・。叶（ 。一・。）・
zユ
＝・1付（吻一μ・）・
み 丁
となる．これは2．3節で定義した中心投影の視点を変更する一次変換と同 様の式になっている、つまり，中心投影における視点の変更は平行投影に おける視線方向の変更でもある．
第2章 凸多面体の立体実現問題 51
2．6 立方体の見取図
本論文の冒頭でも，「カメラで写真を撮った時の映像と中心投影図は極 めて近い．」と述べたが，中心投影では遠近法が働く．一方でキャビネッ ト図や等角図は平行投影の一種であり，遠近法が働かない．そのため，3章 でくわしく述べるが，立方体の中心投影図がキャビネット図や等角図と一 致することはない．
しかし，キャビネット図は斜投影図，等角図は垂直投影図として，立方 体で立体実現可能であるから，本章で扱った平行投影を中心投影に移す変 換価1を用いれば，中心投影図がキャビネット図や等角図と一致する凸 多面体を求めることができる．
ただし，この場合の立体実現はもはや立方体ではなく凸多面体にすぎな いことに注意する1
そこでここでは，中心投影図がキャビネット図や等角図と一致する凸多 面体を実際に計算により求め，構成することを述べる．
2．6．1 中心投影図が等角図となる凸多面体
等角図の座標については1．5節において，等角図が垂直投影による見取 図の一つであると述べた．そのu1，仙2，仙3を2倍したベクトルを，
一一一→ → →
Pλ＝（0，一2，一凶），PB一（篶，1，一凶），P0＝（一凶，1，一凶）
とすると，次のような立方体の座標がとれる．
記一（凶，一1，一2凶），竜一（O，2，一2凶），
一一一→ 一一一一｝
PF＝（一泊，一！，一2凶），PG＝（O，O，一3φ）
このP，B，D，λ，0，E，D，Fを頂点とする立方体をXとする．
Xを視線方向e2＝（0，0，α）から平行投影すると，図2．12のようになる．
ここで，何1を前節で述べたもと同様のものとし，視点e1：（O，O，t）か らの中心投影図が図2．12となる多面体π1（X）を求める．何1を表す式
（2．4）を用いて，何ユ（X）の頂点の座標を求める．
α
一とき C）一辛となる・
α十z
第2章
凸多面体の立体実現問題 52Z
PX
B．一・一。
cl■一
C
E F
G y
E
C一 BI
比 P
F D一
図2．11：立方体X 図2．12：立方体Xの垂直投影図
ただし，何1は五一内の点をD一向の点に移すので，Xの点が万■内
に含まれるようにαを大きくとる必要があり，ここではα＝！0とする．士＝10のとき，何1．（X）の頂点をダッシュをつけて表すと次のように
なる．
P ＝（0，0，0），B ＝（2，017，1，165，一1，647），
D ：（2，415，一1，394，一3，944），λ ＝（0，一2，329，一1，647），
0㌧（一2，017，1．ユ65，一1，647），亙：（O，2，789，一3，944），
G ：（O，O，一7，369），F ＝（一2，415，一1，394，一3，944）
p1 日
D
346「
図2，13：何1（X）の2種類の面
河1（X）の辺の長さを調べると，この凸多面体の面は図2．13の2種類の 皿型からできており，皿型PαFλ と同じ形であるのは皿型P B 〃α，
第2章 凸多面体の立体実現問題 53
皿型P λ D B で，B個 G D と同じ形であるのは皿型0 〃αF ，皿型
。4 D G F であることが分かる．
皿型P αFλ の対角線は，P F ÷4．83，αλ ÷4，034であり，対角 線の交点をM とすると，
P M 一Plα2一α〃・＝阿＝2018
よって，ルτF ＝4．83−2，018÷2，812となる．
日1
E1 D，
図2．14＝π1（X）の2種類の面の対角線
同様に，皿型B 〃αD の対角線は，B G ÷6，178，〃D ÷4．83であ り，対角線の交点をNとすると，
BW−Bl〃・一亙W・一示ア＝2479
よって，NG ＝6，178−2，478÷3，700となる．
第2章 凸多面体の立体実現問題 54
実際，以上のような2種類の皿型の四角形を3枚ずつ作り，何1（X）の 凸多面体の模型を組み立てると次の図2．15のようになり，ある視点から 見ると立方体の等角図と一致していることが分かる．また，図2．16をみれ ば分かるように，これは立方体とは全く異なるゆがんだ多面体である．図2，15：中心投影図が等角図と一致する立体π1（X）
図2．16：別視点から見た立体妬1（X）
第2章 凸多面体の立体実現問題 55
2．6．2 中心投影図がキャビネット図となる凸多面体
座標のとり方であるが，1．5節でキャビネット図のかき方を述べたが，
λ＝（0，O，O），B＝（1，0，0），0＝（1，O，一1），D＝（O，0，一），
亙＝（0，1，0），F＝（1，1，0），G＝（1，1，一1），H：（0，1，一1）
というように座標を定めた立方体λBOD瓦FGHをXとすると，定理
1，5．1より，Xのe2＝（1，ユ，2ψ）方向からの平行投影図はキャビネット 図となる．（ただし，立方体Xは本来ならケ内に置くので，投影面πと の共有点をもってはいけないが，何1による視点の変更はXがπと共有 点をもっていてもうまくいく．詳細は割愛する）
y
Z
H｛O，1．一1〕
E（O，1，O）
F（1，1，0〕
G11，1三
■lD（O，0。一「〕
A（0，O．O） 、、●
、
、
、
、
、
、
、
、
、
B11，O．O） C｛1，O，一 G｛1，1．一1〕
C｛1，O，一1〕
図217皿方体X
∴∴∴∵ ∵∵∴
て，何1（X）の形は大きく変わってくる、ここではe1のとり方として，
Fを通りz軸に平行な直線上にe1＝（1，1，10）とした．さらに，河1（X）
が極端な形とならないようその奥行きが1になるように視線方向を決め たい．そこで，視線方向をんe2とおくと，何1（G）のZ成分であるZ は
第2章 凸多面体の立体実現問題 56
、 一10 11ψ z＝ ＝一1と表されるので，z ＝1となるようん＝
2ψん一1 4
11ψ
とした よって，このときのんe2を改めて，e2＝ （1，1，2凶）＝
4
11ψ11ψ
（ ， ，11）とおく 4 4
このとき，何1（X）の頂点をダッシュをつけて表すと，
■4：λ ，B＝B ，F＝F ，亙＝〃
D ＝（0，289，O．289，一1），H ＝（O，289，1，389，一！），
σ＝（1・389，O・289，一1），G ＝（1・389，1・38♀r1）
となる．
これらの座標から河1（X）の面を考えると，面〃B F 〃，D σ G H はそれぞれ一辺が1と1．1の正方形となり，その他の面は，2種類の四角
形となる．
一つ日は，面λ B αD において，稜D αはz軸と平行であり，稜 λ B はz軸上なので，面〃B αD は稜D αと稜〃B が平行な台
形になる．
Z
C I
DI（一1，0．28
Z
S（0，0）
DI（一1．0289）
図2．18：面λ B αD 図2．19：台形λ B αD の高さ D から稜λ B へ伸びる垂線の足を8とおき，面λ B αD をz，V平
面で考えたとき，図219のように，線分D 8＝吊＝1041
が面λ B αD の高さである．
また，面λ 亙 H D も面λ B αD と合同な台形である1
二つ目は，面B αG F において，稜αα，B F はμ軸と平行なので，
面B ααF は稜αG と稜一B∫Fが平行な台形になる1
第2章 凸多面体の立体実現問題 57
G一
Z
F ．
1．1
1 T
BI x
T（0，1）
Z
C （一1，1，389
@ ●
E・．・一一一一・・・・… 一一一一一一＝
@ 一
@ I
一1
C （一1．1389）
図2．20：面B σ G F 図2．21：台形B αG F の高さ αから稜FB へ伸びる垂線の足をTとおき，面B αG F をz， 平
面で考えたとき，図221のように，線分αT＝河＝
1，073が面B αG F の高さである．
また，面F 〃H G も面B αG F と合同な台形である．
実際，以上のような四角形の面を作り，何1（X）の凸多面体の模型を組 み立てると次の図222のようになり，ある視点から見ると！方体のキャビ ネット図と一致していることが分かる．また，図2．23をみれば分かるよう に，これも立方体とは全く異なるゆがんだ多面体である．
図2．22：中心投影図がキャビネット図に一致する立体π1（X）
このように中心投影図が立方体の等角図やキャビネット図と一致する 多面体で，立方体とは全く異なる多面体を構成することができたが，立方 体の等角図，キャビネット図の立体実現が唯一とは限らない．であるから，
第2章 凸多面体の立体実現問題 58
図2．23：別視点から見た立体妬1（X）
ここでの考察からただちに，立方体や直方体の中心投影が，その等角図，
キャビネット図と一致しないと結論付けることはできない．
そこで，どのような線画が直方体の正しい中心投影図となり得るのかに ついて次章で考察する．
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