亡              ：一一λg＋一一λd

       ze    zε        1

       ＝一一λg＋td        ze

したがって，∫（1）はdと平行な直線となる．      ・   口       1

 以下，（i）においての∫（1∩D■）の共通端点一M∈πを視点eに関す       d3

る方向dの消点という．

 この章では，上記の平行線の投影像に関する性質をもちいて，線画の直 方体としての立体実現について考察していくが，その際，空間上の点とそ の投影像が多く登場する．それらの点に対して共通の記号の使い方を定 めておく．すなわち，D一向の投影される点にはλ，Bというように を 付しておき，それらの投影像には をとってλ，Bといった記号を用い

ることにする．

 まず，平行な線分とその像の関係について次に述べる、

スr

ス

A1

壱r

Br

図3．2：線分λ1B1と線分λ1B1

系3．1．3D一向の点をλ1，ん，B1，B2とおく．線分λ1−B1と線分んB2 は平行で，かっ中心投影像λ1，B1，λ2，B2に対して線分λ1B1と線分

λ2−B2が平行であるとき，線分λ1B1と線分λ1B1は平行である（図

3．2）．

第3章 直方体としての立体実現 ⁶⁴

証明 線分λ1B1と投影面πが平行でないとすると，定理312より，線

分λ1B1と平行な直線群の中心投影像は消点をもつ これは，線分λ1B1

と線分んB2が平行であることに矛盾する．

 ゆえに，線分λ1B1と投影面πは平行である このとき，定理312の

（11）より，線分λ1B1と線分λ1−B1は平行である        日 系3．1．4e∈D＋を視点とする．D一向の線分λB，λ B とその中心投

影像λBとλ B において，ABと〃B は平行で，λBは投影面πと

平行でないとき，λBを延長した直線と〃B を延長した直線の交点は，

         ゴ

視点eに関する方向λ一Bの消点となる．

証明 D 内の直線■百を1，D一向の直線万百を1 とおくと，D ∩1 とD一∩Z の投影像は定理3．1．2より一つの端点（消点）を共有する二つの

線分となり，またそれぞれ4とB，〃とB を含む．

      ヨ

 したがって，題意の交点が視点eに関する方向λBの消点となる．口

 また，消点と視点の次のような関係が成り立つ．

定理3．1．5D＋内の視点をe，R3内のπと平行でないベクトルをd，と

おき，視点eに関する方向dの消点を①とおくと，あとdは平行であ

る．特にd∈D＋ならあとdは逆向きである．

証明・一

ill），・一（ll）とおき・τ列一…と同1とする

あ一

g一・一1（∴）（ll）一（ll）

 1

一一yed1＋Ze−Z。

 唯

一一^{y，d2＋μ、一μ、}

 d3

   ■ze

一イ1）

第3章 直方体としての立体実現 ⁶⁵ したがって，あとdは平行である．また，d3＞0のとき，＿君＜0より，

あとdは逆向きである．      口

 さらに，上の定理3．1．5より，異なる方向の二組の直線群の投影像があっ たとき，それらの消点と視点から，2つの方向の成す角を求められること について述べる．

補題3．1．6D＋内の視点をeとおき，D＋内のベクトルをd，♂とおく1

中心投影の視点eに関する方向dの消点をωとし，視点eに関する方

向♂の消点をω とする．dと♂の成す角をθとおくとき，θ＝∠ωe〃

となる．

      →証明 定理3．1．5より，あとd，eω と♂は平行で逆向きである．また，d と♂の成す角がθである．

 したがって，θ＝∠ωeω∫となる．       口

 また，直線群の方向dと♂が垂直であるとき，それらの消点と視点6

の成す角も直角になるので次のことが成り立つ．

定理3．1．7D＋内の視点をeとおき，D＋内のベクトルをd，♂とおく．

中心投影の視点eに関する方向dの消点をωとし，視点eに関する方

向♂の消点をω とする．d⊥♂のとき，εは線分ωω を直径とする球 面上にある．

      7「証明d⊥♂のとき，その成す角θ＝一で，三角形ωeω が直角三角形な

      2

のでω，ω の中点をMとすれば，〃e＝Mω＝M一① となる．したがっ

て，視点eはMを中心とする半径Mωの球面上にある．     口

 さらに，この定理3．1．7を用いると，次のことが言える．

定理3・1・8D＋内の視点をeとし，D＋内の3つの方向ベクトルをd，♂，d とおく．また，視点eに関する方向d，♂，d の消点をω1，吻，ω3とおく、

d，d ，d が互いに垂直であるとき，線分ω1ω2，線分ω2ω3，線分ω1ω3，を 直径とする三つの球の交点が中心投影の視点となる．

3．2 直方体状の線画

 平面上のある線画Dが，直方体として立体実現可能であるかを考察す るために，直方体の見取図を想起させるような線画について考える．すな

第3章 直方体としての立体実現 ⁶⁶ わち，図3．3のように3つの四角形が互いに1つの辺を共有するような線 画を考えたい．

 しかし，直方体は明らかに凸多面体であり，その面も凸であるから，見 取図の各面や見取図の全体も凸である必要がある．

 また，直方体の稜は互いに平行な3組の稜から成るので，定理3．1．2及び 定理114．6により，その中心投影もしくは平行投影による見取図において 平行な辺に対応する辺は共点的とならなければならない．

 以上のことをふまえて，考察の対象とする線画を以下のように定義する．

定義3．2．1図3．3のようにPを端点とする3線分P■4，PB，P0とム とB，Bと0，0とλをつなぐ折れ線4αB，B〃σ，0B λからなる

線画で，次を満たすものを直方体状の線画という．

 （i）四角形PλαB，P−B〃0，PαB λ，六角形λαB〃0Bノが凸で   ある．

（ii）線分0亙，Pλ，B0 が共点的で，平行でないならその共通交点は

  Pλのλ側の延長にある．

（iii）線分0〃，PB，λ0 が共点的で，平行でないならその共通交点は

  PBのB側の延長にある1

（iv）線分AB ，Pσ，B■4 が共点的で，平行でないならその共通交点は

  P0の0例の延長にある．

AI

D．．

で

図3．3：直方体状の線画

第3章 直方体としての立体実現 ⁶⁷  本章ではこの直方体状の線画の立体実現問題について考えていく．1．5 節で述べたキャビネット図や等角図は上の定義3，2．1の通り，直方体状の 線画であるといえる．しかし結論からいえば，キャビネット図や等角図は 中心投影図による直方体の見取図としては立体実現が不可能である．

 ここでは，直方体状の線画が中心投影，垂直投影による見取図として直 方体で立体実現可能であるための必要十分条件を考えたい．

 さて，直方体状の線画を垂直投影の見取図として考えるとき，．垂直投影 では㌧視線方向は投影面に垂直となり，始めから一つに決まっている．

 一方で，中心投影では視点をどこにとるかという問題がある．確かに2 章において，多面体の族を凸多面体に指定するならば，立体実現問題は視 点の位置に依存しないことを述べたが，ここでは多面体の族を直方体に指 定しているので，直方体状の線画を中心投影による見取図として考えると き，視点の位置がどこかについて考える必要がある．つまり，直方体状の 線画が直方体実現可能であるための条件を考える際には，視点のとり方に ついても考察する必要がある．

3．3 中心投影においての必要条件

 ここではまず，中心投影としての立体実現について考える．

 直方体状の線画は共点的であるとしたので，線分を延長して交点をもつ 線分の組があればその交点は，直方体としての立体実現における平行な辺 の消点とみなすことができる．したがって，三組の共点的な線分の組のう ち，消点を三つもつ場合，消点を二つもつ場合，消点を一つもつ場合，消点 をもたない場合に分けて直方体実現可能であるための必要条件を考え・る．

また，それらの条件の十分性については3．4節で述べる．

 まず，消点が三つのとき，定理3．1．2より直方体の3組の平行な稜は投影 面πと平行でない．また，直方体の一つの頂点から伸びる3本の稜は互 いに垂直であり，，その他の稜はそれらの三つの稜のいずれかと平行であ る．よって，定理3．1．8より，三つの消点どうしを結ぶ線分をそれぞれ直径 とする三つの球の交点が中心投影の視点の位置でなければならない．

定理3．3．1投影面上の異なる3点吻，吻，〃σにおいて，線分吻ωσ，線 分吻ωc，線分ω〃σを直径とする球が投影面π上にない共有点をもつ ための必要十分条件は，三角形物吻ωoが鋭角三角形であることである．

第3章 直方体としての立体実現 ⁶⁸ 証明 吻，吻， oが一直線上にあるとき，題意の3球面の共有点がないこ

とは明らかだから，岨，吻，叱は一直線上にない場合に限定して証明を進 める．吻，吻の中点，吻，吻の中点，似，吻の中点をそれぞれ03，01，02

とおく．

 また，線分吻吻，線分吻叱，線分ω〃σを直径とする球をそれぞれ

球03，球01，球02とおき，球0包と投影面との交円を円0｛とよぶ（

乞＝1，2，3）．三角形〃〃帥σの3つの内角のうち直角以上の角は高々一       VA

      VB I．． 一． 一一一一一 一．O一『一 一 一． I ．．． 一  C

      図3．4：鋭角三角形①μBωσ

つであるので，∠吻，∠吻は鋭角であるとしてもよい．円03と円02は 吻を共有し，03，吻，02は一直線上にないので接することもない．そこ

で，円03と円02の共有点を叫とPとおく（図3，4参照）、球03と 02の交円は｝Pを直径として投影面πに垂直な円となるので，吻と

Pが球01の内部と外部にあれば三つの球の共有点が存在する．

 まず， 一4吻は円03の直径で，ω〃。は円02の直径でであるから，

∠吻P吻と∠ oP吻とは直角である．つまり，吻，吻は線分吻Pの Pでの垂線上にあり，言いかえればPは吻から吻吻へ下ろした垂線 の足である．ところで，はじめに∠吻，∠吻を鋭角としたのでPは吻

とωoの間にあり，Pは円01の内部にある．もしも三角形ω一4吻吻が

      7「

鋭角三角形であるならば，∠吻①〃。＜一より，吻は円の外部である．

       2

よって，3つの球の共有点がπ上以外に存在する（図3．4参照）。

 一方で，ここでもしも三角形物吻吻が鋭角三角形でない，例えば

      7「∠晦吻叱≧一であるとするとω一4は円01の周上または内部にある．

      2

 このとき，球03と球02の交円0を含む平面αによる断面で考える

と，平面α上において交円0は線分吻Pを直径とする円である、

ドキュメント内 凸多面体の見取図の立体実現について (ページ 64-73)