であるので物はπ上の点を動かさない1次に，（2．3）を 、ひ，zについて 解いて，z，μ，zをz ，μ ，z の式として表すと次を得る．
・。 十（ ユー 。）・
＝
Z2＋Z 刎 十（μユーμ。）・
μ＝ 、 （24）
、Z・十Z ZlZ z＝
Z2＋メ
（2．4）をみると，zの値は変数z のみによって定まる．ノの式は
Z1Z Z1Z2 Z＝ ＝ 十Z！
Z2＋Z Z2＋Z
となり，グラフは次の図2．4のようになる．
第2章 凸多面体の立体実現問題 36 Z
一
@ 一
黶@■ 一 一 一 一 一 一 1 ■ 一 ■ ● 一 ■ 一 ■ ● 一 1 一 一 1 一 一 一 一 ■ ■ 一 一 ● ■ 一 一 ● ■ ● ■ ● ■
@ ＝
Zll … 一 ■ 一 一 一 一 一 ■ 一 一 一 一 一 1 一 ・ ．
一Z21
Z
図2，4：z＝一箒十zユのグラフ
グラフをみると，㌃内の点をD一向に，D＋内の点を五十内に移すこ
とが分かる．
（2．4）を使って，ψら：五一Uπ∪D＋→D−U7rU五十を凶（〆，ゾ，ノ）＝（ ，μ，z）
と定めると，この値域では分母に0が表れないので物もきちんと定義さ れた写像である．
・。（・。 十（ 。一 。）・十（ r 。）・）
か一 i1）一価与専一州
・。（・ユ・）
・。（・。一・十・）
坐 劾
Z1ZZl Z1
一（1）
第2章
凸多面体の立体実現問題・ユ（・。 十（Z。一 。）・ 十（ 。一Z。）・ ）
37
イ中・禁㌻一州
z1（z2−z 十z ） Z2〆
斗（ll）
丁
というように，ψらと物は確かに逆写像となっている（以後，ψらを何1と
表す）．
また，物，何1ともに上記に定めた定義域内では分数式の分母が0とな らないので連続である．
以下，その他の物の性質について述べていく．まず，線分を線分に移 すことを示したいが，その前に次の命題を述べる．
命題2．4．3写像！：R3→R，プ（z，μ，z）＝α 斗6μ十。z＋dを考える．三
∵∴∴∵∴ル
8，亡∈R3に対して次が成り立つ．
α∫（8） βプ（士）
ψ（α8＋β士）＝ ψ（8）十 ψ（士）
αプ（8）十β∫（士） α∫（8）十β∫（士）
たたし，プ（α8＋β｛）≠0，プ（8）≠O，〃）≠0とする．
第2章
凸多面体の立体実現問題 38証明・一
ill），一（ll）とおく，こ一とき，
ψ（α8＋β亡）＝ 1 λ（α8＋β亡）
ア（α8＋β亡）
1
λ（α8＋βt）
α（α81＋βt1）十6（α82＋βt2）十C（α53＋βt3）十d（α十β）
1
λ（α8＋β士）
α（α51＋652＋C53＋d）十β（α古ユ十胱2＋C士3＋d）
1 （αλ8＋βλf）
α∫（8）十β∫（f）
α β
λ8＋ 〃
α∫（8）十β！（士） ・αプ（8）十β∫（亡）
αプ（8） 1 β∫（士） 1
λ8＋ 〃
α！（8）十βプ（士）∫（8） α∫（8）十β∫（亡）∫（士）
補題2．4．4 （ユ）D■UπU五十内の点pが，D一∪πU五十内の線分p3ρ4 上を動くとき，物（ρ）は線分ψ2（ρ3）ψ2（ρ4）上を動く．特に物は線 分ρ3ρ4を線分ψ2（p3）ψ2（p4）に移す
（ii）r∪πUD＋内の京p が五一∪πUD＋内の線分p会地，上を動くと き何1（ρ ）は線分河1（ρ会）何1（p二）上を動く特に何1は線分ρら必 を線分呵1（ρら）河1（ρ二）に移す．
1明1題…に〜を伽句…λ一 i∴1）
とおく・一一一
illトー（ll）とおき，ρ一…・1一（・・
α≦1，0≦β≦1，α十β＝1）を考える．このとき，
α β
9。（ρ）＝ ψ。（P。）十 ψ・（P・）
α 十β α 十β
（α ＝α（Z1−Z3），β ＝β（Z1−Z4））
第2章 凸多面体の立体実現問題 39
と表せる．
点（α，β）を座標平面上にとると，0≦α≦1，0≦β≦1，α十β＝1のと き，この点は図2．5の線分上を動く．
B
1
O
a
図2．5：点（α，β）の動く範囲
このとき，α ＝α（Z1＿Z3），β ＝β（Z1＿Z4）であり，D−UπU五十∋p3，ρ4
のz成分z3，z4はz1より小さい．よって，z1−z3＞0，z1−z4＞0となる
ので，点（α ，β ）は図2．6の線分上を動く．よって，原点と（α ，β ）を結ぶ
線分の傾きを考えると，αが1からOまで変化するとき，α ：β は1：0 からO：1まで変化する．
したがって，物は線分を線分に移す．
B
Z1．Z4
Z1−Z3
a
図2．6：点（α ，β ）の動く範囲
第2章 凸多面体の立体実現問題 40
一れ1題…に〜を｛／一一λ一 ill∵1）
とおく・一1一
i1トー（1）とおき，・一州・
α≦1，0≦β≦1，α十β＝1）を考える、このとき，
α β
何1（P）＝ 何1（Pら）十 何1（ρ二）
α 十β αノ十β
（α ＝α（Z2＋Z二），β ＝β（Z2＋Z二））
と表せる．
α㌧α（Z2＋Zξ），β ＝β（Z2＋Z二）であり，万■∪π∪D＋∋p3，ρ4のZ成
分z≦，z二は一z2より大きい．よって，z2＋z≦＞0，z2＋4＞Oとなるの
で，点（α ，β ）は図2．7の線分上を動く．よって，原点と（α ，β ）を結ぶ線
分の傾きを考えると，αが1からOまで変化するとき，α ：β は1：0か ら0：1まで変化する．
したがって，何1も線分を線分に移す． 口 B
，y2＋Z4
O Z2＋ZIR a
図2．7：点（α ，β ）の動く範囲
補題2．4．5他，何1によって，D−Uπ∪五十，五一U7r∪D＋内の同一平面 上の有限集合は万■UπUD＋，D■UπU五十内の同一平面上に移る．
証明 呵！も同様なので，物についてのみ述べる．
D■Uπ∪E＋内の有限な同一平面上の集合λをとる．有限一性からλを 含む大きな三角形△をD一∪πU五十内にとることができる．このとき，
第2章 凸多面体の立体実現問題 41
λ⊂△であり，△の頂点をα1，α2，α3とすれば，△＝Coηη（α1，α2，α3）で あり，ψ2（λ）⊂ψ2（△）＝ψ2（c㎝U（α1，α2，α3））となるが，補題2．4．4と定理 2．2．1より，物（coηU（α1，α2，α3））＝coηり（π1（α1）何1（α2ル，1（α3））も三角
形なので，g2（λ）も同一平面上である． 口
X，y
A
1Z1 Z図2．8：三角形△
補題2．4．6他，河1によって，D■U7rU五十，万■UクrUD＋内の同一平面 上にない4点は，五一UπU D＋，D1UπU五十内の同一平面上にない4点
に移る．
証明 何ユも同様なので，物についてのみ述べる、
D UπU五十内の同一平面上にない4点ρ1，p2，p3，ρ4が物によって
平面α上のψ2（ρ1），ψ2（ρ2），ψ2（ρ3），ψ2（ρ4）に移ったとすれば，補題2．4．5
よりρ1，p2，p3，p4は平面河1（α）上となり矛盾．
ゆえに，物（ρ1），物（ρ2），物（P3），物（ρ4）は同一平面上にない。 口 補題2．4．4，補題2．4．6より，物，何1は線分を線分に移し，同一平面上に ない4点は同一平面上にない4点に移すことが言えた、よって，定理2．2．2
よりψを物とすれば次が成り立つ．
定理2．4．7 （i）物はD一向の凸多面体を㌃内の凸多面体に移す。
（ii）河1は五■内の凸多面体をD一向の凸多面体に移す、
第2章 凸多面体の立体実現問題 42
次は，物，何1が凸多面体の見える稜を凸多面体の見える稜に移すことを 示す．そこで，物，妬1が平行でない面を平行でない面に移すことを示す．補題2．4．8 （i）D■内の多面体Xの2面Fユ，F2が稜両を成すとき，
物（X）の2面ψ2（F1），ψ2（F2）もψ2（ρ）物（q）を成す．
（ii）五一内の多面体X の2面河，易が稜πを成すとき，．何1（X ）の 2面河1（珊，何1（易）も何1（ρ ）呵！（q ）を成す．
証明何1も同様なので，物についてのみ述べる．仮に，g2（珂）とψ2（易）
が同一平面α上となって，稜をなさないとすれば，補題2．4．5より，何1を
施したF1，易も同一平面上となり，稜両をなすことと矛盾する1 □ このことから，D■内の凸多角形Xの稜上の点の全体と亙■内の凸多
面体X ＝物（X）の稜上の全体は物，河1によって互いに移り合うことが言える．
次に，凸多面体の稜上の点と視点e1を結ぶ線分と，凸多面体の稜上の 点から視線方向e2と平行に伸びる半直線を物，何1によって移すことを
考える．
補題2．4．9D＋内の視点，視線方向をe1，e2とするとき，次のことが成り
立つ．
（1）D川∪πU五十内の点をρ5とおくと，物はe1ρ5（e1は除く）を 物（ρ5）を端点としてε2方向に伸びる半直線に移す．
（ii）万一UπUD＋内の点をρらとおくと，何1はρ会を端点としてe2方 向に伸びる半直線をe1呵干（ρξ）（e1を除く）に移す．
1明 C），一一（ザ∈一（・を1く）を1える
このとき，
ρ＝αe1＋βρ5 （α十β＝1，O≦α＜1）
第2章
凸多面体の立体実現問題 43と表されるか illH∴；1）とおくと，
（ll）÷伽）抽・触）
1
（αλe1＋βλρ5）
Z1（α十β）一（αZ1＋βZ5）
1 （αλe1＋βλp5）
β（・。一・。）
αλε1 伽5
＝ 十
β（Z1−Z5） （Z1−Z5）
α 1
λe1＋ 伽5
β（ZユーZ5） （Z1−Z5）
α λ・。十ψ。（ρ。）
β（・ユー・。）
ここで
如一
i∵：ノ）（ll）
下111㌻十（ll）一一
㌔ αZ1
ゆ又に，ψ2（ρ）＝ e2＋ψ2（ρ5）と表せる β（Z1−Z5）
これは，ψ2（p）がψ2（p5）を通り，e2方向に伸びる直線上であることを表 しているが，ここでe2の係数についてみてみる．α十β＝1，O≦α＜1の Z1 αとき，λ＝ とおく，（β，α）は図の線分（α軸上の端点を除く）を動 Z1−Z5β
α α
くので一はO≦一＜○cの範囲をくまなく動く、また，ρ5∈D■UπU五十 β β
Z1
よりz5＜z1で， ＞Oだからλはλ≧Oの範囲をくまなく動く
Z1−Z5αzユゆえに，物（ρ）は物（p5）を端点とするZ軸方向の e2方向に伸 β（Z1−Z5）
びる半直線上を動く．
第2章
凸多面体の立体実現問題 44a
1
0 1
B
図2．9：峠（β，α）の動く範囲
一■ll），1一（1）とψ一点とする一方向に1び
る半直線上のρ を考える．このとき，
〆＝た・。十ρ会（ん≧O）
と表される．
州一 i1），十∵）とおくと，
（1）一÷・杵・凶
1 た・。十（・。十・1）
た
（肥・。十助三）
た・。十（・。十4）
ん
ん・。十（・。十・1）
Be2＋
Be2＋
1 助三
ん・。十（・。十・ξ）