,0) →(a, b,0)

に沿って計算せよ。(ヒント；後者ではx=at, y =bt,0< t <1とパラメータ表 示する。)

3. 二つの積分の違いをストークスの定理で解釈せよ。

2

授業では同心の二つの球殻の問題を考えたが，今度は半径がb，中に半径a(a < b)の 球形の空洞(同心とする)がある導体球を考える。(a < r < bは導体がつまっている。)

球の中心(空洞領域)には電荷qの点電荷が存在する。ポアッソン方程式から，導体で

ない部分では，ポテンシャルは

V(r) =C+C

r (B.2)

となる。

1. まず導体が接地されている場合を考える。r > bの場合，V(b) =V(∞) = 0であ る。よって，導体の外側でポアッソン方程式を満たすようにするには，C=〔１〕，

C =〔２〕である。これより，球の外に電場は存在しないことがわかる。

a < r < bでは導体内なので電場は存在しない。この領域にガウスの法則を適用

する。電場は0なので半径rの球面を考えると，その内部の電荷は0である。よっ て，空洞と導体との表面に〔３〕の電荷が，中心の点電荷を打ち消すように存在 してなければならない。

r < aでは，ガウスの法則を使って，電場は〔４〕となる。

2. 次に導体が接地されていない場合を考える。導体は全体では中性であるとする。

r < a，a < r < bでは，ガウスの法則が前問と同じように適用できる。r > bで はどうなるかというと，今度は導体が中性のため，内側にできた電荷(〔３〕の 答え)と逆の電荷が導体外側表面に誘起される。よって，外側にガウスの法則を 適用すると，外側の電場は〔５〕となる。外側でのポテンシャルは〔６〕である。

3

雷のモデルを考える。雷雲は逆符号の電荷が雲の上と下にたまることで起きる。この とき，地表に電荷が誘起される。これを以下のようにモデル化する。

導体平面から高さhにQ(>0)の点電荷が，h(h < h)に−Qの点電荷が存在すると する。二つの点電荷が平面におろした垂線は一致している。ここで言う導体とは地面 のことである。よって導体のポテンシャルは0とする。

1. 鏡像電荷を考えることにより，ポテンシャルを求めよ。

2. 鏡像電荷を考えることにより，地表面での電場を求めよ。

3. ガウスの法則により，地表に誘起される表面電荷密度を求めよ。

4. Q = 50C, h = 6km, h = 3kmとしたとき，これらの点電荷の真下での電場を求 めよ。

4

^δ関数について，以下の積分を求めよ。

1. _a

−adxδ(x), a >0 2. _−a

a dxδ(x),a >0 3. _a

0 dxδ(x−b), a > b >0 4. _a

0 dxδ(x−b), 0< a < b

5

^双極子pが電場Eの中にあると，U =−p·Eというエネルギーをもつ。このUの表 式を数学的に求めてみよう。

電荷がポテンシャルΦ中にあった場合，静電エネルギーはU =

dVρ(r)Φ(r)であ る。双極子のおかれている位置をrとして，ポテンシャルをこの周りで展開する。す なわちΦ(r)≈Φ(r) + (r−r)·gradΦ(r)を代入すると，

U ≈

dV[Φ(r) + (r−r)·gradΦ(r)]ρ(r)

である。よって，

U ≈Φ(r)

dVρ(r) + gradΦ(r)·

dVrρ(r)−gradΦ(r)·r

dVρ(r)

である。電荷の中性から右辺，第1,3項は〔１〕となる。第２項はgradΦ(r) =〔２〕，

dVrρ(r) =〔３〕から，〔４〕となる。こうして，U =−p·Eが示される。

講義の内容について感想とか、改善点を書いてください。点数には関係ありません。

基礎物理コース II ^試験解答

2003年12月6日

1

この問題は授業でやりましたね。

1. rotv = (0,0,2) 2. (a) _(a,0,0)

(0,0,0) v_xdx+_(a,b,0)

(a,0,0) v_ydy=_a

0 v_xdx+_b

0 ady=ab

(b) v = (−bt, at,0),dx= (adt, bdt,0)。よってこの経路上ではv·dx= 0。→積 分は0。

3. 経路(a)の積分-(経路(b)の積分)=

Cv·dr 経路(a)で(a, b,0)に行き，経路(b)を 逆にたどって原点に戻ってくる積分=経路(a)の積分-(経路(b)の積分) =

Cv·dr。 これは

rotr·ndS =

2dS =ab。

2

〔1〕0, 〔2〕0, 〔3〕−q, 〔4〕 qr

4π ₀r³, 〔5〕 qr

4π ₀r³, 〔6〕 q 4π ₀r

3

1.

Φ(r) = 1 4π ₀

Q

x² +y²+ (z−h)² − Q

x²+y²+ (z+h)²

− Q

x²+y²+ (z−h)² + Q

x²+y²+ (z+h)²

第1項は電荷Qのポテンシャルで第2項がその映像ポテンシャル，第3項は電荷

−Qのポテンシャルで第4項がその映像ポテンシャル。

2. 上式のgradをとって，マイナスをつける。

E(r) = Q 4π ₀

(x, y, z−h)

x²+y²+ (z−h)²³ − (x, y, z+h) x²+y²+ (z+h)²³

− (x, y, z−h) x²+y²+ (z−h)²³

+ (x, y, z+h) x²+y²+ (z+h)²³

3. 上式は地表z = 0では E(x, y,0) = Q

4π ₀

(0,0,−2h) x²+y²+h²³

+ (0,0,2h) x²+y²+h²³

また，地表面に垂直で面積Sの円を上下にもつ円柱を考え，ガウスの法則を適用 すると，表面電荷σはσS/ ₀ =ESとなる。よって

σ = Q 2π

−h x²+y²+h²³

+ h

x²+y²+h²³

4. これらの点電荷の真下では(x, y, z) = (0,0,0)なので電場は，

E_z(0,0,0) = Q 4π ₀

−2 h² + 2

h²

数値を代入して，7.5×10⁴V/m。50Cが数kmも離れたところから作用しただけ で，このように大きな電場が生まれます。

4

1. デルタ関数の定義から_a

−adxδ(x) = 1, a >0 2. 積分範囲を逆転させるので_−a

a dxδ(x) =−1, a >0 3. x−b =yとすると_a−b

−b dyδ(y),a > b > 0なのでこれは原点にまたがっている。

よって1。

4. x−b =yとすると_a−b

−b dyδ(y), 0 < a < bなのでこれは原点をまたいでいない。

よって積分範囲いたるところで被積分関数のδ(y)は0。よって0。

5

電場中の双極子のエネルギーを数学的に導いてみた。授業でやったものよりもより一 般的である。

〔1〕0, 〔2〕−E, 〔3〕p, 〔4〕−p·E

土曜日に試験で不満があると思いますが，それだけ電磁気学は大切なものだと思っ て下さい。

基礎物理コース II ^試験問題

2004年1月23日

1

^Maxwellの方程式は以下の通りである。

divD =ρ (B.3a)

divB= 0 (B.3b)

rotE =−∂B

∂t (B.3c)

rotH=j +∂D

∂t (B.3d)

1. E,D,B,Hは何か？また，その単位は何か？

2. アンペールの法則に対応するのは，何番目か。

3. ファラディの法則に対応するのは，何番目か。

4. 以下は真空中でのMaxwellの方程式である。空欄を埋めよ。

divE=〔１〕 (B.4a)

divB = 0 (B.4b)

rotE=−∂B

∂t (B.4c)

rotB=〔２〕∂E

∂t (B.4d)

5. この真空中のMaxwellの方程式から，真空中の電磁波の速さを出そう。(B.4c)式 の両辺のrotととると，一般にrot rotv = grad divv−Δvが成立するので，

grad divE−Δ〔３〕=−∂rotB

∂t (B.5)

である。Δはラプラシアン，∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z² である。真空中のMaxwell の方程式の(B.4a)式から(B.5)の左辺第一項は〔４〕，また，(B.4d)式から(B.5) の右辺は〔５〕となる。よって，

Δ− 0μ₀ ∂²

∂t²

E=0

となる。これは速さ〔６〕で進む波の波動方程式を表している。実際にこの速さ を計算すると〔７〕となり，光速が得られる。

ドキュメント内 elemag.dvi (ページ 91-124)