と線分PBは平行である1
線分Pλ，0Bノ，B0 がそれぞれ平行であるので系3．！．3より，線分
Pλと線分Pλは平行である．
ゆえに，Pλ⊥PBより，Pλ⊥PBとなる．
一方で，視点をeとすると，定理3．1．5によりe吻とP0は平行である．
また，PσはPAとPBに垂直である．線分PBと線分PBは平
行，線分P瓦と線分Pλは平行であることより，Pσ⊥πであり，つま り碗⊥πとなる． 口
なお，消点がO個のとき，直方体状の見取図は直方体実現不可能である．
定理3．3．5図3．10のように線分PB，σ〃，λα，線分Pλ，0B ，Bσ ，
線分Pσ，B〃，λB が平行な直方体状の線画Dは，いかなる視点eの
中心投影についても直方体として立体実現可能でない．
A
C
A
図3．10：消点をもたない直方体状の線画D
証明 もし，3組の線分が平行な線画がある中心投影について直方体とし て立体実現可能であるとすると，系3．1．3より，PλとPλが平行，PB
とPBが平行，P0とP0が平行となるが，Pλ，PB，Pσは投影面上
の三つの線分であり，三つが互いに垂直とはなりえないので矛盾である．
したがって，線画Dは直方体で立体実現可能でない． 口 つまり，キャビネット図や等角図は中心投影図としては直方体で立体実 現可能ではないことが言える．
第3章 直方体としての立体実現 73
3．4 中心投影においての十分条件
さらに，直方体状のある線画Dが中心投影により直方体として立体実 現可能であるための十分条件について述べる．
∫：D■→πをある中心投影とする1このとき，直方体状の線画の各頂 点がある直方体の頂点の∫による像となっていたとしても，そこからただ
ちに立体実現可能とは言えない．例えば，次の図は直方体の手前の三つの 面をとりさったものの中心投影図となっている．この線画の頂点はある直 方体の頂点の投影像であることは明らかだが，立体実現可能とは言えない であろう、そこで，直方体の頂点が見えるかどうかの判定が必要となる．
図3．11：直方体の手前の3面をとりさったものの中心投影図
定理3．4．1D＋内の視点をeとおき，D■内の直方体をP，λ，α，B，σ，
B ，Q，A とおく．中心投影において視点eからP，4，α，B，0，一B ，
〃が見えることと，
一一一≒ 一一一一チ 一一一一→ 一一一→
Pe＝8Pλ十亡PB＋uPσ
（3．3）
（ただし，5，亡，u＜0とする）
と表せることは同値である．
証明 8，亡，u＜0より，（3．3）はeが平面PλαBに関してσと逆側，平
面PB0〃に関してスと逆側，平面POB λに関してBと逆側と
いうことを示しているので，Qを除いた各頂点は視点eから．全て見える、
第3章 直方体としての立体実現 74
e● 壱
、 、
、 ＼
／
／
／
5
B
図3．12：P，λ，σ ，B，σ，B ，〃の全てが見える視点θの位置 一方で，8，士，uの一つでも，例えば8が正ならeが平面PB0λ に関
してλ側となり，P，B，σ，〃のいずれかが見えなくなる（5＝0でも P，B，σ，〃のどれかが見えない）．
したがって，eから直方体の頂点が見えるならば（3．3）のように表せ，
8，亡，u＜0となる． □ 消点が三つのとき，定理3，3．2の必要条件は直方体実現可能であるため の十分条件でもある．
定理3．4．2図3．13のように線分Pλ，B0 ，σB が消点吻をもち，線
分PB，0λ ，A0 が消点吻をもち，線分P0，AB ，B〃が消点叱 をもつ直方体状の線画Dにおいて，三角形ω〃B①oが鋭角三角形とす
る．このとき，線画Dは叫，吻を直径とする球，吻，吻を直径とする球叱，吻を直径とする球の交点のび側の点を視点eとする中心投影に関
して直方体実現可能である．
証明線画は投影面π上にあるとする．定理3．3．1により三角形物吻叱 が鋭角三角形であるから， ム，吻を直径とする球，吻，吻を直径とする 球ωo，のλを直径とする球の交点が二つあり，D＋側の点をeとする．こ
のとき，半直線eP上にPを適当にとる．Pから剛，あ，碗方向に
伸びる半直線の投影像が線分P叫，P吻，P〃σなので，この半直線上に五がeλの延長線上，万がeBの延長線上，6がe0延長線上となるよ
うにとる．
第3章 直方体としての立体実現 75
、〆VB
A
D．、一
㌔．． む
VA
図3．13：消点叫，吻，吻をもつ直方体状の線画D
このとき，剛，碗，碗が互いに垂直なので，線分1戸z，P百，Pδ も互いに垂直となる さらに，PBσ〃，P0ムB・，P4Bαが長方形
となるように，〃，B ，0 をとり，PλBOA B αρが直方体となるようにQをとる．B〃とPσは平行，0〃とPBは平行よ．り，〃の 投影像は線分吻Bと線分吻0の交点で〃に一致する．
同様に，0B とPλは平行，λB とP0は平行より，B の投影像 は線分岨0と線分化λの交点でB に一致する1
また，線分■σとP百は平行，線分百σとPスは平行より，σの 投影像は線分吻λと線分吻Bの交点で0 に一致する．
つまり，求めた直方体のP，A，B，σ，〃，B ，αの投影像がP，λ，B，
0，〃，B ，αになっているので，あとはP，λ，B，0，〃，B ，αがeか ら見えることを確かめればよい．まず，λ，B，σのとり方から，
一一一一合 一一一一合 一一一一→
P瓦＝α耐， ＝戸〕事＝β誌， 】亨百＝7砺
（ただし，α，β，7＞0）
と表せる．
→
＿ 一一一夕
また，eP＝λeP （ただし，λ〉0）とおく．
定義3．2．1で直方体状の線画の各面は凸としたので，∠λPB，∠BP0，
∠σPλ＜πであり，Pは三角形物吻ωoの内部である1
第3章
直方体としての立体実現 76e ｝与 一 一 、 与 一 二 、 、
、 、
D＋
X・
片
VA
VC
＿ 人1
B
， C
P 、．
、
、＿A
＿ ．．．一Q
，C ・・
、！ BI
D一
図3．14：直方体PλBσ〃B αQ
ゆえに，
→
eP＝ん副十王砧十mε売
（ただし，ん十Z＋m＝1かつん，王，m＞0である）
となる．ゆえに，
→
＿ 一一一→
Pe＝一λeP
：一入（ん誠十1碗十m碗）
一（一￥）粛・（一労）毒・（÷）元
かっ，一昔，一着，一半＜Oとなり，定理3．4．1よりP，瓦互こ可否ア，σ はeから見える．
したがって，直方体状の線画Dは直方体実現可能である． □ 消点が二つのときも，定理3．3．3の必要条件が直方体実現可能であるた めの十分条件になっている．
第3章 直方体としての立体実現 77 定理3．4．3図3．15のように線分PB，0〃，λαが消点吻をもち，線 分Pσ，λB ，B〃が消点吻をもち，線分Pλ，Bα，0B が平行で
ある直方体状の線画Dにおいて，吻吻⊥Pλとする．このとき，吻，吻 を直径とする球と吻，吻を通り，投影面πに垂直な平面の交田上の任意のe∈D＋を視点とする中心投影に関して，線画Dは直方体で直方体実
現可能である．
V・・1こ．． M ・、
℃ B
図3．15：消点吻，叱をもつ直方体状の線画D
証明ωB，吻を通り投影面πに垂直な平面をδとおく．吻，ωoを直径
とする球と平面δとの交田上にe∈D＋をとると，魂⊥腕となる．
また，平面δの法線ベクトルは投影面πと平行であり，平面δは吻，ωC を含むので法線ベクトルは吻ωσと垂直となる．
→ 一一一合 一一一→
よって，Pλが平面δの法線ベクトルでPλ⊥魂，Pλ⊥腕と
なる．
＿ 一一一→
半直線eP上にPを適当にとる、PからPλ方向に伸びる半直線の
＿ →
投影像が半直線P．4となるので，PからPλ方向に伸びる半直線上に
■を，zがeλの延長線上となるようにとる．また，Pから魂，碗
方向に伸びる半直線の投影像が線分P吻，P oなので，この半直線上に百がθBの延長線上，∂がe0の延長線上となるようにとる．このと
一一一一｝ ＿＿ ＿＿
き，Pλ，魂，魂が互いに垂直なので，線分PZ，PB，P0も互いに 垂直となる さらに，PλBα，PB0〃，P0λB が長方形となるよ
うに，万，百ア，σをとり，PABσ〃一B αQが直方体となるようにQ
をとる．
また，B〃とPσは平行，0〃とPBは平行より，〃の投影像は 線分吻Bと線分吻σの交点で〃に一致する．
ス豆はP∂と平行，6百はPzと平行なので，百7の投影像は線分 →
叱λと0を通って，Pλと平行な直線との交点B と一致する．同様
第3章
直方体としての立体実現 78に，スσはP百と平行，百σはP■と平行なので，σの投影像は線 →
分吻λと，Bを通ってPλと平行な直線との交点αと一致する．
D＋
V日
VC
、、oミ。、、ミ ・字
．一E．AI．．・・．．
、、
、 、
メ（ ｝、 ご、9二榊ζ＼こ ！、
＾、・．、
、
、
、
、 、
B
P
A
BI
D i
図3．16：直方体PλBσ〃B αQ
つまり，求めた直方体のP，A，B，σ，〃，B ，αの投影像がP，λ，B，0，
〃，B ，αになっているので，あとはP，λ，B，σ，〃，B ，αがeから見 えることを確かめればよい．
∠λPB，∠BP0，∠λP0＜7rより，Pは吻，ωoに関してλ側，ま
た，吻，ωoはPλに関して逆側となる．ゆえに，線分Pλの延長と線分吻吻の交点を〃とおくと，M一は線
分吻ωoの内分点で，H
eM一＝ん碗十王魂
（ただし，た十1＝1，ん，1＞Oである）
と表せる（図3．15参照）．
ゆえに，
一一→ → 一一一一一｝
eP＝eM．十MP
H
＝ん砺十Zあ十mPλ
（ただし，ん十1＝1，ん，工，m＞0）
第3章
直方体としての立体実現 79 と表される．→
＿ 一一一÷
ゆえに，Pe＝＿λeP （ただし，λ＞0）とおくと，
→
＿ 一一→
Pe＝一λeP
→ ；一λ（ん碗十J魂十mPλ）
ここで，λ，B，σのとり方から，
一一一一→ 一一一一合 一一→
＿＿ 一一一一手 ＿＿
Pλ＝αPA，1戸百＝β魂，P0＝7碗
（ただし，α，β，7＞0）
と表せるので，
昆一（一半）元・（一苦）元・（一手）元
かっ，一苦，一着r半＜Oとなり，定理3．4．1よりP，瓦互6，刀，可σ はeから見える．
したがって，直方体状の線画Dは直方体実現可能である． 口 最後に，消点が一つのとき，直方体実現可能であるための十分条件を次 のように述べる．
定理3．4．4図3．17のように線分PB，ムσ ，0〃が平行，線分Pλ，